三角函数变换规律范文

三角函数变换规律范文第1篇

关键词：高中数学；三角变换；解题方法

中图分类号：G632.41 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2012）04-0116-02

由于三角函数的变换具有种类多而且方法灵活多变的特点，所以很难让学生真正的掌握。但是三角变换中的基本规律和思想却是不变的，我们可以把这些规律概括为公式间的联系和运用这两种。

一、三角函数变换中常见的几种类型

1.“角”度的变换。在进行三角变换解题的过程中，三角函数中角度变换，主要体现在差角、和角、半角、倍角、余角、凑角、补角等之间相互的转换，角度的变换起到了纽带的作用。随着三角函数角度的变换，函数的运算符号、名称以及次数等都会有一些相应的变化。在对三角问题进行求解的过程当中，由于表达式时常会出现许多相异角，因此，我们就要根据三角角度间和、差、倍、半、补、余、凑等关系，用“已知角”来表示“未知角”，然后再进行相关的运算，使三角变换的问题可以顺利的求解。

2.函数名称的变换。在函数名称变换中，最为常见的就是切割化弦，这时，我们一般都会从化函数或是化形式方面着手。在三角函数当中，正弦和余弦是六个三角函数中的基础，它们的应用也是最为广泛的，其次是正切。通常来讲，在进行三角问题求解的过程当中，时常会出现一些不同的三角函数名称，这时就需要我们把这些不同的三角函数名称转换成同名的三角函数，我们最常见的转化方式就是“切割化弦”与“齐次弦代切”。

3.“形”变换。在我们对三角函数进行化简、求值或是证明等运算的过程中，有时会根据相关的需要将一些常数如1，■，2+■等转化成相关的三角函数，然后再利用相关的三角函数公式进行运算。在这些常数当中，利用常数1来进行三角函数变换运算最为普通和广泛。在进行三角变换时，我们运算时一定要遵循由繁到简、由简而易的的规律，只有这样我们才能在众多的三角函数公式中找出相关的解题思路，才能明确解题的目标，从而顺利的解题。

如：2009年辽宁高考文科试题中，已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）

A：■B：■C：-■D：-■

分析：利用已知条件，我们很容易想到这道题需要进行“弦化切”，因此，我们利用已知整式中分母为1的条件，将“1”转化为sin2α+cos2α，从而进行解答。

二、三角函数变换的几种常用解题方法

1.“弦函数”与“切函数”间的相互转换。“弦函数”与“切函数”之间互相的转换是我们平常对三角函数问题进行解答时，常用的两种函数转化的基本手法。若是在三角函数式当中存在着正切函数，我们就能让学生在解题的时候，利用三角函数之间最基本的关系或是让“弦函数”转化成为“切函数”等方式来进行对题目的求解或证明。

2.角的等量代换。在我们解决三角函数的问题过程中，要重点的注意已知角同所求角间的相互关系，适当的使用拆角和拼角的解题技巧。就像α=（α+β）-β=β-（β-α）=■+■或是2α=（α+β）+（α-β）或是2β=（α+β）-（α-β）等。

例如：已知3sinβ=sin（2α+β），求证tan（α+β）=2tanα

证明：因为β=α+β-α，2α+β=α+β+α

所以3sinβ=sin（2α+β）

由此推出3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），所以3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，因此推出2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，所以得出tan（α+β）=2tanα。

3.公式的逆用和变用。我们在对三角函数的问题进行解题时，时常会遇到需要对三角公式进行变用或逆用的情况，尤其是公式的变用，常常会因学生的不够熟练出现错误。因此我们要让学生能够熟练的运用2sin2x=1-cos2x以及2cos2x=1+cos2x这些三角函数的公式。

4.引入辅助角公式。辅助角公式的引入，是在三角函数变换过程中，两角和同两角差之间正弦或是余弦公式形式的变换，它是求三角函数的单调区间、周期等时最为重要的解题手段之一，就像我们将三角函数式asina+bcosα转变为■sin（α+φ）的形式，在这个三角函数式里φ被称为辅助角，而这个辅助角的大小则是由tanφ所决定的，它的象限就是由a、b两个符号所确定的。

例如在2009年重庆高考文科卷2试题中，设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω>0）的最小正周期为■。

（1）求ω的值；

（2）若是y=f（x）的图像往右平移了■个单位长度得到了函数y=g（x）的图像，则求函数y=g（x）的单调增区间。

解：（1）f（x）=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx

=sin2ωx+cos2ωx+2=■sin（2ωx+■）+2

则T=■=■，则解得ω=■

解（2）得g（x）=■sin[3（x-■）+■]+2

=■sin（3x-■）+2

由于2kπ-■≤3x-■≤2kπ+■，（k∈Z），所以■kπ+■≤x≤■kπ+■，（k∈Z），所以y=g（x）的单调增区间就是[■kπ+■，■kπ+■]

综上所述，无论对三角函数进行求值、化简还是证明，其解题的过程都会是从已知向未知进行转化的过程，所以，我们要从中找到它们之间的差异，才能顺其自然的对三角函数进行转变。

参考文献：

[1]葛志峰.三角变换的类型与技巧[J].读与写（教育教学刊），2007，（5）.

[2]祁正红.从一道高考题谈三角变换技巧[J].数理化学习（高中版），2007，（18）.

三角函数变换规律范文第2篇

一、初中函数教学中的等量替换方法概述

所谓等量替换，实际上就是用一种量或者其部分替换与之相等的另外一种量、或者一部分；等量替换是初中阶段数学教学过程中的一种基本思想方法，同时也是代数思想教学和学习的基础.从狭义层面来讲，函数等量替换思想，即采用等式性质体现实际上是等式的传递性.比如，a=b、b=c，则可推导出a=c.在初中函数教学过程中，真正用到的等量替换为f（a=b∧f（a）f（b）），上述关系中的f代表的是广义层面的等量替换.具体来讲，即如果M是N的同义词，而且N代表人，则M也是人.从实践来看，该种数学思想方法不仅在初中阶段的函数教学过程中应用比较广泛，作为数学基础和重要知识点，在高中、大学阶段都会用到.在初中数学教学过程中，因三角函数变换种类非常的多，学习方法非常的灵活，所以学生感到非常的吃力或者困惑.然而，三角变换过程中基本规律、解题思路不变，因此实践中可将这些基本规律概括成公式之间的联系、运用，在此过程中三角函数的等量替换对学生们的数学思维能力培养，具有非常重要的作用.事实上，在我们的日常生活中存在着很多等量替换的实例，比如曹冲称象的故事，便是一个非常经典的等量替换思想应用实例.在初中数学教学过程中，如果A=B，Q+A=W+B，则Q=W就是等量替换思想应用的结果.在初中数学函数中，如果两个方程式相等，在其两边分别同时加上同一个整式，则二者依然相等，这便是最为典型的等量替换思想.

二、初中数学函数教学过程中的等量替换措施

在当前初中数学函数教学过程中，等量替换思想应用非常的广泛，以三角函数为例，其变换常见的类型如下.

1.三角函数中的“角”替换策略

在初中三角变换解题实践中，对三角函数中的相应角度进行替换，体现在和角、差角、半角、余角、倍角以及补角和凑角之间的相互替换，其中角度变换或者替换，起到了非常重要的连接作用.在三角函数角度替换过程中，函数运算过程中的名称、符号以及次数等，也会随之发生相应的变化.

比如，在ABC中，已知∠BAC=90°，M是线段AC的中点，且AGBM，垂足为G，BG=2GM.（1）证明BC=3AG；（2）设AB=6 ，则BM的长度为多少.

（2） 由（1）得当AB=6时，BM=BG+MG=3.

