三角函数值规律范文

三角函数值规律范文第1篇

【关键词】三角函数；化简；求值；图像；性质；应用

三角函数是高考的热点和重点，每年都会在主观题和客观题上出现它的身影。三角函数具有一般函数的性质，还具有自己独特的特性――周期性和对称性，使其产生并可以解决的问题内容多样、丰富多彩。在每年的高考中，围绕三角函数的考题具有新意，给人新颖的感觉，这已经成为了高考命题的热点。下面就三角函数在高考中如何考，谈谈自己的几点看法：

一、三角函数的化简、求值、求最值

三角函数式的化简、求值及求最值是高考考查的重点内容之一 通过三角函数学习使学生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，优化学生的解题效果，做到事半功倍。

求值问题的基本类型及方法：①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解；②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③“给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角；④化简求值。

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三角函数的化简、求值及求最值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在。

二、三角形中的三角函数，即解三角形

分析近几年的高考试卷，有关解三角形的问题几乎是每年必考内容.试题主要是考查正、余弦定理及其变式或推论的内容及简单应用。解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。

评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变。解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。

三、三角函数与其他知识交汇的设计题和应用题

此类问题主要考查与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合，多为解答题，考查三角函数实际应用。对待应用题没有什么通解通法，只要认真读题、审题，合理分析已知量间的关系，总是能够解决问题。解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等，其基本步骤如下：

第一步，阅读理解，审清题意。读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字途径，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。

第二步，搜集整理数据，建立数学模型。根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型。

第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予解答，求得结果。

第四步，将所得结论转译成实际问题的答案。

三角函数值规律范文第2篇

关键词：高中数学；三角函数；体会

在高中三角函数的学习过程中有许多难点，但是通过仔细研究和学习，不难发现其中存在很多规律和技巧，掌握了这些规律和技巧，对牢固掌握三角函数有很大的帮助，能更好地解决学习过程中遇到的难题。

1.在三角函数解题过程中要对已知条件进行分析，明确不同变量间的关系，通过关系互化使题目由繁到简，解题思路更加清晰。如例1所示。

2.在三角函数中类似求定义域相关的题型，需要考虑到题目中所涉及的三角函数的周期规律，可以利用三角函数绘图的方法，对最终的结果进行全面的考虑分析。如例2所示：

【例2】 求函数y=的定义域。

分析：首先要确定本题为典型的确定三角函数定义域类问题，在解题过程中应根据题目所给的已知条件一步一步求解问题，切记不能丢解、漏解，这是我们在解答此类题型时必须考虑的方面。

根据题意可以判断2sinx+1≥0，可以求解出x值的区间，这是将已知条件应用于被求对象中的过程，再据正弦函数本身周期性规律，可以进一步提升解题准确性。解题步骤如下：

解：由已知条件我们可以得出2sinx+1≥0，从而可解sinx≥-，我们可以先求解出在一周期内的区间[-，]，由于正弦函数的周期性，我们要在所求区间加上2kπ（k∈Z）即可，所以本题的最终答案为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）。

可见，在高中三角函数解题过程中，要将三角函数数值与图形之间建立密切的关系，通过图形判断三角函数的正负，然后结合规律进行解题。

3.关于“托底”方法的应用

在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，常用在需把含tgα（或ctgα）与含sinα（或cosα）的式子互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：

【例3】 已知：tgα=3，求的值。

分析：由于tgα=，带有分母cosα，因此，可把原式分子、分母各项除以cosα，造出tgα，即托出底：cosα。

解：由于tgα=3?α≠kπ+?cosα≠0

故，原式====0

综上所述，三角函数虽然题型并不相同，但在解题中运用三角函数的解题规律和技巧，对典型题进行总结和分析，掌握三角函数内容也不是难事。

参考文献：

[1]刘博，郑利双.高中数学三角函数的W习心得[J].高考（综合版），2015（12）：231.

三角函数值规律范文第3篇

关键词：直角三角形；边角关系

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）04-244-01

直角三角形的边角关系，在现实世界中应用非常广泛。而锐角的三角函数在解决实际问题中有着重要的作用，如测量距离、角度、高度等问题，特殊角30度、45度、60度角的三角函数值也是经常用到的，但许多学生在应用这些特殊角的三角函数值解决问题时，却总是出现记忆不牢靠或者张冠李戴的现象，如何让学生牢固并熟练掌握这些特殊角的三角函数值呢？我觉得可以从以下几个方面去加强。

一、引入图形，让学生建立清晰的第一印象

由于含30度、45度、60度的直角三角形三边之间有着特殊比例关系，因此，教学时为了便于学生理解和记忆，可以根据含这些特殊角的三角形的边角之间的关系，画出相应的图形，如30度角所对的直角边，所临的直角边，斜边之比为1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三边之比为1∶1∶√2，让学生自己独立完成这几个特殊角的三角函数值的求值过程，学生根据定义，便可得到各角的三角函数值，学生经历了特殊角的三角函数值的求值过程，由于图形的直观作用，必然会产生清晰的第一印象，方便了记忆。

二、利用三角函数的增减规律进行记忆

在直角三角形中，当锐角的度数一旦确定，它对应的正弦值、余弦值、正切值也随之确定，当锐角的度数发生变化，它的正弦值、余弦值、正切值也随之发生变化，为了帮助学生探索并理解随着锐角度数的增大或减小，它对应的正弦值、余弦值、正切值变化的规律，可设计有公共锐角顶点且一直角边有重叠，以及斜边相等的一系列直角三角形，通过图形，学生会直观的感受到，当锐角的度数逐渐增大，它所对的直角边也随之增大，它所邻的直角边则随之减小，所以会很自然地得出结论，正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大，用锐角三角函数的增减性，学生记忆这几个特殊角的三角函数值就会容易许多。

三、寻找数字规律巧妙记忆

在记忆30度、45度、60度角的三角函数值时，可引导学生通过比较，寻找数字规律，巧妙记忆，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次对应为：1即√1，√2，√3，而余弦值分子则分别是√3，√2，√1即1，分母也都是2。

四、利用互余两角正弦和余弦之间的关系，及同角三角函数之间的关系，通过比较与联系记忆。

三角函数值规律范文第4篇

例1：观察下图，解答问题.

（1）上图画出了三到六边形的对角线，观察后将下表填写完整.

（2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的对角线条数.

分析与解:

解法1：（1）易知，六边形的对角线条数为9.通过作图也易知七边形的对角线条数为14，那么n边形呢？

现将多边形边数与对角线条数提取进行分析：

边数 对角线条数分析及梯形面积公式法表达式

观察上表发现，将相邻对角线条数两数作差，再对作差后的相邻新数作差，它们的结果都为常数1.当设多边形的边数为n，对角线条数写成和的形式时，第一个数是2，最后一个数是1×n-2，共有（n-3）项，用梯形面积公式法求得n边形对角线条数为：

×（n-3）=（n-3）

（2）由n边形内角和公式可得：1440°=（n-2）×180°，解之得n=8.

这个多边形的对角线条数为：×（8-3）=20（条）.

解法2：（只对n边形的对角线条数进行探究）

现先对二次函数的性质进行研究.对于二次函数y=x+2x+2，有下表成立：

对y相邻的数求差得：10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…

对相邻新数再次求差得：7-5=2，9-7=2，11-9=2，…

发现的值连续两次作差为同一常数，再对其他的二次函数研究也有这样的结论，因此可以得出二次函数存在这样一个性质：二次函数的函数值连续两次作差为同一常数；反过来，如果一数列存在着：连续两次作差为同一常数，它的序数与所对应的数的表达式满足某个二次函数.利用这个性质，求本例n边形的对角线条数：

由解法1中的（1）可知，对角线条数相邻两数作差，再对作差后的新数作差，它们的结果都为同一常数，所以多边形边数及所对应的对角线条数满足某个二次函数.设这个二次函数为y=ax+bx+c，对多边形边数x及所对应的对角线条数y取出三对数：（3，0），（4，2），（5，5），于是有0=9a+3b+c2=16a+4b+c5=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.

所以多边形边数x及所对应的对角线条数y满足二次函数:y=x-x，

当x=n时，有y=n-n=n（n-3），

七边形对角线条数为：×（7-3）=14（条）.

例2：瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱的奥妙大门，请你按这个规律写出第七个数据是?摇 ?摇.

分析与解:

解法1：分子中第1个数:9=3；第2个数:16=4；第3个数:25=5；第4个数:36=6，

第n个数分子应该是（n+2）.

