维修服务契约的最优设计范文

《工程数学学报》2016年第三期

摘要:

本文研究了一个带服务契约的机器维修模型．为了合理优化设计机器维修服务契约，本文利用多服务器排队系统理论对具有多台机器和多个修理工的机器维修模型进行分析，得到了每台机器产生的纯收益和商的纯收益期望值；利用非合作博弈论对维修服务契约进行分析，得到了最优保修期、保修费和修理工数目．我们发现最优保修期和修理工数目均与保修价格函数无关．而且，对于固定寿命的机器，机器总数几乎不影响最优保修期的设定．

关键词:

排队论；服务契约；博弈论；可靠性理论

1引言

在市场激烈竞争的今天，随着消费者维权意识的提高和消费观念的变化，消费者在选购产品时，不仅注意到产品实体本身，在同类产品的质量和性能相似的情况下，更加重视产品的售后服务．因此，企业在提供价廉物美的产品的同时，向消费者提供完善的售后服务，已成为现代企业市场竞争的新焦点．售后服务包括维修、安装升级、设备调整、提供技术支持、咨询和培训，以及提供融资服务，甚至于文化活动等等，内容十分广泛．本文尝试利用数学方法定量地分析、优化和设计售后服务中的维修服务契约．

Murthy和Padmanabhan[1]最先将服务契约当做一种广义的保修行为来研究机器维修模型．Murthy和Ashgarizadeh[2]首先利用博弈论研究了一台机器和一个修理工的维修服务契约模型．他们利用Stakelberg博弈公式得到了商的最优决策结构．而后，Ashgarizadeh和Murthy[3]将此模型推广到多台机器和单个修理工情形．但他们都没有考虑机器的保修期和保修费等．Yeh和Lo[4]研究了对于可修产品的预防–维修策略．Pascual和Ortega[5]通过建立一个随机模型确定了产品每次检测和大修的最优时间．关于研究维修服务契约模型的主要方法和结果，读者可参见Murthy和Blischke[6]的综述以及Murthy和Djamaludin[7]的文献评述和Murthy和Blischke[8]的著作．近年来，Hu-ber和Spinler[9]对维修服务合约进行了最优定价分析．Xiang等[10]考虑了一个在马尔可夫随机环境中运行的维修系统的最优维修策略．本文推广了Ashgarizadeh和Murthy[3]的工作，利用多服务器排队理论和博弈理论对具有多台机器和多个修理工的机器维修服务合约进行最优设计，得到了最优保修期、保修费和修理工数目．

2模型描述

假设某公司以单位价格Cp，从一设备制造商(商)购入M台使用年限(寿命)为L0的机器．每台机器正常运转时每单位时间可产生收益R，而机器发生故障时则不会产生收益．假设这M台机器相互独立地工作，每台机器相继发生故障的间隔时间服从参数为λ的指数分布．机器一旦发生故障，马上送往售后服务部门进行维修，修复后立即投入使用．假设有N(1≤N≤M)个修理工，商付给每个修理工的固定费用为Cn．维修规则为机器先故障先维修，每台发生故障的机器的修理时间χ服从参数为µ的指数分布．商制定了如下维修服务契约：对每台保修期为L(0≤L≤L0)的机器，购买者一次性交纳保修费P(L)，这里假设函数P(L)单调增、凸且在区间[0,L0]内二次可微．若在保修时期内送往维修的机器没有在规定的时间T内修好，则给予一定的补偿．令随机变量τ表示发生故障的机器送往维修直到修好的这段时间．若τ>T，则补偿费用为δ(τT)，若τ≤T，则不补偿．若在保修期外发生故障的机器，则每次维修需支付Cs的维修费且无任何补偿．假设每台发生故障的机器的一次维修成本费为Cr(Cr<Cs)．而且设修理与运转相互独立，每个修理工之间的修理也相互独立．此外，我们还假设L0充分大且λE[τ]1，这意味着发生故障的机器在维修部门所逗留的时间相对于整个寿命而言是相当短的．以下我们将利用排队论和博弈论来研究最优保修期L、保修价格P(L)以及修理工数目N．

3模型分析

注意到此维修服务模型等价于有限源M/M/N排队系统，其服务规则为先到先服务(FCFS)．

4最优定价及设计

由于E[W](N)表达式太复杂，我们无法利用求导来得到最优修理工数目．但是，考虑到机器数目的有限性，我们可利用穷尽法来求

5数值实例

这一节，我们利用Matlab编程提供了几个数值实例来演示模型中参数变化对最优解的影响．在表1中，我们观察到最优修理工数目N和商最大的期望收益E[V]随着机器数目M增加而增大．图1给出了当机器寿命L0取三个不同值时，参数R和M对最优保修期L的影响．从图1可看出，最优保修期L随着机器产生的收益R的增加而递减．而且，当机器寿命L0越大时，最优保修期L下降越快．然而，当机器寿命L0固定时，机器总数目M几乎不影响最优保修期L．此外，正如我们所预料的，最优保修期L是机器寿命L0的单调增函数．

6小结

本文推广了Ashgarizadeh和Murthy[3]的工作，利用多服务器排队理论和博弈理论对具有多台机器和多个修理工的机器维修服务合约进行最优设计，求得了最优保修期、保修费和修理工数目．获得了结论：最优保修期和修理工数目均与保修价格函数无关，而且，对于固定寿命的机器，机器总数几乎不影响最优保修期的设定．

作者：彭懿 吴锦标 单位：长沙师范学院初等教育系 中南大学数学与统计学院