本例题中用到了等量替换思想.事实上在对初中三角函数问题求解过程中，因表达式中通常会有许多个相异的角，所以需根据实际情况，三角角度间和、差、倍、半以及补和余关系，将未知角用已知角来表示（替换），然后再进行具体运算，从而顺利求解.

2.三角函数中的“形”替换策略

在初中函数教学过程中，尤其在对三角函数化简、证明以及求值运算时，通过会根据具体需求，将常数1或者x等转化成三角函数，再利用三角函数公式对其进行具体运算.其中，利用常数1对三角函数替换运算最为常见.三角函数中的“形”替换，主要表现在三角形中的恒等式，即任意非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC恒成立.

三角函数变换规律范文第3篇

【关键词】 恒等变换 给值求值 给角求值 给值求角 综合运用

【中图分类号】G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02

三角恒等变换是高考的重点之一,要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考对本部分内容的考点:一方面是简单的化简、求值,以客观题为主,难度一般不大,有时以向量为载体出现解答题;另一方面本节内容常作为数学工具常融合三角函数,这时要先对三角函数解析式进行化简、变形,再深入考查三角函数的图像和性质。还需说明一点的是“几个三角恒等式”及积化和差、和差化积公式和半角公式不要求记忆和运用,已经淡出高考范围。本文现从江苏和全国其他各省近几年的高考试卷中精选出一些典型考题与大家一起研讨高考中这部分内容的命题方向和考查方向,希望能起到一个抛砖引玉的效果。

1 高考命题热点一:给值求值问题。

【真题再现1】(2011年全国卷理科第14题)已知,,则

【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系式与二倍角的正切公式的运用。

由已知得,则,所以。

规律小结:对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值,关键在于变角,使目标角变换成已知角,若角所在的象限没有确定则应分情况讨论,应注意这部分内容中公式的正用、逆用、变形利用,同时根据题目的结构特征,学会拆角、拼角等技巧,

如,等。

2 高考命题热点二:给角求值问题。

【真题再现2】(2006年江苏卷第14题)

【解析】本题考查了切割化弦、辅助角公式

,倍角正弦公式、降幂公式。原式

=

=

=。

规律小结:给角求值问题,一般给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系。解题时要利用观察得到的关系,结合三角公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得到解,有时还要逆用、变用公式,同时结合辅助角公式和升幂、降幂公式等技巧。

3 高考命题热点三:给值求角问题。

【真题再现3】(2008年江苏卷第15题)如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边做两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为。(1)求的值;(2)求的值。

【解析】本题融合三角函数的定义,考查两角和的正切公式、二倍角的正切公式。由条件得,因为,为锐角,所以=,因此

(1),

(2),所以,因,为锐角则,故=

规律小结:给值求角问题,往往通过间接求出这个角的某个三角函数值,再得出这个角的大小,选取某个三角函数值时可按照下列原则:一般已知是角的正切函数值,则选所求角的正切函数值;已知条件是正弦、余弦函数值,则选所求角的正弦、余弦函数值皆可;若所求角的范围是,则选该角的正弦函数值较好;若所求角的范围是,则选该角的余弦函数值较好。解决给值求角问题分三步:第一步是求该角的某个三角函数值,第二步是确定该角所在的范围,第三步是根据角的范围写出所求的角。

4 高考命题热点四:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用问题。

【真题再现4】(2011年重庆卷第16题)设,

,满足,求函数在上的最大值和最小值。

【解析】本题考查融合了三角函数的单调性和最值的性质,考查诱导公式、二倍角的正弦公式、降幂公式、公式

,又考查综合分析问题和解决问题的能力。由已知 ,由得,因此

;由及,解得增区间;由及,解得减区间,所以函数在上的最大值是;又因,则函数在上的最小值为。

【真题再现5】(2009年江苏卷第15题)设向量

,,。

(1)若与垂直,求的值;

(2)求的最大值;(3)若,求证:∥。

【解析】 本题主要考查融合向量的基本概念与向量平行,考查同角三角函数的基本关系式、

二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力、综合分析问题和解

决问题的能力。

(1)由与垂直,,即

,。

(2)4,

,则的最大值是。

(3)由得,即,所以∥。

规律小结:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用,大多以解答题的形式出现,它一方面融合平面向量知识考查化简、求值、证明恒等式,学生必须掌握好平面向量知识特别是数量积的运算才能顺利解答问题;另一方面三角恒等变换为数学解题工具,它往往融合三角函数考查三角函数的图像和性质(如周期性、单调性、值域、最值等),这类题突破的关键是能正确快速地对三角函数进行化简,化简的技巧和原则:①采用遇平方降幂的方法使式子的次数尽量低;②采用辅助角公式、切弦互化使式子的函数种类尽量少;③采用已知角表示未知角使式子的角的种类尽量少;④采用通分等变形技巧使式子结构尽量简单,同时还要注意角的范围及三角函数的正负。随着知识的深入还会更多的接触到三角恒等变换与解三角形(正弦、余弦定理)融合的题型。

5 高考的考查特点分析和方向预测。

上面就一些高考中的三角恒等变换知识进行了深入的分析,通观全国各省对三角恒等变换的考查,我们发现有以下特点:

(1)分文理科的地区,两科对三角恒等变换均有考查;文理试题的题目基本相同,难度区分不大。

(2)区分度问题:三角恒等变换部分不会出非常难的题目,一般都是以容易题、中档题出现。

（3）题型方面:全国各省在选择题和填空题中都有所考查,更侧重填空题;在解答题中考查但难度不大;全国各省高考大多数都是考一道填空题容易题和一道解答形式的中档题。

三角函数变换规律范文第4篇

数学复习课案例反思我所教的班级全部由艺体生组成，学生的数学基础普遍较差，这就要求我们在课堂教学中不仅要完成好现有的教学任务，还要不断地巩固初中的数学知识，如何提高学生的学习兴趣，也是我要重点考虑的问题。首先，行为导向分层次教学，给每个学生在他的能力范围之内定一个考试的目标，哪些题是他得分的重点，哪些是他可以放弃的，通过反复训练，学生能从中找到解题的方法与规律。其次，从整体上把握知识之间的关联性，结合生活中的实际，使学生感受到数学逻辑思维的乐趣，让他们用发现的眼光去体会生活中数学是无处不在的。下面就一堂高三总复习的《三角函数与平面向量专题》的复习课谈一点认识与体会。

三角函数是考试的重点，也是我们得分的关键，由于已经是第二轮复习，学生对于公式，定理的掌握基本熟练，我给他们准备了导学案，要求课前完成。

题型一：三角函数的化简求值问题

此题是三角函数公式，定理的考查，两角和差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”“逆用”“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“+”，“－”的变化特点。在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换，本题的易错点是符号，角的关系，为了巩固知识，安排了一个变式训练1：

此题的已知条件较少，难点是第二问，求解三角函数式的取值范围，首先要根据三角形内角之间的关系进行化简，然后根据已知条件确定角A或角C的取值范围，要利用锐角三角形的每个内角都是锐角，构造关于角A的不等式确定其取值范围，最后利用三角函数的图像和性质确定三角函数式的取值范围，大部分的学生忽略了角的取值范围，这也是在今后的教学中要重点提醒学生要注意的地方。

三角函数变换规律范文第5篇

本文介绍了计算机辅助数学教学的重要软件《几何画板》的主要功能，并通过实际案例分析说明《几何画板》在课堂教学过程中的重要作用.

【关键词】计算机辅助教学;几何画板;三角函数

一、计算机辅助数学教学的重要工具――几何画板

计算机辅助教学（ComputerAssisted Instruction，简称CAI）是教师为了提高教学效果和效率，利用以计算机为中心的丰富的教学资源，改进传统教学，或为学生提供一个学习环境，使学生通过与计算机的交互对话进行学习的一种教学形式.