分母中：序数 分母对应数分析及梯形面积公式法表达式

分母中的数两次连续作差后为同一常数2，进一步分析可知，当设序数为n，分母对应的数写成和的形式时，第一个数是5，最后一个数是2×n+3，共有n项，用梯形面积公式法求得第n个数分母为：

×n=n（n+4）

第n个数为：

当n=7时，所对应的数是=.

解法2：（只对分母存在的规律进行探究）

由解法1知，分母中的数两次连续作差后为同一常数，所以分母中的序数及所对应的值满足某个二次函数.设此二次函数为y=ax+bx+c，对分母中的序数x及所对应的值y取出三对数：（1，5），（2，12），（3，21），于是有5=a+b+c12=4a+2b+c21=9a+3b+c，解之得：a=1，b=4，c=0.

所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x+4x，

第七个数的分母为：y=x+4x=7+4×7=77.

由例1和例2的解法2可知，当一数列连续两次作差后为同一常数，数列序数与对应的数满足某个二次函数的表达式，利用待定系数法，解出来的二次函数常数项都为0，是不是所有满足这种情况的二次函数的常数项都为0呢？请看例3.

例3:（2009牡丹江市）有一列数：-，，-，，…那么第7个数是?摇 ?摇.

分析与解:

解法1：易知，数列符号，单序数为负，双序数为正，分子按序数排列，关键的就是找分母的表达式.现将分母序数及所对应的数提取进行分析：

序数 分母对应数分析及梯形面积公式法表达式

分析发现，分母所对应的数两次连续作差后，为同常数2.可以预测，除符号和2外，第n个数，当写成和的形式时，第一个数是3，最后一个数是2×n-1，共有（n-1）项.

第n个数除符号外，分母为:2+×（n-1）=n+1

第n个数为:（-1）

第7个数为:（-1）=-.

解法2：（只对分母存在的规律进行研究）

由解法1知，分母所对应的数连续两次作差后，为一同常数2，所以分母中的序数及所对应的值满足某个二次函数.设这个二次函数为y=ax+bx+c，对分母中的序数x及所对应的值y取出三对数：（1，2），（2，5），（3，10），于是有2=a+b+c5=4a+2b+c10=9a+3b+c，解之得：a=1，b=0，c=1.

所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x+1，

第七个数的分母为：y=x+1=7+1=50.

由上三例可知，如果一数列存在着：连续两次作差为同一常数，它的序数与所对应的数的表达式满足某个二次函数，利用待定系数法，解出来的二次函数常数项不一定为0.

例4:如图，ABC中边BC上有n个点，每个点都与A连接，共有多少个三角形？

分析与解：用列举法进行探究.在BC上：有3个点（即B、D、C）时，有ABD、ABC、ADC共3个三角形；

有4个点（即B、D、E、C）时，有ABD、ABE、ABC、ADE、ADC、AEC共6个三角形；

有5个点（即B、D、E、F、C）时，有ABD、ABE、ABF、ABC、ADE、ADF、ADC、AEF、AEC、AFC共10个三角形；

例4题图

按同样方法列举，可知，当BC上有6个点时，共有15个三角形.

进一步分析还发现，这些三角形个数两次连续作差后，为同常数1.

即，第一次求差得：6-3=3，10-6=4，15-10=5，21-15=6，…

再次求差得：4-3=1，5-4=1，6-5=1，…

利用本文的二次函数一性质进行求解，设这个二次函数为y=ax+bx+c，对BC上的点数x及所对应的三角形个数y取出三对数：（3，3），（4，6），（5，10），于是有3=9a+3b+c6=16a+4b+c10=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.

所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x-x.

当x=n时，有y=n-n=n（n-1），

即ABC中边BC上有n个点，每个点都与A连接，共有（n-1）个三角形.

利用梯形面积公式法解决本例也很捷径，请读者自行完成.

综上所述，当一列数，只要两次连续作差后为同一常数，它的表达式除观察利用综合知识解决外，还有两种方法较为捷径：

1.它的某一项都可以写成有规律数的和的形式.当两次作差为同常数1时，和的最后一项是与1的倍数有关（如例1、例4）;当两次作差为同常数2时，和的最后一项是与2的倍数有关（如例2、例3）;……然后再求项数，代入梯形面积公式法：

M=（a+b）h

三角函数值规律范文第5篇

关键词：结构分析法;数学;教法;学法;运用

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1005-1422（2015）02-0064-03

收稿日期：2015-01-20

作者简介：陈海滨（1967-），男，广东省梅州农业学校讲师，大学本科。研究方向：数学教育。（广东 梅州/514011）

在数学的教学活动中，教师往往侧重于“教法”的积极探索而忽视对学生的“学法”的研究指导，造成整个教学过程脱节。于是，出现一个怪现象：课上教师尽所能、展才智充分调动学生积极性、激发学习兴趣，学生听得懂，叫好，而课后学生复习、练习、作业、考试时又感到不理解、不会做、考不好，叫苦，只开花不结果。那么怎样才能使“教法”寓于“学法”，“学法”源于“教法”，将二者有机地结合起来，既开花又结果呢？这就要求教师要从不同的角度全方位地进行教学设计。笔者认为，教师是导演――统揽全局，也是演员――把握精辟，还是观众――期待效果。从教师的角度“导”出“教法”;从学生的角度“演”出“学法”;从家长的角度“观”出效果。正是本着这样的理念，经过多年的教学积累探索出一种教与学的通用之法――结构分析法。经过多年的实践检验表明，此法特别适合代数教学。本文就以代数教学为例进行阐述。

所谓的“结构分析法”就是依据数学的换元思想，通过观察分析数学概念、公式、法则等数学知识结构形式的特点，对其结构形式进行分解――确定“可变”与“不变”两个部分，用中括号[ ]代替“可变部分”找出规律，揭示出其本质特征，从而深刻地理解其内涵，灵活地掌握和运用数学知识解决问题，提高教学效率的一种方法。

一、结构分析法在数学“教”的过程中的运用

（一）在数学概念教学方面的运用

例1.“函数概念”的教学分析。

函数是数学中十分重要的概念，是数学各个分支理论的重要基础之一，在各个领域都有着广泛的应用。由此可见，深刻地理解函数概念是至关重要的。然而，学生普遍感到较难理解“函数概念”，尤其是对用抽象符号：“y=f（x）”表示函数的理解感到一头雾水。现在就从这里入手，运用“结构分析法”进行分析。

观察，函数y=f（x）的结构形式进行如下分析：

这样，学生容易片面地理解函数的概念：误认为x就是自变量，y就是因变量，而解析式表示的就是函数。缺乏对函数概念的深层次地理解，导致在学习过程中遇到有关函数问题时，就问题多多。

现在，我们对上述结构形式进行分解，确定“可变”部分为x和y所在的位置，余者不变。用中括号[ ]代替“可变”部分――x和y所在的位置，就不难发现对于一个确定的函数，无论是具体的还是抽象的都可以理解如下：

显然，在函数的构成要素中，最重要的是函数的定义域和对应法则，最难理解的就是“对应法则”（不变部分）。事实上，对于一个确定的函数其对应法则是不变的、抽象的。

现在，通过几个例子加以说明如何运用结构分析法揭示出对应法则的本质特征。

例如，二次函数f（x）=3x2+2x+1的对应法则f的本质特征是：f[ ]=3×[ ]2+2×[ ]+1

函数值：当x=2时，有f（2）=3×22+2×2+1=17

当x=t时，有f（t）=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1

对应法则f：[ ]内取2，则有f[2]=3×[2]2+2×[2]+1=3×22+2×2+1=17

[ ]内取t，则有f[t]=3×[t]2+2×[t]+1=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1

显然，f（2）=f[2]，f（t）=f[t]

再如，复合函数g（x）=lg（3 x2+2x）的对应法则g的本质特征是：g[ ]=lg（3×[ ]2+2×[ ]）

函数值：当x =2时，有g（2）=lg（3×22+2×2）=4lg2

当x=t时，有g（t）=lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）

对应法则g：[ ]内取2，则有g[2]=lg（3×[2]2+2×[2]）=lg（3×22+2×2）=4lg2

[ ]内取t，则有g[t]=lg（3×[t]2+2×[t]）= lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）

显然，g（2）= g[ 2 ]， g（t）= g[t]

这就说明了对应法则的本质是理解时抽象而运用时又具体的一种对应关系。学生就容易理解函数f（t）=3t2+2t+1与函数f（x）=3x2+2x+1是同一个函数;函数g（x）=lg（3x2+2x）与函数g（t）=lg（3t2+2t）也是同一个函数。自然认同x、y只是一个记号，习惯用之而已。从而更加容易理解“每一个函数都有其对应法则，并且每一个自变量的取值按其对应法则都有唯一的因变量的值与之对应”的内涵。这样，使学生通过“抽象――具体――抽象”的认识过程，进而深刻地理解函数概念的内涵。

像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其复合函数，还有抽象函数等函数概念都可以运用“结构分析法”进行数学概念教学，使学生更加容易把握数学概念的本质特征，提高教学效果。

（二）在数学公式教学方面的运用

例2.三角函数中“诱导公式”的教学分析。

常用的诱导公式有9组36个公式，若要求学生死记硬背难度大且用时易错，用“结构分析法”教学，可以概括出“口诀”，易记、好用、准确。

诱导公式中角的形式有9种：“2kπ±α（k∈Z），π±α，0-α，π2±α，3π2±α”。 观察分析这9种角的结构形式发现：“2kπ，π，0”角的终边都在横轴上;“π2，3π2”角的终边都在纵轴上。

（因篇幅所限，选几组加以分析）

sin（π±α）=sinα

cos（π±α）==cosα

tan（π±α）=±tanα

cot（π±α）=±cotα公式（一）

可变部分“±”， 余者不变

sin（3π2±α）==cosα

cos（3π2±α）=±sinα

tan（3π2±α）=cotα

cot（3π2±α）=tanα

公式（二）

可变部分“±”、“名称”， 余者不变

sin（π±α）=[ ]sinα

cos（π±α）=[ ]cosα

tan（π±α）=[ ]tanα

cot（π±α）=[ ]cotα

sin（3π2±α）=[ ][ ]α

cos（3π2±α）=[ ][ ]α

tan（3π2±α）=[ ][ ]α

cot（3π2±α）=[ ][ ]α

首先，确定函数“名称”的变化规律。

观察分析公式（一）、公式（二）两边的函数名称发现：公式（一）名称不变，且π角的终边在横轴上，公式（二）名称改变，且3π2角的终边在纵轴上，由此概括出函数“名称”的变化规律：“纵变横不变”。

其次，确定“±” 符号变化规律。

观察分析公式（一）、公式（二）两边的函数值符号发现：等式左边的函数值符号都是正的，而等式右边的函数值符号是变化的，若把α看成是锐角时就会发现：由“π±α，3π2±α”角的终边所在的象限确定的函数值符号排布规律与右边函数值符号排布规律一致，这说明右边的函数值“符号”是由左边的“π±α，3π2±α”角的终边所在的“象限”确定的函数值符号排布规律决定的。由此可以概括出符号变化规律：“符号看象限”。

这样，可以得到诱导公式的口诀为：“纵变横不变，符号看象限”。

例3.三角函数中“二倍角公式”的教学分析。

许多数学公式在理解和运用时，学生常常忽视它们内在成立的“条件”或者运用的“条件”，而片面地理解数学公式，导致用时易错、缺乏灵活性。若用“结构分析法”教学，则可以使学生深刻理解公式的内涵，提高灵活运用的能力。

以“二倍角公式”的教学为例进行分析：

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α

=1-2sin2α

=2cos2α-1

tan2α=2tanα1-tan2α

可变部分“2α，α”

sin[ ]=2sin[ ]cos[ ]

cos[ ]=cos2[ ]-sin2[ ]

=1-2sin2[ ]

=2cos2[ ]-1

tan[ ]=2tan[ ]1-tan2[ ]

观察分析上述公式的结构形式发现“可变部分”是2α，α，余者“不变”，从而揭示出公式成立的“条件”：左边角的“形式”是右边角的“形式”的二倍，公式成立，反之亦然。于是，可以得到许多常用的结论：

如：sinα=2sinα2cosα2sinα2cosα2=12sinα;

sin2α=1-cos2α2 （降幂扩角公式）;

sinα2=±1-cosα2 （半角公式）

等等，这些在求三角函数的周期、最值等问题时常用。

由此看来，运用“结构分析法”进行数学公式教学，更加容易抓住数学公式的本质特征。若能概括出“口诀”，揭示出“条件”，就会使学生对数学公式的深刻理解和灵活掌握得到很大程度的提高，从而提高教学效果。

二、结构分析法在数学“学”的过程中的运用

（一） 触类旁通，掌握新知识

1.引导学生学会概括数学公式（法则）的“口诀”，提高记忆效果和学习效率。

例4.引导概括：三角函数中“加法定理”的口诀。

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ

tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ

引导学生类似“诱导公式”的分析方法，观察分析上述公式的结构形式，发现角的排布规律明显――先α后β。

首先，观察分析上述公式的三角函数名称的排布规律发现：正弦、余弦名称“改变”，正切名称“不变”。由此可以概括为：“弦变切不变”。弦变之意为：“正弦正在先，名称交替出现;余弦余在前、名称重复出现”。

其次，观察分析上述公式的“±”号的排列规律发现：正弦左右一致;余弦左右相反;正切分子一致，分母相反。由此可以概括为：“符号有顺逆”。顺逆之意为：“弦正顺余逆;切上顺下逆”。

因此，可以得到加法定理“口诀”为：“弦变切不变，符号有顺逆”。

这样，就抓住了数学公式的本质特征，在理解掌握数学公式时就会感到：易记、好用、准确、高效。

2.引导学生学会揭示数学公式（法则）的“条件”，提高理解运用的准确性和灵活性。

例5.引导学生学会揭示重要极限limx∞1+1xx=e的“条件”。

引导学生类似“二倍角公式”的分析方法，观察分析上述公式的结构形式发现：“可变部分”是1x与x，且成倒数关系，余者“不变”。即limx∞1+[ ][ ]=e，于是，公式成立的“条件”是：小括号内的[ ]与小括号外的[ ]的结构形式成倒数关系且与x有关，当x∞时，小括号外的[ ]∞，公式成立。

再如，limx0sinxx=1limx0sin[ ][ ]=1。成立的“条件”是：[ ]内的结构形式一致且与有关，当x0时，[ ]0，公式成立。

这样，在运用数学公式时，就能准确、灵活、快速地解决问题。

（二） 举一反三，解决新问题

学以致用，举几个例子看一下由“结构分析法”得出的结果在数学解题中的应用。

例6.已知函数f（x）=x2+2，g（x）=2x+1，求f（g（x2））

解：g（x2）=2x2+1， g[]=2×[]+1 （对应法则g）

f（g（x2））=（g（x2））2+2，f[]=[]2+2（对应法则f ）

=（2x2+1）2+2

=4x4+4x2+3

例7.求函数y=sin（kx-π6）sin（kx+π3），k≠0的最小正周期。

解：y=sin（kx-π6）sinπ2+（kπ-π6）

=sin（kx-π6）cos（kx-π6） 纵变横不变，符号看象限（诱导公式口诀）

=12sin（2kπ-π3）

左边角是右边角的一半，二倍角公式成立（条件）

最小正周期为：T=π|k|

例8.求limx∞2x+32x+1（x+1）

解：原式=limx∞1+22x+1x+12 +12

=limx∞1+1x+12x+121+1x+1212

=e・1=e 1x+12与x+12成倒数关系，公式成立（条件）

综上所述，“结构分析法”在整个教学活动中，体现了二法合一的内在统一性。一法二用，不仅能使学生易于接受“教法”，理解知识，听得明白，又能使学生利于掌握“学法”，学会思考，解决问题，还能使学生对数学概念、公式、法则等数学知识的深刻理解和灵活掌握得到很大程度的提高。从而能灵活多变地快速解决问题，提高学习效率，达到“授之以渔”的教学目的。

参考文献：

三角函数值规律范文第6篇

关键词：三角函数 性质 应用

前言：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。在这部分内容中函数的图像和性质起着至关紧要的作用。下面我以正弦函数为例浅谈三角函数图像和性质的理解和简单应用。

一、通过图像分析正弦函数性质

1.在由正弦函数线做正弦函数曲线的过程中，明确了y=sinx的最小正周期为之后，常用作图方法即五点作图法画正弦函数曲线。所谓的五点本质上是图像的最高点、最低点以及函数图像和x轴的交点。在正弦函数中这五点分别是（0，0），（，1），（π，0），（，-1），（2π，0），用圆滑的曲线把它们连接起来就可以得到正弦函数y=sinx一个周期的图像。然后再根据函数的周期性向左右两个方向再画几个周期的图像方便观察图像的规律。如下图：