《几何画板》（The Geometers Sketchpad）是计算机辅助数学教学的重要软件之一.它的主要功能有： ①画出各种欧几里德几何图形;②画出解析几何中的所有二次曲线;③画出任意一个初等函数的图像;④对所有画出的图形、图像进行各种变换，如平移、旋转、放缩等;⑤对所作出的对象进行度量，如线段的长度、封闭图形的面积等.

下面笔者通过分析《几何画板》辅助教学的实际案例来说明其在数学教学中的重要作用.

二、《几何画板》使用案例

（一）案例背景

三角函数y=Asin（ωx+φ）的图像变换按变换方向的不同可以分为两类：①沿y轴方向的伸缩变换;②沿x轴方向的伸缩变换和平移变换.

沿y轴方向的伸缩变换在没有平移变换的干扰下比较容易掌握.沿x轴方向的平移和伸缩变换是教学的重点和难点，如果只发生单一的变换，学生能够正确的理解并进行处理，一旦两种变换同时存在并且需要对其进行综合应用时，学生就会出现一些困难.

（二）问题情景

问题1：将函数y=sinx的图像进行怎样的变化后能得到函数y=sin2x+π3的图像？

分析：这个问题是三角函数图像变换中常见的练习题目.

解法一：先进行伸缩变换再进行平移变换.

学生出现的错误解法是：将函数y=sinx图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=sin2x的图像，再将函数y=sin2x的图像向左平行移动π3个单位长度.由此实际得到是函数y=sin2x+2π3的图像，而非函数y=sin2x+π3的图像.

正确的解法是：将函数y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=sin2x的图像，再将函数y=sin2x的图像向左平行移动π6个单位长度，得到函数y=sin2x+π3的图像.

对于这种平移变换中的错误，在高一第一学期介绍图像变换时是作为一个易错点进行突破的，因此在这里只要进行知识的复习和巩固，学生便能够接受.同时若伴有《几何画板》进行演示，则可以增加学生对三角函数平移变换的感性认识.

解法二：先进行平移变换再进行伸缩变换.

学生容易出现的错误解法是：将函数y=sinx的图像向左平行移动π6个单位长度，得到函数y=sinx+π6的图像，然后再将函数y=sinx+π6的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变.由此得到的函数图像实际为函数y=sin2x+π6的图像，而不是函数y=sin2x+π3的图像.

正确的解法是：将函数y=sinx的图像向左平行移动π3个单位长度，得到函数y=sinx+π3的图像，再将函数y=sinx+π3的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=sin2x+π3的图像.

对比两种的做法，我们不难看出，出现此种错误的原因是学生没有准确地把握函数y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]在伸缩变换上的区别和规律.下面我们可以利用一个更简单的例题来说明学生的这种错误.

问题2：将函数y=sinx+π3的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，所得到的解析式是什么？

正确的答案是：所得到的函数解析式为y=sin2x+π3.然而学生可能得到的函数解析式是：y=sin[2x+π3]=sin2x+2π3.

此时我们便可以利用《几何画板》进行演示来帮助学生理解函数y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]在伸缩变换上的区别和规律.

（三）问题解决

步骤1：演示y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]两个函数图像伸缩变化的过程，让学生观察它们区别.（在说明两个函数的变化过程时，可以选取两个具体的函数，这样利于学生进行观察.）

制作过程：①绘制两条可变线段AB和CD;②度量线段AB和CD的长度，并将结果分别命名为ω和υ;③分别绘制出函数y=sinωx+π3和y=sinυx+π3.

演示方法：分别变换线段AB和CD的长度引起ω和υ的变化，让学生观察y=sinωx+π3和y=sinυx+π3两个函数图像变化的相同之处和不同之处.

观察结论：当ω和υ发生变化时，函数y=sinωx+π3和函数y=sinυx+π3图像变化的共同点是：都发生了沿x轴方向的伸缩变化.不同点是：当ω变化时，函数y=sinωx+π3的图像以其与y轴的交点（0，32）作为定点进行伸缩变化的（事实上，当x=0时，无论ω取何值，均有y=sinωx+π3=32）;而当υ变化时，函数y=sinυx+π3图像则是以-π3，0作为定点进行横向伸缩的（事实上，当x=-π3时，无论υ取何值，均有y=sinυx+π3=0）.

步骤2：演示函数y=sin（ωx+φ）图像伸缩变化的过程，让学生观察其变化规律.

制作过程：①在x轴上选取一个点M，然后标记它的横坐标xM;②计算出2π3xM并令结果为ω;③绘制新函数f（x）=sinωx+π3.

演示方法：拖动点M，让学生观察ω和xM之间的变化关系.

观察结论：从《几何画板》所给出的数据中可以清楚地看到ω和xM之间的变化关系：当ω变化时图像上点M的横坐标变为原来的1ω倍，即当ω变换化时，图像上每一点到y轴的距离变为了原来的1ω倍.这就说明函数y=sinωx+π3的图像是以其与y轴的交点（0，32）作为定点进行伸缩变化的.

步骤3：演示函数y=sin[υ（x+φ）]图像伸缩变化的过程，让学生观察其变化规律.

制作过程：①在x轴上绘制点D（-π3，0）;②过点D构造x轴的垂线;③在x轴上选取一个点N并标记它的横坐标;④计算出d=|xN-xD|，此时d为N点到D点的距离;⑤计算出πd并令结果为υ;⑥绘制新函数f（x）=sinυx+π3.

演示方法：拖动点N，让学生观察υ和xN、υ和d之间的变化关系.

观察结论：从《几何画板》所给出的数据中可以清楚地看到：当υ变化时，图像上点N的横坐标并没有变为原来的1υ倍，而d（图像上点xN到直线x=-π3的距离）变为原来的1υ倍.这就说明函数y=sinυx+π3是以-π3，0作为定点进行横向伸缩的.

（四）问题结论

三角函数变换规律范文第6篇

关键词：图像变换 平移变换 伸缩变换 对称变换

从《高中数学考试大纲》、《考试说明》以及高考命题趋势可以知道，对“函数的图形变换”这一知识点的考察，在历年来高考试题中频频出现。而函数图像有关的试题，包含有“要从图中（或列表中）读取各种信息；注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换；注意函数的对称性、函数值的变化趋势；运用数形结合思想来解题的能力”等等，各个方面都可以设计考题。

本文仅从“图像变换”这一个角度，谈谈自己的点滴教学心得。

在对“图像变换”的最初教学中，每每感到已经讲解得明明白白、清清楚楚的知识点，总有部分学生常在实际解题中出错或混淆，是学生自身的知识迁移能力差？还是知识掌握的不牢固？或者根本就是教学失败？对此，我进行了深深的思考。

高中的知识在涉及到“图象变换”的地方主要有以下章节《函数》、《三角函数》、《平面向量》，并且每次的思考角度与背景都有不同。

一、在《函数》这一部分中主要是从图像变换前后的差异入手，从而归纳出函数图像变换的规律，并加以记忆。

函数图像变换的几个重要性质：

①平移变换：

函数y=fx+a（a>0）的图像是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；

函数y=fx+a（（a

函数y=fx+b（b>0）的图像是把函数y=fx助图像沿y轴向上平移b个单位得到的；

函数y=fx+b（b

②伸缩变换：

函数y=fωx（ω>0）的图像是把函数y=fx的图像沿x轴伸缩为原来的1ω得到的；

函数y=Afx（A>0）的图像是把函数y=fx的图像沿y轴伸缩为原来的A倍得到的.