2.通过分析正弦函数的图像特点，可以很容易得到正弦函数y=sinx的其它性质

（1）定义域

函数的图像是向左右两个方向无限延展的，所以正弦函数的定义域是。

（2）值域

函数图像呈波浪形，具有周期性。函数图像最高到达1，最低到达-1，并且函数图像是连续的，可以确定函数的值域是[-1，1]。从函数图像可以看出函数具有周期性，所以正弦函数有无数个极值点。距离y轴最近的最高点（，1）即当x=时，y取最大值1。根据正弦函数的周期性可以表示出取最大值时所有的x的取值，即当y=1时，x=+2kπ，k∈Z。同样的方法就可以写出函数取最小值即y=-1时，x=-+2k，k∈Z。

（3）对称轴

由正弦函数图像的最高点或者最低点向x轴做垂线就会发现函数的图像会关于垂线对称。也就是说正弦曲线有无数的对称轴，且相邻的两个对称轴的间距为π即对称周期为π。用一条距离y轴最近的对称轴x=做参考，根据对称轴的周期性得正弦曲线的对称轴x=+k，k∈Z，k的每一个取值对应一个对称轴。

（4）对称中心

由中心对称的定义，正弦曲线与x轴的交点都是它的对称中心，坐标可以统一表示为（kπ，0）k∈Z。因为坐标原点也是对称中心，所以正弦函数是奇函数。

（5）单调性

根据单调增函数图像上升和下降的特征规律，确定是正弦函数的一个单调增区间。把这个单调增区间向左右两个方向平行移动个单位它恰好和正弦函数的其它增区间完全重合。根据正弦函数增区间的规律可以表示出正弦函数所有的单调增区间 k∈Z，k的每一个取值就对应一个增区间。同样表示出正弦函数所有的单调减区间 k∈Z。

二、利用正弦函数的图像和性质解决有关y=Asin（ωx+φ）的问题

解三角函数不等式。

例题：已知f（x）=3sin（2x+），f（x）>6，求x的取值范围。

解析：由题目条件可知3sin（2x+） >6，即sin（2x+） >

用换元法令X=2x+，即可得到sinX>.结合正弦函数y=sinX的图像

找到sinX>对应的图像位于在直线y=的上方不包含于y=sinx的交点。先写

出距离y轴最近的一个区间

2.求三角函数单调区间

例题：已知函数f（x）=sinx+cosx，求函数f（x）的单调增区间。

解析：通过所学把函数f（x）变形f（x）=sinx+cosx=

所以f（x）=sin（x+）。我们令X= x+，函数变为f（x）=sinX。

根据正弦函数曲线可以得到距离y轴最近的一个增区间-

3.给定区间上三角函数的值域的问题

例题：已知函数f（x）=sinx（cosx-），求函数f（x）在的值域。

解析：首先化简函数f（x）=sinx（cosx-）=sin（2x+）-，

因为，所以，参照正弦函数的图像，

三角函数值规律范文第7篇

关键词：中职数学；三角函数；诱导公式；教学探讨

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）14-0283-02

目前我国正在大力地发展职业教育，职业教育的价值不仅表现为经济发展、社会和谐作做出了贡献，而且在促进社会就业、个人发展方面做出了贡献.数学对于培养学生的理性思维、分析推理能力有着不可代替的重要作用，数学是学习专业技能知识的重要工具.三角函数是数学的基础知识，也可以说是几乎所有高科技的基础，它是基本初等函数中的一种，在数学的学习中都有着重要的不容忽视的核心地位与重要作用.

中职数学三角函数诱导公式这节内容，在三角函数部分具有非常重要的地位.学生能够掌握并正确运用诱导公式，对解决三角函数有关问题会起到事半功倍的作用.三角函数诱导公式是中职数学三角函数部分的重要公式，然而三角函数诱导公式多而复杂，利用传统诱导公式求解相应的三角函数，步骤多且难以理解.如何解决这一难题？笔者在多年的教学中总结教学经验，改变传统教学模式，将三角函数诱导公式进行拓展，化难为易，以适应中职生的学习需求.下面笔者就多年来的教学实践，结合中职学生的具体实际，谈一谈诱导公式教与学的一些做法，以期为其他同行教师提供一些参考.

中职数学诱导公式共有2kπ+α，-α（或2π-α），π+α及π-α四套公式.利用公式的目的就是要把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值.以往学生在学习本节内容时最大的困惑是记不住公式和不会运用公式.现就以上问题和大家一起探讨我在上课时不太成熟的解决问题方法.

一、推导公式

中职教材公式的推导方法学生不易理解，即使听懂了，学生也记不住.我在教学诱导公式时，先引导学生观察上述四套公式，学生会发现几套公式中，都与2π或π有关，化简后三角函数名称都不变，符号有的改变，有的没变.然后引导学生总结出利用诱导公式求三角函数值“三角函数名称不变，符号看象限”的口诀.这里如何确定角的象限至关重要.例如：π+α这套公式，先设α为锐角，则π+α为第三象限的角，第三象限角的正弦值为负，故sin（π+α）=-sinα；同理，第三象限角的余弦为负，故cos（π+α）=-cosα；第三象限角的正切为正，故tan（π+α）=tanα.这样学生只要记住不同象限角的三角函数值的正负情况，自己就能轻松推导出公式.不同象限角的各种三角函数值的正负口诀是：“一全正、二正弦、三为切、四正弦.”

学生推导完公式之后，让他们和教材公式对照比较，发现完全正确，他们一定会有一种成就感.这时教师不失时机地强调，当角α为任意角时，上述公式照样适用.通过以上的方法教与学，学生能够非常顺畅地掌握公式.即使课后学生忘记了，自己也能轻易地推导出来.这样，在课堂上就能节省大量时间.原来需要四节课才能讲完的内容，两节课就能讲完，并且效果还好.这样也极大地增强了学生学习数学的积极性.

二、运用公式

我们在教学过程中教给学生掌握公式固然重要，但让学生会正确地使用公式更重要.不会使用公式从理论上说等于零.就像士兵一样，拥有了先进的，强大的武器装备，但不了解其性能，不会使用它，一点用都没用.我们在教学中遇到问题最多的是：学生经常问老师这些公式怎么用.所以教师教会学生如何正确使用公式至关重要.

三、课后思考

师者，所以传道授业解惑也.授之鱼不如授之以渔.教师不但要善于传授知识，还要能够帮助学生总结规律性的东西，并且运用规律解决实际问题.要正确引导学生善于观察问题、分析问题，进而解决问题.我在讲授三角函数诱导公式时，没有利用单位圆和对称的性质进行复杂的推导，那样讲对于职业学校基础较差的学生来说太难了.而我通过三角函数诱导公式知识的教与学，是要让学生学会一种数学思想，那就是不完全归纳法的具体运用.它和学习等差数列、等比数列通项公式一样，根据等差数列和等比数列的定义，利用不完全归纳法非常自然地归纳出等差数列和等比数列的通项公式.我们推导三角函数诱导公式时，先设角α为锐角，利用不同象限角的三角函数值的符号，引导学生毫无费力地推导出每个公式，最后让学生明白当角α为任意角时照样适用.在这样的数学思想指导下，学生就能自主轻松地推导公式，掌握公式，达到事半功倍的效果.从而突破了本节课的难点，为顺利求出各种形式的角的三角函数值打下坚实的基础.在求任意角三角函数值时，教师也要引导学生观察，分析每一套公式的特点和使用的条件，让学生做到有的放失，少走弯路，经过一段时间的训练，很自然地学会利用哪个公式求值了.

总之，教师上好每一节课，不是简单地传授知识，而是要注重引导学生善于发现规律、总结规律.让学生更好地运用知识解决实际问题，从而搞好我们的教学工作.这样也能更好地发挥数学工具科的作用，更好地为专业课教学服务，提高学生的文化素质和专业技术素养.

参考文献：

[1]赵卫国.高中数学公式与定理教学“五步曲”[J].中学数学研究，2011，（04）.

[2]覃桂燕.几何画板在三角函数教学中的应用[J].广西教育学院学报，2011，（01）.

[3]许钦彪.任意角三角函数的教学反思[J].数学教学研究，2008，（02）.

[4]陈洁.对信息技术与数学教学整合的思考[J].中学数学月刊，2010，（05）.

[5]刘扬.中职学生的三角函数教学探讨[J].数学学习与研究，2010，（05）.

[6]刘艳.基于情境认知理论的中职数学教学设计初探[J].湖北广播电视大学学报，2008，（04）.

[7]雷彬.对教育信息化发展现状的思考及建议[J].中国教育信息化，2008，（07）.

[8]阮佩文.专业背景下中职数学的应用性教学[J].职业教育研究，2008，（01）.

三角函数值规律范文第8篇

2. 一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下表所示：

则样本在（10，50］上的频率为.

3． 古代“五行”学说认为：物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.现将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是

（结果用数值表示）.

4. 给出下列四个命题：

①函数f（x）＝x｜x｜+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0；

②函数y＝2-x（x＞0）的反函数是y＝-log 2 x（0＜x＜1）；

③若函数f（x）＝lg（x2+ax-a）的值域为R，则a＜-4或a＞0；

④若函数y＝f（x-1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图像关于直线x＝0对称．

其中所有正确命题的序号是.

5. 已知sinθ＝　，cosθ＝　，　＜θ＜π，则tan　=.

6． 设函数f（x）=　为奇函数，则a＝．

7． 如图1所示，在ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若　＝m　，　＝n　，则m+n的值为.

8. 直线l过抛物线y2＝a（x+1）（a＞0）的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a＝.

9. 已知f（x）=　，g（x）=　，则f（1）g（3）+g（1）f（3）-g（4）=

，f（3）g（2）+g（3）f（2）-g（5）=.由此概括出关于函数f（x）和g（x）的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是.

10． 若数列｛an｝的通项公式an＝　，记f（n）＝2（1-a1）（1-a2）・…・（1-an），试推测出f（n）＝.

11. 在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成的如图2（a）所示的六边形（图中圆圈表示珠宝），第三件首饰如图2（b）所示，第四件首饰如图2（c）所示，第五件首饰如图2（d）所示.以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，构成更大的六边形.依此推断第6件首饰上应有

颗珠宝，第n件首饰所用的珠宝数为.

12. 已知函数f（x）＝ax3+bx+4（x∈R），若f（-2）＝5，则f（2）＝.

13． 若a=1，b=2，a（a-b），则向量a与b的夹角为.

14. 若曲线y2＝x+1与直线y＝kx+b没有公共点，则k，b分别应满足的条件是.

15． 已知x，y满足x-y≤1，2x+y≤4x≥1；，则函数z＝x+3y的最大值是.

16. 对a，b∈R，记max｛a，b｝＝a（a≥b），b（a＜b）；则函数f（x）＝max｛x+1，x-2｝（x∈R）的最小值是.

17． 在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上的任意一点到角两边的距离之比为定值.类比上述性质，请叙述在立体几何中相应的特性（不必证明）.类比性质叙述如下：.

18. 在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB与AC垂直，则AB2+AC 2＝BC 2”.拓展到空间，类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出正确的结论是“设三棱锥A-BCD的三个侧面 ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则 .”

【参考答案】

1． 2 （直接展开计算）

2． 　 （直接计算）

3． 　 （直接计算：把“金、木、土、水、火”依次编号为1,2，3,4，5进行排序，排法总数为　＝120种，满足条件的排序为

＝10种，可得事件A出现的概率是　）

4． ①②③ （特征分析：对于④，函数y＝f（x-1）是偶函数，则其图像关于直线x＝0对称．由于函数y＝f（x）的图像可以由函数y＝f（x-1）的图像向左平移1个单位得到，所以函数y＝f（x）的图像关于直线x＝-1对称）

5． 5 （特征分析：利用sin2θ+cos2θ=1的特征，将条件代入可求得m=0或m=8， cosθ=　（舍去）或cosθ=-　， tan　=　=5）

6． -1 （取特殊值： f（1） +f（-1）=0， 2（1+a）+0＝0，即a＝-1）

7． 2 （取特殊位置：令点M与点B重合，点N与点C重合，则m＝n＝1，故m+n＝2）

8． 4 （取特殊函数：抛物线y2＝a（x+1）与抛物线y2＝ax具有相同通径长，故可用标准方程y2＝ax替换一般方程y2＝a（x+1）求解，故由通径长公式得a＝4）

9． 0，0， f（m）g（n）+g（n）f（m）-g（m+n）＝0 （计算后发现规律）

10． 　 （发现规律：计算得f（1）＝　，f（2）＝　，f（3）＝　，…，推测f（n）＝　）

11． 66，2n2-n （发现规律：记第n件首饰的珠宝数为an.由a1＝1，a2＝a1+5，a3＝a2+5+4，a4＝a3+5+2×4，a5＝a4+5+3×4，…，得an＝an-1+5+（n-2）×4，即an-an-1＝4n-3，易得an＝2n2-n）

12． 3 （构造新模型：令g（x）＝ax3+bx，则f（x）＝g（x）+4.易知g（x）为奇函数，则 f（-2）＝g（-2）+4＝-g（2）+4＝5， g（2）=-1， f（2）=g（2）+4=-1+4=3）

13． 　 （构造新模型：根据a（a-b）构造直角三角形，b对应斜边，a与a-b 对应直角边）

14． k＝0，b∈（-1，1） （数形结合：作函数y2＝x+1＝x+1（x≥0），-x+1（x＜0）的图像（见图3），得k＝0，b∈（-1，1））

15． 7 （数形结合：根据条件画出可行域，可知当直线过点（1，2）时，zmax＝1+6＝7 ）

16． 　（数形结合：作出函数f（x）＝max｛x+1，x-2｝（x∈R）的图像（见图4实线部分），从图像上观察可得，在x＝　处取得最小值　）

17． （答案不唯一，下列答案中任一皆可）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值；或从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值；或在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值；或在空间，射线OD上任意一点P到任意射线OA，OB，OC的距离之比为定值；或在空间，射线OD上任意一点P到任意平面AOB，BOC，COA的距离之比为定值. （类比转化）

三角函数值规律范文第9篇

关键词： 中考数学 锐角三角函数 数学模型

1.问题的提出

“锐角三角函数”是北师大版九年级下册第一章的内容，甘肃地区考卷分值在12―16分，本知识点考查分为两类：第一类，特殊角的三角函数的识记；第二类，用三角函数解决现实生活中的问题.相比较初中所学的其他函数，三角函数相对简单，大部分同学对于第一类考题能轻易解答，少数同学出错主要在于对三角函数概念理解不到位，对锐角三角函数不能对号入座，第二类主要在于对实际问题没办法抽象为几何中直角三角形的有关问题.因此，针对中考试题研究分析，总结出三角函数知识点出题的特点和规律，期待能预测今后本知识点考查的方式.

2.研究方法

以14套中考题为研究对象，从题量分布，题型分布，所占分值，与其他知识点的联系，蕴含的数学思想方法，考察目的进行分析，期待能总结出考查的特点，规律，以及解答此类题的技巧，并能预测今后考查的方向.

3.研究结果的分析讨论

3.1题量分布，题型分布，所占分值.

从题量分布来看，14套中考题中，涉及本知识点的考题共有29道，2012年题量在1―2道，2013年有四套题都涉及了两题，兰州卷涉及3题，2014年3套试题涉及2题，兰州卷和通用卷都涉及3道，说明题量稳重有所增加.预测今后甘肃地区本知识点还是以两道题进行考查.

从题型分布来看，2013、2014两年10套卷子有9套卷子以计算题和解答题考查，2014年天水卷以解答题考查，2012年兰州卷和通用卷用计算题和解答题考查，其余2套卷子只是出现在解答题的某一问中考查.除此之外，近三年兰州卷都用选择题对本知识点进行了考查，2014年通用卷用填空题进行了考查.预测今后主要还是以计算题和解答题为主进行考查.

从所占分值来看，2012年分值在10到15分之间，2013年分值在13到18分之间，2012年分值在13到18分之间，预测今后所占分值在15分左右.

3.2两类重点题型的考查形式与解答技巧

第一类：计算题.

计算题是特殊角的三角函数和实数的运算，包括立方，开方，零次幂，负指数幂，绝对值，以及乘法运算结合起来考查，这类题很容易丢分，需要考生对以上知识点都要熟知，而且要仔细，不能眼高手低，对学生的要求比较高，建议做两遍保证得分.熟记特殊角的三角函数值.

对于实数的相关运算，涉及以下6个方面，具体见表1.