③对称变换：

由函数y=f（x）图像作关于y轴的对称图像从而得到函数y=f（-x）的图像。

由函数y=f（x）图像作关于x轴的对称图像从而得到函数y=-f（x）的图像。

由函数y=f（x）图像作关于原点（O，0）的对称图像从而得到函数y=-f（-x）的图像。

由函数y=f（x）图像去除y轴左边部分，保留y轴右边部分同时作其关于y轴对称图像从而可以得到函数y=f（|x|）的图像。

由函数y=f（x）图像保留x轴上方的图像不变，同时作出x轴下方部分关于x轴的对称图像，（或者认为是将下方图像关于x轴翻折上去）从而可以得到函数y=|f（x）|的图像。

由函数y=fa+x图像作关于直线x=a对称的图像可以得到函数y=fa-x的图像.

由函数y=f（x）图像关于直线y=x作出对称图像可以得到y=f-1（x）。

说明：以上变换均在定义域允许的范围下或存在有意义的条件下进行。

学生在记忆知识点时可以依靠口诀：“左加右减，上加下减”记平移变换；“纵乘横除”记伸缩变换；“奇偶相关，正负变号”记对称变换。

二、《三角函数》中的图像变换主要针对三角函数这一类型特别给出，作为函数的一种，其变化规律也应该符合以上结论。

三、《平面向量》中的图像平移变换，则是侧重对函数图像变换中的平移变换进行学习与研究。

点F（x，y）按照向量=h，k平移后得到点F′（x′，y′），其平移公式为x′=x+hy′=y+k

同样可以推导出：函数y=f（x）按照向量=h，k平移后得到函数y-k=f（x-h）的图像。如果与前面平移规律相比较，可以对应为：

当h>0，k>0时，由函数y=f（x）向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到函数y-k=f（x-h）的图像。

当h>0，k

当h0时，由函数y=f（x）向左平移h个单位，再向上平移k个单位得到函数y-k=f（x-h）的图像。

当h

由以上知识归纳，可以有三种不同的题型设计方法：

（1）已知平移前的函数解析式与平移向量，求平移后的函数解析式；（2）已知平移前后的函数解析式，求平移向量；（3）已知平移向量与平移后的函数解析式，求平移前的函数解析式或解析式中的字母的值或取值范围。

由于以上诸多的一般结论记忆困难，可以将平移向量在直角坐标系中作出图像，再进行对应，可以解决在叙述中的相互转换。

例题解析：

例1、设f（x）=2-x，g（x）的图像与f（x）的图像关于直线y=x对称，h（x）的图像由g（x）的图像向右平移1个单位得到，则h（x）为 。（答： h（x）=-log2（x-1））

分析：依据图象变换的顺序，首先得到g（x）=-log2x，再根据“左加右减”得h（x）=-log2（x-1）。

例2、如若函数y=f（2x-1）是偶函数，则函数y=f（2x）的对称轴方程是 。（答：x=-12）.

分析：函数y=f（2x）的图像可以看成由函数y=f（2x-1）的图像向左平移a=h，k得到。所以图像的对称轴也由y轴向左平移了12，所以函数y=f（2x）的对称轴为x=-12。

例3、把函数y=log2（2x-3）+4的图像按向量a平移后得到函数y=log24x的图像，则a= ； （答：a=（-32，-3））

评析：这就是属于“已知平移前后的函数解析式，求平移向量”这种类型的题。初看，2x变换为4x应该有伸缩变换，单纯平移变换似乎无解，其实这里我们应该注意到log2（4x）=1+log22x，即说表面上的伸缩变换在对数中，可以由纵向的平移变换替换的.

分析：因为log24x=1+log22x，所以，只需按照向量a=（-32，-3）平移，就可以将y=log2（2x-3）+4的图象变换为y=log24x的图象。

例4、已知f（x）是R上的增函数，令F（x）=f（1+x）-f（1-x），则F（x）在R上的单调性是（ ）（答：A）

（A）增函数 （B）减函数 （C）先增后减 （D）先减后增

解法一：f（1-x）是由f（x）左右对称翻转后再右移1个单位得到，

f（1-x）是减函数，则-f（1-x）是增函数，f（1+x）是由f（x）右移1个单位得到，

仍然是增函数，

f（1+x）-f（1-x）是实数集上的增函数；

解法二：特殊化法，如f（x）=2x，则可以更快捷地得到结论

例5、要得到y=cos2（π4-x）的图像，只需将函数y=sin（2x-π3）的图像（ ）（答：C）

（A）向左平移π3个单位 （B）向右平移π3个单位 （C）向左平移π6个单位 （D）向右平移π6个单位

分析：注意到y=cos2（π4-x）=cos（π2-2x）=sin2x

因为y=sin2x向右平移π6个单位可得到y=sin2（x-π6），即y=sin（2x-π3）

故y=sin（2x-π3）向左移π6可移回得y=sin2x，也即y=cos2（π4-x）.

通过对以上知识的归纳与深刻理解，学生对“图像变换”已经感到心中有数。因为只有理解了“图像变换”的本质，掌握了在不同背景下的变换却拥有同一变换原理，才可以从容面对变化万千的各种“图像变换”。

附练习：

（1）、若f（x+199）=4x2+4x+3，则函数f（x）的最小值为__ __。（答：2）；

（2）、要得到y=lg（3-x）的图像，只需作y=lgx关于_____轴对称的图像，再向__ __平移3个单位而得到。（答：y；右）；

（3）、函数f（x）=x・lg（x+2）-1的图像与x轴的交点个数有_ ___个。（答：2）

（4）、将函数y=bx+a+a的图像向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图像如果与原图象关于直线y=x对称，那么（ ）（答：C）

（A）a=-1，b≠0 （B）a=-1，b∈R （C）a=1，b≠0 （D）a=0，b∈R

（5）、将函数y=f（x）的图像上所有点的横坐标变为原来的13（纵坐标不变），再将此图像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为 （答：f（3x+6））；

三角函数变换规律范文第7篇

关键词： 数学复习课 转换 变化 迁移

数学复习课的目的，在于帮助学生将前面在较长时间内所学的知识澄清，巩固，掌握知识的本质联系，熟练解题技能与技巧，提高分析问题能力和综合运用能力，而不只是知识的简单重复与罗列.然而，由于复习的时间短、任务重，不少教师忽视了基本知识与规律的复习，而采用课堂增加例题量、课后加大练习量的方法.尽管“题海”增大了题目的覆盖面，但它却难以提高学生分析问题和解决问题的能力.因为它偏离了学生的实际，偏离了教书规律，一味“填鸭式”，不利于学生积极性、创造性的发挥.事实上，从心理学角度来说，大量的练习会使学生的大脑活动由兴奋转向抑制.实际练习量的多、深、难，常会使学生穷于应付，头昏脑涨，处于一知半解的迷糊状态，导致他们只会机械模仿，有“举一”而无“反三”之功.一旦题目稍微变化，便会束手无策.那么，怎样提高复习课的教学质量呢？

一、基础知识的复习，注意转换

由于数学知识的逻辑性强，缺乏趣味性，加之学生的注意力集中时间较短，如果单元复习知识按照课文的先后顺序把所学过的知识（概念、法则、共识、定力、公理）原本地复述一遍，就会导致学生乏味，缺乏联系，不便记忆，难以理解.针对这个问题，可以采取如下方法：首先列出文章的主要知识，然后适当归类排队，给出知识联系的框架结构，再用数学编码.如以下三角函数知识要点的梳理：三角函数基本概念，三角函数的恒等变形（化简，求值，等式的证明），三角函数的图像和性质，三角变换基本解题方法：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理.常用的技巧：升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法、利用倍角公式建立2α与α、α与的关系、角的配凑等.对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合，一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究.易错点：要注意正切函数定义域的限制；在三角变形过程中要注意自变量取值范围的变化，以防出现增根或失根；遇到参数或字母时，应注意分情况进行讨论.然后，由主干知识点、基本方法回顾练习.

二、例题讲解，应重视变化

是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.