这类题考查锐角三角函数的实际应用，解此类问题时，往往需先将实际问题抽象成数学问题，建立数学模型，再根据解直角三角形的有关知识进行求解，正确作出辅助线也是解题的关键，然后将题目中的信息转化为数学文字，并将所得信息转化为直角三角形的边和角，利用解直角三角形的方法进行求解.

解答题主要和以下知识点结合考查：（1）仰角俯角问题；（2）方位角问题；（3）坡度坡角问题；（4）测量问题等.

3.3蕴含数学思想与考查目的

（1）在探索直角三角形中边角之间关系，以及特殊角的三角函数的过程中，发展观察、分析、解决问题的能力.

（2）能够解决与直角三角形有关的实际问题，把实际问题转化为数学问题，形成模型思想，培养分析问题和解决问题的能力.

（3）体会数形之间的联系，学会利用数学结合，从特殊到一般，转化等数学思想分析和解决问题.

（4）在实际生活中，学会利用本知识点解决问题，培养学生的数学应用能力.

4.结语

三角函数是甘肃省中考必考内容之一，主要以计算题和解答题这两类题型为主，也可能在某一道解答题的某一问题来考查，分值在15分左右，题目难度适中.主要考查学生对特殊角三角函数的识记，以及三角函数的实际应用.今后还是以计算和解答两类题型为主进行考查，分值还是在15分左右，与我们的生活热点问题相结合.

参考文献：

三角函数值规律范文第10篇

数学复习课案例反思我所教的班级全部由艺体生组成，学生的数学基础普遍较差，这就要求我们在课堂教学中不仅要完成好现有的教学任务，还要不断地巩固初中的数学知识，如何提高学生的学习兴趣，也是我要重点考虑的问题。首先，行为导向分层次教学，给每个学生在他的能力范围之内定一个考试的目标，哪些题是他得分的重点，哪些是他可以放弃的，通过反复训练，学生能从中找到解题的方法与规律。其次，从整体上把握知识之间的关联性，结合生活中的实际，使学生感受到数学逻辑思维的乐趣，让他们用发现的眼光去体会生活中数学是无处不在的。下面就一堂高三总复习的《三角函数与平面向量专题》的复习课谈一点认识与体会。

三角函数是考试的重点，也是我们得分的关键，由于已经是第二轮复习，学生对于公式，定理的掌握基本熟练，我给他们准备了导学案，要求课前完成。

题型一：三角函数的化简求值问题

此题是三角函数公式，定理的考查，两角和差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”“逆用”“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“+”，“－”的变化特点。在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换，本题的易错点是符号，角的关系，为了巩固知识，安排了一个变式训练1：

此题的已知条件较少，难点是第二问，求解三角函数式的取值范围，首先要根据三角形内角之间的关系进行化简，然后根据已知条件确定角A或角C的取值范围，要利用锐角三角形的每个内角都是锐角，构造关于角A的不等式确定其取值范围，最后利用三角函数的图像和性质确定三角函数式的取值范围，大部分的学生忽略了角的取值范围，这也是在今后的教学中要重点提醒学生要注意的地方。

三角函数值规律范文第11篇

因此，还有一种想法是在函数概念下以“圆心在原点的圆周上的点的坐标”随角的变化而变化的“操作、观察”，先让学生建立起“任意给定一个角α，圆周上就有唯一的一个点P（x，y）与之对应”的直观感受，把注意力集中在三角函数的“函数特性”上，能使学生认清其对应关系、定义域和值域等，从而真正把握三角函数的“本来面目”.是否可以在“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”的思想指导下，以“如何建立圆周运动的数学模型”为教学起点，调动象限角、弧度制、单位圆、锐角三角函数等相关知识，在建立函数模型的过程中水到渠成地引入任意角三角函数的概念.这样，既可以使学生知道这一概念的背景、解决的问题，也可以使他们感受运用函数概念建立模型的过程和方法，还可以让他们体会三角函数在物理学科中的重要性.如果这样的设计思想能够实现，那么其效果是一举多得的.以下为笔者在教学实践中对任意角的三角函数定义引入的微课设计.

一、教材分析

三角函数是函数的一个基本组成部分，也是一个重要组成部分，在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识.初中已经学习过锐角的三角函数，教材第一节学习了任意角的表示方法，这些是学习任意角三角函数的基础.本节课的主要内容是：正弦、余弦、正切的定义；正弦、余弦、正切函数的定义域.

二、教学目标

理解任意角的三角函数的定义.

三、重点，难点

1.重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；

2.难点：任意角的三角函数概念的建构过程；

四、教学情景设计

1.引 入

我们初中已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，

以比值为函数值的函数，那么高中为什么还要继续研究呢？

实例导入：“离离原上草，一岁一枯荣.野火烧不尽，春风吹又生.”（王安石诗）.诗中描绘的是自然界中“按一定规律周而复始”的现象，称之为“周期现象.”我们曾学习过用“指数函数”模型刻画人口增长问题，用“对数函数”的模型刻画地震的震级变化，用怎样的数学模型来刻画周期现象呢？“周期现象一般与周期运动有关”，一个简单而基本的例子便是“圆周上的一点旋转运动”.

2.探 究

情境――选择数学模型.

问题：摩天轮的中心离地面高度为h0，它的直径为2r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点A 出发（如图1所示）.

求人相对于地面的高度h与时间t的函数关系式.

先从一个具体情境入手，例如过了30秒后，你离地面的高度如何计算？答：h=h0+rsin30°=h+MP.

再计算几个：60秒时.答：h=h0+rsin60°.

90秒时.答：h=h0+rsin90°.

一般的，过了t秒呢？猜想（愿望）：

答：ht=h0+rsint0.

“这样的想法合情，但合理吗？”

（意图：先从几个特殊情形出发，而后猜测一般性结论，再进行合理性论证！）

总结：人距离地面的高度h=h0+MP，其中h0是不变量，MP表示点P 到水平位置OA的距离，是变量；可以通过点P旋转的角度∠POA的大小，再结合初中锐角三角函数来计算.

3.分析数学模型

问题：对任意角∠POA；sin∠POA该如何定义？对前面这个问题往下具体分析：

当时间为t秒时，人距离地面的高度用h=h0±MP来表示，其中MP 表示点P到水平位置OA的距离.

对比：h=h0±MP与ht=h0+rsint0.

愿望：要想两者和谐统一.

必须有：rsint0=±MP即：sint0=±MP/r.

小结：点P在圆周上旋转运动，引起∠POA的变化，对任意一个确定的∠POA对应着唯一点P，进而有唯一的MP，得到sin∠POA=±MP/r①.

提问一：①式的分子何时取正值，何时取负值？

答：OA上方为正，OA下方为负.

提问二：根据①式这些特点，用怎样的一个量来替代MP或-MP，可以使上面的表示更简洁？

答：建直角坐标系，利用P的纵坐标替代MP或-MP.

4.建构三角函数的定义

任意的角的正弦一种定义方法.

（1）把α“放到直角坐标系内”.

（2）以原点为圆心，半径r 作圆，

又与α的终边相交于点P 坐标为（x，y）.

（3）规定：sinα=yr.

5.分析：以上规定是否合理？

问题一：当α为锐角时，此规定与初中定义矛盾吗？

结论：不矛盾，而且坐标法的引入摆脱了锐角的束缚.

问题二：圆的半径r大小有限定吗？

结论：根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变，是唯一确定的.

问题三：半径r取多少时，会使得比值更加简洁？

结论：可以考虑取r=1，这样的圆我们称单位圆.

即：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度1为半径的圆.

（意图：可以打破知识结构的平衡，感受到学习新知识的必要性――角的范围扩大了，锐角三角函数也应该“与时俱进”，并不显得突然.把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程发展思维.）

6.导出任意角的三角函数定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么，

y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；

x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；

yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα=yxx≠0.

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.

7.归纳总结，注重渗透

本节课通过对实际问题的解决，学习了任意三角函数的概念.请同学们简要回顾探究过程.三角函数的定义可谓“看似平凡最崎岖.成如容易却艰辛.”（王安石诗）.早期的三角学隶属于天文学，为了天文观测的需要，与古希腊几何有不可分割的联系.尽管三角知识起源较早，但在欧拉以前，人们对三角函数的研究大都在一个半径不定的圆内进行的，运用起来很不方便.直到欧拉时代，才令圆的半径为1，置角于单位圆中，把三角函数定义为相应的线段与圆半径1之比.教材中现在的定义与历史上大数学家欧拉的定义是一致的.欧拉用直角坐标来定义三角函数，彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题，使三角函数成为研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”.

（设计意图：对教学内容进行归纳、疏理、提升.有意加强数学文化的熏陶，让学生在数学学习中寻求数学发展的历史轨迹，感受数学家们严谨治学和锲而不舍的探索创新精神，从而提升自身的文化素养和创新意识.）

【参考文献】

三角函数值规律范文第12篇

关键词：数学概念；单位圆；三角函数

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式，是抽象化的空间形式和数量关系，是反映数学对象本质属性的思维形式。在高中数学的学习中，我们要涉及很多的数学概念，如“映射”“函数”“任意角三角函数”“单调性”“奇偶性”等等。在新课程的推进过程中，很多老师会在教学中利用探究性的教学方法，让学生进行探究，引导学生形成数学概念，但本人认为，并不是所有的概念都适合进行探究性学习的。接下来以“任意角的三角函数”为例进行分析。

“任意角的三角函数”教材中以初中所学的锐角三函数数为引入，要学生利用直角坐标系中角的终边上的坐标来表示锐角三角函数，进而转化到利用单位圆上点的坐标定义三角函数。可是在教学过程中，本人发现从长度到坐标的转化过程学生理解上存在困难，而且在知识点的迁移扩展上存在不清楚的问题。例如，以下教学过程：

引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？

思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？

显然，我们可以将点取在使线段OP的长r=1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示。那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数。

探究新知：

1.探究：结合上述锐角α的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？

显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了。所以。我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。

2.思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？

如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：

（1）y叫做α的正弦（sine），记做sinα，即sinα=y；

（2）x叫做α的余弦（cossine），记做cosα，即cosα=x；

注意：当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P（x，y），从而就必然能够最终算出三角函数值。

3.思考：如果知道角终边上一点，而这个点不是终边与单位圆的交点，该如何求它的三角函数值呢？

教学案例中通过对初中锐角三角函数的复习，针对新知识任意角如何求三角函数的问题进行提问探究，但是从长度到坐标的转变其实并不是那么的自然，显得有些牵强，学生此时也只是根据老师提示和教材上的内容进行学习，所以在这里进行的探究本人认为并不是特别必要。因为三角函数的概念其实应该是一个定义性质的概念，不存在探究的问题，利用单位坐标的定义才是其比较全面、完整的定义，而初中所学的锐角三角函数的定义其实是在所学知识有限的情况下所做的定义，并不是由锐角三角函数推广得到任意角的三教函数的，所以在这里，个人觉得直接给出任意角三角函数的定义，让学生与初中所学的锐角三角函数进行比较，发现其中的问题：在锐角的情况下，任意角三角函数所对应的坐标都可以用直角三角形的边长来进行代换，也就是说，初中所学的锐角三角函数其实是现在所学的任意角三角函数的一种特殊状况，而不是说任意三角函数是锐角三角函数的推广。

通过此例分析，本人认为，在概念的教学中，并不是说进行探研就一定是好的，更不能为了迎合新课程改革，为了探究而探究，做表面功夫，而忽略了学生学习认识的规律，这样往往看上去好看，但教学效率反而更低。所以在概念教学过程中，教师要根据所授内容的实际情况，结合学生学习认识的规律，加上教师对所授内容的理解，进行具体的教学策略选择。

参考文献：

[1]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论.北京师范大学出版社，2008-04.

[2]章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学.数学通报，2009（8）.

三角函数值规律范文第13篇

一、掌握内容变化是备考的重点

新增部分高考比例远远高于保留内容，删除的部分肯定不考，同时提高要求和降低要求部分高考也有相应较大变化.

新增部分有幂函数、函数零点与方程根、二分法求方程根思想、三视图、算法初步、统计、茎叶图、、函数模型及其应用、线性回归方程、独立性检验、统计案例 、古典概型与几何概型、全称量词与存在量词、导数及其应用、函数的导数公式、推理证明、坐标系与参数方程、复数、平面几何证明，不等式证明.

提高要求部分有Venn图的应用、分段函数的应用、函数模型及其应用、加强了与函数与方程的联系、线性规划与非线性规划问题及应用、等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系、利用函数及导数解决现实生活中优化问题、直线、双曲线、抛物线参数方程.

降低要求部分有反函数只要求用具体举例解释定义，不要求给出一般定义和求反函数；不要求求椭圆双曲线准线方程、只要求认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，对性质不作要求.

删减部分有两条直线的夹角和到角公式、由三角函数值求角、线段的定比分点、平移公式.无理不等式、计数原理、排列组合、二项式定理及其性质.

二、摸清考题的分布是备考的方向

几乎年年必考知识有集合运算、三视图、程序框图、复数运算、线性规划、导数意义求切线、三角变换求值（不考求角）、向量运算、圆锥曲线定义离心率等，以小题为主；立体几何以柱锥为载体考查证明平行、垂直和求距离、角、体积、面积等；求导函数主要考查单调性、极值、最值、参数值和范围、不等式证明等；圆与直线或圆锥曲线与直线；概率统计与函数；数列或解三角形应用或三角函数，以大题为主.

函数零点与二分法、特称全称命题、命题真假、四种命题、充要条件、解不等式、古典几何概型、函数变换、线面垂直平行偶尔考；多面体与球为高考热点.

三、了解考题的规律是考好的关键

三角函数值规律范文第14篇

【关键词】数学概念形成过程揭示本质体验感受

数学概念是反映现实世界中空间形式和数量关系的本质属性的概括和反映， 是用数学语言揭示事物的共同属性即本质属性的思维形式，是数学思维的细胞，是数学认知结构的重要组成部分.概念教学是数学教学中的重要环节，是一个抽象的思维过程.通过数学概念的教学，可以使学生深刻理解并正确掌握数学概念，培养学生良好的数学思维品质，从而提高各种思维能力.

一、数学概念要关注形成背景，让学生从现实生活情景中感悟

“能够用来促进学生学习的任何正当的手段和方法，都是合理的，假如为了促进学习，必须把要教的东西包上糖衣，那么你不应当吝啬糖。”这“糖衣”就是问题情境，一个好的问题情境能大大激发学生的学习兴趣和探究的欲望。

如：数轴概念的教学：怎样用数表示温度上升3度？下降3度？收入200元与支出200元等这些相反量呢？引出正负数的概念；用观察生活中的温度计特点：拿温度计观察温度时，水银的上下移动所以对应的数字即为所在时间温度；显然水面越上移，所得到的温度高，。进一步引导学生抽象出本质属性：（1）0度的起点（2）度量的单位（3）增减的方向，我们能否用一个更加简单形象的图示方法来描述它呢？由此启发学生用直线上的点表示数，从而引“数轴”的概念，首先从对实物的感受激发学生学习的兴趣，让学生自己从这个现实生活背景中，发现并抽象出数轴概念。

这样做符合学生的认识规律，给学生留下深刻持久的印象，同时也有助于激发学生的学习兴趣，积极参与教学活动，也有利于观察、分析、抽象、概括等能力的发展，学生思维能力的培养和素质的提高，学生容易接受。

二、 在概念的教学中体验知识的形成过程，进行探究性学习.

例如讲“正弦”首先创设问题情境：“为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是∠BAC=30°，为使出水口的高度为BC=20m，那么需要准备多长的水管？”对于上述问题学生很快想到利用勾股定理解决，若斜坡AB与水平面AC所成角的度数是20°，40°、50°，那么需要准备多长的水管， 对于上述问题，学生经尝试无法解决，从而产生认识冲突--如何解决这类问题？激发了学生的探究欲望。

第二步：启发思考. 在RtΔABC中，∠A的斜边和∠A的对边BC有什么关系呢？学生可能无法下手，此时，教师作点拨，能否从∠A的特殊值中找关系？从探究特殊情况中发现规律：（1）当30度、45度，在RtΔABC中，∠A的对边和斜边有什么关系？（2）运用几何画板进得动演示∠A的对边和斜边有什么关系？由特殊到一般，运用动态演示，引导学生大胆猜想，从而得到当锐角A取其它固定值时，∠A的对边与斜边的比值也是固定值。

第三步：证明猜想.引导学生利用相似三角形的知识证明此猜想。

第四步：引人“正弦”的概念。

学习最好的途径是自己去发现。学生如果能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现概念的过程，在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。在“正弦和余弦”的教学中，学生通过自主探究，经历了正弦和余弦概念的发生过程，实现了由形到数，由具体到抽象的思维过程，从而培养了学生的概括和抽象思维能力，同时也激发了学生学习的动机和探究的热情。

三、让学生体会概念的螺旋上升逐步剖析数学概念，揭示其本质

例如，在学习函数概念时，学生很难理解课本中给出的定义，教学中不能让学生死记硬背定义，也不应只关注对其表达式、定义域、值域的讨论，而应选取具体事例，使学生体会函数能够反映实际事物的变化规律.