2.在对例题进行解答之后，应注意例题的以点带面功能，有意识地在例题的基础之上进一步引申扩展，挖掘问题的内涵和外延，指导学生对新问题的探讨，以激发思维，启迪智慧，开阔视野，让学生通过对同一题目条件改变的比较，达到分析问题能力的升华，同时也可以培养学生对知识的迁移能力.把文字语言翻译成数学符号语言，然后运算.例如有关数列的问题.首先判断是等差数列还是等比数列，确定首项、公差（比）、项数是什么，能分清，然后选用适当方法求解.最后的程序是还原，即把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解.

例如，在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是什么？

分析：本题是走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程.然后求和.

三角函数变换规律范文第8篇

关键词：策略；帮助；三角函数

中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）07-0229-03

三角函数是高中数学新课程中的重要内容，在这些内容中强调了三角函数作为函数的作用，强调了三角函数是刻画周期现象的基本模型等，这是数学课程发展中的一个变化.虽然高中数学新课程已对一些内容降低了要求，但很多学生同样不适应，不能很好地理解与掌握。高考试题中的三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常以简单题形式出现。因此，在学习、复习过程中要特别注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象及其变换、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等重点内容的学习，要求学生熟练记忆和应用三角公式及其恒等变形，同时要注重三角知识的工具性.对此本人从几个方面加以阐述，希望能够帮助学生认识“三角函数”在数学中的地位，能较为全面地把握“三角函数”知识脉络，学好三角函数知识，提高综合能力.

一、解决角的问题是学好三角函数的前提

（一）解决好特殊角的三角函数值的求法

在初中，学生对0°～90°之间的特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值已了如指掌，但到了高中，随着角度的扩展，求与特殊角有关的角的三角函数值也随之增多，如对120°、135°、330°、―30°等角的三角函数值的求法开始出现了混乱。如何解决这一问题呢？通过学习诱导公式，学生明白了求这一类角的三角函数值，看似众多，其实都与0°、30°、45°、60°、90°的三角函数值有关，且只有符号的异同。因此帮助学生弄清诱导公式所概括的“奇变偶不变，符号看象限”这一规律，计算这一类角的三角函数值的问题也就迎刃而解。

（二）解决好角与角之间的关系

在三角函数中，如例1：已知，cos（α+β）=-■，sinα=■，求cosβ.

相当多的学生直观地把cos（α+β）化为cosα+cosβ-sinαsinβ用于计算，造成运算烦琐或无功而返。究其原因是缺乏整体思想，没有注意到对角的关系进行观察、分析。事实上若清楚β=（α+β）-α，则问题迎刃而解。又如：

例2.已知cos（■-α）=■，■-α是第一象限角，求■的值.

本例的解法很多，学生若能发现（■-α）与（■+α）的关系及（■-α）与（■-2α）的关系，本例就好解了。因此在教学中，帮助学生树立整体思想，引导学生注意观察、分析、比较。（如：角与角之间的和差倍半关系，互补、互余关系等）总结基本的方法、规律，提高解决问题的能力。

（三）解决好隐含条件的问题

解题是数学学习中的一个主要环节，它的一般过程是：问题条件知识方法结果，可见寻找问题条件是解题的第一步.可是在一些数学题中，它的某些条件较为隐蔽，需要经过反复推敲，剖析题意.挖掘题设隐含条件，所谓隐含条件，是指题中若明若暗、含蓄不露的条件，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被人们所觉察，或者极易被人忽视，而直接制约整个解题过程，三角函数在许多方面如定义、公式、三角函数值，条件等式中都存在着隐含条件。在解三角函数题时，常因未能发掘其隐含条件造成一开始解题就无法进行，或者解到某一个阶段而陷入困境，或者造成解题失误。

例3.设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A-C）+cosB=■，b2=ac，求B.

学生通过公式的变换及运算得sin2B=■，sinB=■或sinB=-■（舍去），于是B=■或B=■.这样的解法存在错误，其实在条件中cos（A-C）+cosB=■隐含着cosB>0的条件，即B为锐角。或由b2=ac知b≤a或b≤c得B为锐角。所以引导学生多观察条件，从中找出隐含条件，以免造成解题失误。

二、熟记，灵活运用公式是学好三角函数的基础

（一）熟练掌握三角变换的公式

很多学生刚开始学习三角函数时，因为三角函数的公式太多，而造成混乱。其实公式之间也有一定的内在联系，比如诱导公式sin（■±α）（k∈z）中，只需把“α”看成锐角，画出■的终边表示在X轴正半轴、X轴负半轴、Y轴正半轴、Y轴负半轴中的哪一个，终边在X轴上则函数名不变，终边在Y轴函数名改变；终边再按顺时针还是逆时针转一个锐角定象限，确定函数符号。掌握了诱导公式以后，就可以把任意角的三角函数化为0°～90°间角的三角函数。又如：以两角和的余弦公式为基础推导得出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握这些公式的内在联系及推导的线索，能够帮助我们理解和记忆这些公式；同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一，它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中要经常用到，必须熟记，并能熟练运用. 这也是学好本单元知识的关键.

（二）灵活运用三角公式

熟练掌握三角变换的所有公式理解每个公式的意义，特征；熟悉三角变换常用的方法――化弦法、降幂法、角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形中的有关公式解决一些实际问题.

1.运用化弦（切）法：

例5：已知tanα=■，求：f（α）=-2cos2α-■sin2α+2的值。

把-2cos2α-■sin2α+2除以1得■，化为■，再弦化切。本题就好解了。

2.运用增减倍与升降幂法：在运用公式化简三角函数时，引导学生根据具体问题分析采用增倍还是减倍，升幂还是降幂。

例6：设函数f（x）=2sinxcos2■+cosxsinφ-sinx（0

解：f（x）=2sinx・■+cosxsinφ-sinx=sinx+sinxcos φ+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ）

因为函数f（x）在x=π处取最小值，所以sin（x+φ）=-1，由诱导公式知sinφ=1，因为0

例7：已知函数f（x）=sin2x+■sinxcosx+2cos2x，x∈R.求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；其中sinxcosx可转化为sin2x，所以将sin2x、cos2x降幂同时把角转化二倍角。

3.运用辅助角及常用模式的转换法。在三角函数中除了运用课本内的公式外，还利用类似辅助角公式asinθ+bcosθ=■sin（θ+φ）进行解题。（这里辅助角φ所在象限由a、b的符号确定，φ角的值由tanφ=■确定。）而且在实际解题中，这一类问题大部分集中在sinα±cosα=■sin（α±■）和■sinα±cosα=2sin（α±■）和等常用模式的转化。

如上例7函数化简为：

f（x）=■+■sin2x+（1+cos2x）=■sin2x+■cos2x+■=sin（2x+■）+■

三角函数变换规律范文第9篇

【关键词】函数 图象 平移变化

一 、 平移变换

1.初中教材中的平移。大多学生到了高中以后，仍深深的记得“左加右减，上加下减”，却忘记了它的来源及运用范围。实质上，这一口诀是结合二次函数顶点式中，顶点的平移引起解析式变化而引出的解题规律。初中学习坐标系以后，由点的坐标开始学到函数图象，数形结合思想淋漓尽现。由于坐标轴正方向x轴向右，y轴向上，所以点从左向右横坐标到小到大，由下向上纵坐标由小到大。例如点（0,0）向右向上各平移一个单位，横纵坐标均增加1，变为（1,1）（注意：这时口诀中左加右减并不成立）。而点是构成线的元素，抛物线开口向上，以（0,0）为顶点，解析式为y=2x2,若其顶点移到（1，1），解析式就相应变为 y= 2（x－1）2+1。同样是向右向上平移，注意解析式中的x被减掉1，函数值最后加上1。因为后来初中试题中更多考查的是平移对解析式的影响，所以老师帮学生总结了“左加右减，上加下减”这一规律。可以肯定，这一规律提高了解题速度。遗憾的是，很多学生却没有理解平移后点坐标的变化与函数解析式的变化结论是不一样的。

笔者认为初中的教学中应特别巩固点在坐标系中的移动引起的坐标变化，从而建立学生的数形结合的解题能力。然后在总结函数图象平移的规律（口诀）之后，更要指明它的适用范围，为以后的学习做好铺垫。

2.高中教材中的平移变换。首先，高中新课标新教材会先接触函数，在初中的正比例函数，反比例函数，一次函数、二次函数的基础上继续学习指数函数、对数函数、幂函数，三角函数。这时，初高中的平移知识过渡会非常自然，八字口诀仍然适用。有的同学在学习三角函数的图象变换时，会有一个难点。例如函数y= sin2x ,变到y= sin（2x－ ），到底是在x轴的方向上向右平移 个单位还是 个单位，总是不清楚或者记不住。那么我们就可以让同学们回忆初中知识，前面讲到y=2x2, 若其顶点移到（1，1），解析式变为y= 2（x－1）2+1。现在y= sin2x变到y= sin（2x－ ），也无非是把对称中心向右平移，原来对称中心是（0,0）,后来对称中心是（ ，0），自然就清楚平移的单位是 而不是 了。以后再碰到例如把 y= sin2x的图象向左平移 个单位，也就知道解析式先变为y= sin2（x+ ），再化简为y= sin（2x+ ）。这时，教师在给学生澄清问题过后，进一步补充完善八字口诀，左加右减，上加下减的同时，注意加和减是作用给一个x，一个y的。

其次，方程曲线的平移有所区别。一般面临两种情况。第一种，直线方程。当学生初次接触直线的平移，大多会有以下的错解过程。例如把直线x－y=0，向右平移一个单位，再向下平移2个单位，写过程为（x－1）－（y－2）=0,化简为x－y+1=0。错解的原因是x－y=0是曲线方程而不是y=f(x)形式函数解析式，不是八字口诀的运用范围。但是我们很容易将之转换为y=x，学生会很轻松地得到正解为y=x－1－2=x－3。第二种，圆锥曲线方程。由于二元二次方程不能转化为y=f(x)形式，而有的同学会沿用旧方法。

再次，按向量平移。笔者认为平移公式固然方便，但死用公式不能达到对平移知识的融会贯通。如果先判断向量方向，再回到旧有知识上去学生更容易接受。示例如下：(1) 将点（2，3）按 =（－1,1）平移，求平移后的点坐标。(2)将y=2x按 =（－1,1）平移，求平移后的解析式。(3)将圆x2 + y2 =4按 =（－1,1）平移，求平移后的圆方程。

分析：三道题中 的方向都是由原点指向左上方，所以都是向左平移1个单位，再向上平移一个单位。

解：(1)坐标平移，向左横坐标减小，向上纵坐标变大，答案是（1,4）。(2)函数图象平移，“左加右减、上加下减”，答案是y=2(x+1)+1=2x+3. (3)曲线方程平移，转化到圆心平移，参考（1）做法，圆心变为（－1,1），答案是（x+1）2 + （y－1）2 =4.

综上，正确区分进行平移的图形是哪一种形式尤为重要。作为高中教师，在帮助巩固初中知识的同时，帮助学生找出新知识与旧知识的区别与联系，适时进行知识的升华，一定可以使得学生不留疑惑，事半功倍。

函数图象变换中的平移体现了初高中教材同一部分知识由浅入深的呼应，笔者个人建议教师可尽量调动学生积极性，用已经掌握的方法推广解决新问题，并引导他们把旧方法升级，不断归纳总结。

三角函数变换规律范文第10篇

关键词：变形技巧 基本不等式 三角函数

【中图分类号】G633.6

变形技巧是解决数学问题的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。我们对式子变形实质上是为了将式子转化为可解决问题的某种形式，为下一步解决问题做准备。变形属于技能性的知识，其中存在着一定的技巧和方法，需要人们在学习和解题的实践中反复提炼才能把握其技巧，以至在解题中灵活应用。下面介绍基本不等式、三角函数变形中常用的变形技巧。

1、基本不等式的变形技巧

在高中数学中多应用基本不等式来求函数的最值、值域等，在解题过程中对已知条件给出的式子灵活变形使基本不等式出现积（或和）为定值是解决问题的突破口。常用的方法为拆、添、配凑、代换，现就常用技巧给以归纳。

（1）拆、添、配凑

在解决与不等式相关的问题中，拆、添、配凑有各自不同的方向和技巧但往往又是紧密相连的，拆、添常常为配凑做准备。拆常数：将不等式中的某个常数进行拆分成题中所需的常数。拆系数：将不等式中某些项的系数进行拆分。拆常数或系数多为配方创造条件。拆项：将不等式中的某些项进行拆分，为使用基本不等式创造条件。添倍数：不等式的左右两边添上倍数（注意符号），为配方创造条件。添式：在不等式的两边添上一个代数式，为使用基本不等式创造条件。

例1、x>3，求函数 的值域。

分析：添常数将 凑成含基本不等式结构的式子

例2、已知 ，则 ，求函数最小值。

分析：本题已知函数式为分式看似无法使用基本不等式，对函数式进行配凑变形再分离便可构造出基本不等式。

，

技巧点评：在求分式型函数的最值中常用配凑的变形技巧，可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑。通过拆、添常数，逐步配凑基本不等式并分离出一个常数，这是分式函登笾涤虺S玫姆椒āT诮馓夤程中常常需要采用“拆项、补项、配凑”等变形技巧找到定值，再利用基本不等式来求解，使得复杂问题转化为简单的问题。

（2）常值代换

这种方法常用于如下两类题型

①“已知ax+by=1（a、b、x、y均为正数），求1x+1y的最小值.”

②“已知ax+by=1（a、b、x、y均为正数），求x+y的最小值”

例3、若 且满足 ，求x+y的最小值。

分析：结合问题和已知条件进行“1”的代换 可将问题转化为求含有基本不等式结构 ，接着可利用基本不等式求函数最值。

技巧点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式能巧妙地解决问题。利用基本不等式求函数最值时，还需注意“一正、二定、三相等”，通过变形技巧找到定值，若和定则积最大，若积定则和最小。

2、三角函数的变形技巧

高中阶段三角函数与初等代数、初等几何紧密联系，是初等函数的重要部分。解决三角函数求最值问题常常要对三角函数式进行灵活的变形，而其变形主要有三个基本方向一是看角、二是看函数名称、三是看结构特征。除此之外，我们还常常结合代数的变形技巧和构造法，为三角函数的变形创造一定的条件，现就常用技巧给以归纳。

角的变换

在三角函数的求值、化简与证明题中，函数式常常出现较多的不同的角，但这些角又有一定的联系。解题过程中分析条件与结论中角的联系，进行三角函数变换 主要是“消除差异，化异为同”。根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换能有效解决问题。

例4、已知 ，求证： 。

分析：可以考虑将条件中的角 和 配凑成求证结论中的角 ，即 ， ，再利用三角函数和差关系解决问题。

函数名称的变换

题目中若出现不同名称的三角函数，这就需根据同角三角函数关系式或诱导公式将异名的三角函数化为同名的三角函数，达到“消除差异，化异为同”的目的。函数名称的变换中最常见的就是切割化弦。

例5 、已知 ，试用 表示 的值。

分析：将已知条件中“切化弦”将原式转化为关于 的式子即 。

（3）常数的变换

在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，或将三角函数转化为常数，从而构造所需的函数式。例如常数“1”的变换有： ， 以及一些特殊角三函数值等等。

例6、求函数 的最小正周期，最大值和最小值。

分析：由所给的式子 可联想到

（4）幂的变换

对于一些次数较高的三角函数式，一般采用降幂的方法处理，达到化简的目的。而降幂并非绝对，有时也常需要对于无理式 用升幂处理化为有理式。

（5）公式的变形与逆用

高中教材中给出每一个三角函数公式的基本形式，但在解题的过程中往往要对基本公式变形后加以应用，有时也需逆用公式。顺公式较容易，而逆用公式较困难，因此要有逆用公式的意识和思维。这要求我们既要熟悉基本公式又要对其变通形式有所了解。

三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识的重要基础。三角函数式的恒等变形常应用于化简三角函数式，求三角函数式的值，证明三角恒等式等。三角函数式恒等变形的理论依据是代数式恒等变形的一般方法和法则，与三角函数式的变形公式。变形中还需注意符号的变化，以及三角函数定义域和值域的范围。

参考文献

三角函数变换规律范文第11篇

一、函数与导数：

函数这部分内容，几乎涉及到中学里所学的数学思想方法，例如：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化思想.函数的解题方法，用到了很多典型的基本方法，例如：配方法、待定系数法、数学归纳法、换元法、消元法、反证法等.