如先让学生指出下列问题中哪些是变量，它们之间的关系用什么方式表达：

（1）火车的速度是每小时60千米，在t小时内行过的路程是s千米；

（2）用表格给出的某水库的存水量与水深；

（3）等腰三角形的顶角与一个底角；

（4）由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻.

让学生反复比较，得出各例中两个变量的本质属性：一个变量每取一个确定的值，另一个变量也相应地唯一确定一个值.再让学生自己举出函数的实例，辨别真假例子，抽象、概括出函数定义，至此学生能体会到函数“变”渗透了函数思想。

例2 在一元一次方程的教学中渗透函数思想：某移动通讯公司开设了两种通讯业务。“全球通”：使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付费0.4元；“快捷通”；不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元{本题的通话均指市内通话}.

（1）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？

（2）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通讯业务合算些？

通过在不同阶段渗透函数思想，使学生对函数概念理解呈螺旋上升，有利于学生不断加深对函数思想的理解. 并逐步形成函数概念，（1）“在某个过程中，有两个变量x和y”是说明：a.、变量的存在性；b、函数是研究两个变量之间的依存关系；（2）“对于在某一范围内的每一个确定的值”是说明变量x是在一定范围内取值，即允许值范围也就是函数的定义域。（3）“y有唯一确定的值和它对应”说明有唯一确定的对应规律。（4）“y是x的函数”揭示了谁是谁的函数，由以上剖析可知，函数概念的本质是对应关系。

四、让学生感受概念的实际应用

在教学过程中，应重视挖掘与生活实际联系的因素，使学生掌握概念，并能够应用概念解决生活中的数学问题。

例题《怎样测量旗杆的高度》是安排在九年级下册三角形相似和锐角三角函数之后的一个课题学习。本课题运用是三角形相似概念、锐角三角函数概念等知识解决相关问题。同时，在从事活动的过程中，学生将经历计算、比较、估计、对比、交流、反思、选择最优化方案等过程有利于发展学生的数学思考。对本课题的讨论，将有利于学生体会数学与现实生活的密切联系，积累解决问题的经验和数学活动的经验，获得良好的情感体验，体现情感态度价值观的目标教育。

三角函数值规律范文第15篇

二次函数压轴题能考查综合运用知识的能力，具有知识点多、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活等特点，因此是中考数学的难点.不过，如果我们能在做习题的基础上多总结一些方法，发现一些规律，有些难点就能较快突破.下面我们就一类二次函数与三角形面积的最值问题，来探求其中方法与规律.

一、规律发现

引例 已知二次函数y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，求PBC面积的最大值及此时点P的坐标.

【解析】本题为求三角形面积最值问题，可以采用平行线法或构造二次函数模型求最值等两种思路来解决问题.

解法1：如图1，易求直线BC的解析式为：y=-x+3，所以可设直线l为y=-x+b.过点P作直线l∥BC，则多数情况下，直线l与抛物线有两个交点，此时SPBC显然不是最大；当直线l与抛物线有唯一交点（即方程[y=-x+b，y=-x2+2x+3]有唯一解）时，点P到BC的距离最大，因此SPBC最大.①代入②化为一元二次方程可得x2-3x+b-3=0，当Δ=0时，方程有两个相等实数根，即b=[214].将b的值代回原方程组，可得此时点P的坐标为[32，154]，再由P、B、C点坐标可求得PBC的面积最大值为：[278].

解法2：如图2，同样求得直线BC的解析式为：y=-x+3.过点P作直线垂直于x轴，交直线BC于点D.

因为点P在抛物线上，所以可设点P坐标为（n，-n2+2n+3）（0≤n≤3），点D在BC上，因此坐标为（n，-n+3）；以PD为底边，设PDC的高为h1，设PDB的高为h2，则h1+h2=3，PD=（-n2+2n+3）-（-n+3）=-n2+3n.

SPBC=SPDC+SPDB=[12]PD・h1+[12]PD・h2

=[12]PD・（h1+h2）=[12]PD×3=[32]PD

=[32]（-n2+3n）=-[32]n2+[92]n.

这样，SPBC就是关于n的二次函数，根据二次函数性质易得当n=[32]时，SPBC的最大值为[278]，此时点P坐标为[32，154].

【发现1】在解法1中，当三角形面积取得最大值时，只存在一个PBC，但当面积缩小时，可能同时存在两个不同的PBC；

【发现2】在解法2中，将PBC进行纵向切割，将其分割为两个底边都为PD的三角形，它们的高的和就是BC两点的横坐标的差；

【发现3】注意观察两种解法中，当三角形面积取得最大值时，点P的横坐标是[32]，而点C的横坐标为0，点B的横坐标为3，可以理解为点P的横坐标恰好是线段BC中点的横坐标.其实这种情况并不是巧合，是一种规律，是可以用数学方法证明的.（有兴趣的同学可以抛物线y=ax2+bx+c和直线y=mx+n（am≠0）的交点是（x1，y1），（x2，y2）为一般情况进行证明，这里就不赘述.）

二、试刀中考

例1 （2016・江苏苏州）如图3，直线l∶y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4（a

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）略.

【解析】（1）方法略，函数解析式为：y=-x2+2x+3；

（2）本题初看与上面的引例不同，但其抛物线上的动点，及计算三角形面积的最值都与引例类似，可用解法2的方法求解问题，不过考虑到纵向作垂线分割三角形计算有一定的困难，可以采用横向作垂线分割三角形，纵向距离为高.

如图4，过点M作MEy轴于点E，交AB于点D，可设点M坐标为（m，-m2+2m+3），D在AB上，因此D坐标为：

[m2-2m3，-m2+2m+3]， DM=[-m2+5m3]，

S=[12]DM（BE+OE）=[12]DM・OB

=[12]×3×[-m2+5m3]=-[12]m2+[52]m.

然后可由二次函数性质求出最大值为[258].

【评析】在平面直角坐标系中研究一些图形的面积时，可采用割补法将复杂、不规则的图形分割成若干个三角形计算.分割时要注意以下几点：①分割后的三角形面积应该容易计算；②一般的分割方法为横向或纵向；③如有必要，也可斜向分割.

如本题中也可连接OM，计算四边形BOAM的面积减BOA的面积.有时可能要进行多次尝试，才能找到更为简单的计算三角形面积的方法.

例2 （2010・江苏徐州）如图5，已知二次函数y=-[14]x2+[32]x+4的图像与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC.

（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ；

（2）线段AC上是否存在点E，使得EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？

【解析】（1）解答略，A（0，4），C（8，0）.

（2）易得D（3，0），CD=5.直线AC对应的解析式为y=[-12]x+4，分三种情况讨论：①DE=DC，②ED=EC，③CD=CE，可求得三个点E的坐标分别为：E1（0，4），E2[112，54]，E3（8-[25]，[5]）.

（3）本题思路较为难觅，关键要理解“S取何值时，相应的点P有且只有2个”这句话的意思：其实只要考虑S的取值范围（即最大值与最小值），然后探讨在S取不同数值时的点P的个数即可.在求S的取值范围时，还要对点P所在的位置进行讨论，当点P的位置在AC上方时，就可以用引例中的两种方法求S的最大值，我们以第二种方法来解.

过P作PHOC，垂足为H，交直线AC于点Q.设P（m，-[14]m2+[32]m+4），则Q（m，-[12]m+4）.

① 当点P在AC上方时，即0

此时当且仅当S=16时，相应的点P只有1个，当0

② 点P在AB之间时，即-2

故S=16时，相应的点P有且只有两个.

【评析】本题的第（3）题问法比较难理解，尤其是“相应的点P有且只有2个”，这需要对此问题有一定的研究经验，知道引例中的平行线研究方法的原理（关键是不同面积数值与点P的个数的对应关系），否则不容易联想到要考虑PAC面积的取值范围.当然，在具体计算S的最大值时，还是用设坐标，用含m的代数式表示PAC的面积的方法更为简洁一些.