复习时首先要重视基础，基础知识的掌握要全面，其次要注意函数图像的平移变换、伸缩变换、对称变换以及函数图像的翻折变换，这些都是高考出现频率高的问题，应熟练掌握.

有关函数的综合问题一般难度较大，失分较严重，要增加复习力度，要重视有关一次函数、二次函数、指数与对数函数的综合问题，重视应用问题中函数模型的构建，要掌握用解析几何的思想和方法解决代数问题，掌握用导数方法研究函数的性质及解决实际问题的方法.

例1 （2007年山东高考题）设函数f(x)=x2+bln(x+1)，其中b≠0．

（Ⅰ）当b> 时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln( +1)> - 都成立．

解：（Ⅰ）由题意知，f(x)的定义域为(-1,+∞)，f′(x)=2x+ = .设g(x)=2x2-2x+b，其图象的对称轴为x= - ∈(-1,+∞)，

g(x)min=g(- )=- +b．当b> 时，g(x)min=- +b>0，

即g(x)=2x2+2x+b>0在(-1,+∞)上恒成立，

当x∈(-1,+∞)时，f′(x)>0,当b> 时，函数f(x)在定义域(-1,+∞)上单调递增．

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当b> 时，函数f(x)无极值点．

②b= 时，f′(x)= =0有两个相同的解x=- ，

x∈(-1,- )时，f′(x)>0，x∈(- ,+∞)时，f′(x)>0，

b= 时，函数f(x)在(-1,+∞)上无极值点．

③当b< 时，f′(x)=0有两个不同解，

x1= ，x2= ，

b

即x1∈(-1,+∞)，x2∈[-1,+∞)．

b

由此表可知：b

x1= ，

当0

此时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

由此表可知：0

x1= 和一个极小值点x2= ；

综上所述：

b

（Ⅲ）当b=-1时，函数f(x)=x2-ln(x+1)，令函数h(x)=x3- f(x)=x3-x2+ln(x+1)，则h′(x)=3x2-2x+ = ．

当x∈[0,+∞)时，f′(x)>0，所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增，

又h(0)=0．x∈(0,+∞)时，恒有h(x)>h(0)=0，

即x3>x2-ln(x+1)恒成立．

故当x∈(0,+∞)时，有ln(x+1)>x2-x3．

对任意正整数n取x= ∈(0,+∞)，则有ln( +1)> - ．所以结论成立．

点评：用导数研究函数的性质尤其是单调性与极值是高考试题中的必考内容，本题的前两问继承传统没有大的变化，第三问利用导数证明不等式，有一定的新意.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查函数与导数知识的还有安徽、北京、天津等.综合分析可预测2008年，函数与导数知识仍为必考内容，函数的单调性与极值仍是热点，另外，应注意导数在不等式证明、研究曲线的切线性质、实际应用题中的应用.

二、数列与数学归纳法：

函数是高考的主线，而数列是一种特殊的函数，一直是高考的热点，因此，解数列题要注意运用方程与函数的思想方法，分类讨论的思想，等价转化的思想等数学的思想与方法去解题，①等差数列的求和公式是关于n的二次函数，所以解题时可借助二次函数的性质求解；②等比数列的求和公式中分母出现1-q,解题时要注意分母为零的情况，要分|q|>1,|q|

数列问题与数学归纳法是密切相关的，经常需要利用合情推理，从特殊到一般，观察分析归纳得到数列中各项之间的递推关系，然后进行证明求解.纵观近几年各地高考试题，主要有两种表现形式：一种是以图、表等形式给出彼此间关系，确定图、表中某一行或某一列中项的规律性质；另一种是借助函数、方程等条件给出项之间的关系，然后确定数列的通项、前n项和的关系式或比较其中某些项的大小关系.

例2 （2007年湖南高考题）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第

行；第61行中1的个数是．

第1行 11

第2行101

第3行 1111

第4行10001

第5行 110011

…… …………………………………………

分析:观察杨辉三角形可知，第1次全行的数都为1的是第1=21-1行;

第2次全行的数都为1的是第3=22-1行;

第3次全行的数都为1的是第7=23-1行;

第4次全行的数都为1的是第15=24-1行;…，

所以，第n次全行的数都为1的是第（2n-1）行；

因为第7行8个数为：1，1，1，1，1，1，1，1；

第6行7个数为：1，0，1，0，1，0，1；

第5行6个数为：1，1，0，0，1，1；

所以第63行64个数为：1，1，1，1，1，1，1，…，1；

第62行63个数为：1，0，1，0，1，0，1，0，…，1；

第61行62个数为：1，1，0，0，1，1，0，0，…，1，1；

第61行62个数中1的个数为：15×2+2=32.

点评:本题这种图表题型近几年一直在考，解决关键是准确理解图表前几行或列中各项之间的关系，找出规律特点，然后运用合情推理，把此规律特点运用到所求的问题上，问题即可迎刃而解.

例3 （2007年山东高考题）设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an= ，a∈N*．

（Ⅰ）求数列{an}的通项；

（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn．

解：（Ⅰ）a1+3a2+32a3+…+3n-1an= ，n=1时，a1= ；

假设n=k时，ak= ；则n=k+1时，3k•ak+1= -(a1+3a2+…+3k-1•ak)= -( + +…+ )= - = ，

ak+1= ；由数学归纳法原理知：an= ．

（Ⅱ）bn= ，bn=n3n．

Sn=3+2×32+3×33+…+n3n，①

3Sn=32+2×33+3×34+…+n3n+1． ②

②-①得 2Sn=n3n+1-(3+32+33+…+3n)．

即2Sn=n3n+1- ， Sn= + ．

点评：数列是年年高考必考内容之一，一般一个大题，1-2个小题.本题主要考察等比数列的通项公式、前n项和公式及推导方法，考察数列知识的应用能力和转化的数学思想.同时本题也体现对常规题目运用通性通法解决问题的能力.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查数列与数学归纳法的还有全国卷、上海卷、浙江卷.综合分析可预测2008年，高考数列部分要求不会有大的改变，仍重点考察等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式及常用的求通项、求和的方法，但须注意两点：（1）数列与其他知识的结合（如函数、导数、解析几何等），尤其是用函数与方程思想方法解决数列问题；（2）树立应用意识，能利用数列的有关知识解决实际生活中的一些问题.

三、三角函数

三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数.本部分基本的解题规律为： 观察差异（或角、或函数、或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.

变是本部分的主题，角的变换、三角函数名的变换、三角函数次数的变换、三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变的意识是关键，但题目不可太难，要立足课本，掌握课本中常见问题的通性通法，自觉对课本习题进行归类，并进行分析比较，从中发现解题规律与技巧.另外要注意加强三角函数应用意识的训练.

例4 （2007年浙江高考题）已知ABC的周长为 +1，且sinA+sinB= sinC．

（I）求边AB的长；（II）若ABC的面积为 sinC，求角C的度数．

解：（I）由题意及正弦定理，得AB+BC+AC= +1，BC+AC= AB，两式相减，得AB=1．

（II）由ABC的面积 BC•AC•sinC= sinC，得BC•AC= ，由余弦定理，得cosC=

= = ，所以C=60°．

点评：本题考察三角函数在三角形中的应用，新课标对解三角形要求没有降低，同时加强了对应用意识的要求，因此，与应用有关的数学知识成为考察重点.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查三角函数的还有山东卷、全国二卷、湖南卷、安徽卷、江西卷等，综合分析可预测2008年，高考对三角部分的考察将保持4个稳定：内容稳定、难度稳定、题量稳定、题型稳定，考察重点仍是三角函数的概念、性质和图像，求值与三角变换，另外要注意加强三角函数应用意识的训练.

四、圆锥曲线与平面向量：

本专题的重要内容是直线与二次曲线的位置关系，而这种关系可从方程的观点出发，把直线与二次曲线的关系问题等价于直线方程与二次方程联立的方程组解的问题，即等价于消元后的一元二次方程的判别式情况，这是代数方法研究两曲线位置关系的基础.学习本部分内容，不仅为了掌握圆锥曲线的定义和性质，还要通过对他们的研究，进一步学习如何用代数方法研究几何问题，即掌握坐标法.

这类问题常涉及到：

（1）直线被二次曲线截得的弦AB，其中A(x1,y1)，B(x2,y2)则弦长|AB|= + ，与弦AB有关的三角形面积的计算及最值问题.

（2）二次曲线上有关已知直线对称的两点问题.

（3）直线与二次曲线相交、相切条件下某些关系的建立及其一些字母范围的确定.

处理以上问题常常用到一元二次方程的根与系数关系，整体思想，“设而不求”、间接考虑问题的思想方法和数形结合思想.

例5 （2007年山东高考题）

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0)，由已知得：a+c=3，a-c=1，a=2，c=1，b2=a2-c2=3.椭圆的标准方程为为 + =1．

（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立得y=kx+m， + =1．得

(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，

Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0，x1+x2=- ，x1•x2= ．

又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= ，

因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2,0)，

kADkBD=-1，即 • =-1，

y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0，

+ + +4=0，

9m2+16mk+4k2=0．解得：m1=-2k，m2=- ，且均满足3+4k2-m2>0，

当m1=-2k时，l的方程为y=k(x-2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；

当m2=- 时，l的方程为y=k(x- )，直线过定点( ，0)．

所以，直线l过定点，定点坐标为( ，0)．

点评：由于新课标降低了对双曲线的要求，因此有关椭圆的内容成为重点，本题主要考察直线与椭圆的位置关系，解析几何的思想方法以及运用解析法处理问题的能力，考察函数与方程的思想方法，同时本题也体现了对常规题目运用通性通法解决的要求.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查圆锥曲线的还有广东卷、湖南卷、江西卷、全国卷、陕西卷、天津卷、浙江卷、重庆卷等，综合分析可预测2008年高考本板块以下内容将会是命题的热点：（1）求指定曲线方程或轨迹方程；（2）圆锥曲线的定值、定点问题；（3）圆锥曲线的最值问题；（4）圆锥曲线中的对称问题.

五、立体几何与空间几何体：

立体几何考察的重点在空间图形上，突出对空间概念和空间想象力的考察.立体几何的基础是对点、线、面、体的各种位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体，而且采用了公理化体系的方法.

空间几何体是空间直线与平面问题的延续和深化，要熟练掌握概念、性质、面积、体积公式，同时也要学会运用等价转化思想，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解，会用类比的思想方法研究线面的垂直与平行关系.

例6 （2007年山东高考题）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，AB∥DC．

（1）求证：D1CAC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．

（1）证明：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，

连结C1D，DC=DD1，

四边形DCC1D1是正方形．DC1DC1．

又ADDC，ADDD1，DCDD1=D，

AD平面DCC1D1，

D1C 平面DCC1D1，ADD1C．

AD,DC1 平面ADC1，且ADDC=D，

D1C平面ADC1，又AC1 平面ADC1，D1CAC1．

（2）连结AD1，连结AE，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连结MN，

平面AD1E∩平面A1BD=MN，

要使DE1∥平面A1BD，须使MN∥D1E，

又M是AD1的中点．N是AE的中点．

又易知ABN≌EDN，AB=DE．

即E是DC的中点．

综上所述，当E是DC的中点时，可使DE1∥平面A1BD．

点评：本题主要考察空间直线和平面平行的判定定理的应用，考察同学们的空间想象力和逻辑思维能力，另外第二问以开放形式给出条件，考察了同学们的创新意识与发散思维能力，是一道较好的文科试题.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查立体几何还有全国卷、安徽卷、江苏卷、天津卷、广东卷等.综合分析可预测2008年，高考内容不会有太大的变化，文科仍以简单的逻辑证明为主，主要是线线、线面、面面的平行与垂直.要求同学们记牢4个公理及相关推论，等角定理，8个相应的判断定理和性质定理及有关的结论.注意作题的规范化.

六、概率与统计

对于概率、统计这部分内容，要注意课本例题、习题的示范性、规范性、导向性的功能.概率、统计的考察以基本知识为主，应注意课本例题习题的形式，特别是概率，背景不宜太复杂，切忌过度拔高而脱离高考和学生的实际.

例7 （2007年山东高考题）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；

解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程x2+bx+c=0没有实根”为事件A，“方程x2+bx+c=0有且仅有一个实根”为事件B，“方程x2+bx+c=0有两个相异实数”为事件C，则Ω={（b，c）|b，c=1，2，…，6}，

A={（b，c）|b2-4c

B={（b，c）|b2-4c=0，b，c=1，2，…，6}，

C={（b，c）|b2-4c>0，b，c=1，2，…，6}，

所以Ω是的基本事件总数为36个，A中的基本事件总数为17个，B中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个.又因为B,C是互斥事件，故所求概率P=P(B)+B(C)= + = ．

点评：本题的背景比较新颖，避开了传统的掷筛子、射击、摸球、涂色、次品等传统背景，而与一元二次方程结合，这就要求学生应明确整个事件，明确基本事件，并能够准确的计算出这些基本事件的个数及其发生的概率，从题目本身看，严格遵循了课标和考试说明的要求，是一个较好的题目.

三角函数变换规律范文第12篇

一、 掌握作图

作函数y=Asin(ωx+φ)的图象有两种方法，一是“五点法”，二是“变换法”．

“五点法”是作函数y=Asin(ωx+φ)图象的实用方法．用“五点法”作图时，一定周期、二定起点、三按周期规律均匀分布其余四点．

“变换法”在实际作图时并不太方便，但它能帮助我们认清函

数y=Asin(ωx+φ)与正弦函数y=sinx之间的内在联系，应用很广泛．常用的变换规律是：

y=sinx

沿x轴向左平移φ(φ>0)个单位或向右平移|φ|(φ

纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω（周期变换）

y=sin(ωx+φ)

横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍（振幅变换）

y=Asin(ωx+φ)

例1试用五点法作出函数f(x)=2sin(2x-π3)的图象，并说出这个函数的图象可以由函数y=cosx的图象经过怎样的变换得到．

解析列表描点得出f(x)=2sin(2x-π3)的图象（如图1所示）.

2x-π30π2π32π2π

xπ6512π

23π

1112π76π

y020-20

y=cosx，即y=sin(x+π2)．将y=sin(x+π2)图象沿x轴向右平移56π个单位，得到y=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的图象；将所得图象上的各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到y=sin(2x-π3)的图象；再将所得图象上各点的纵坐标变为原来的二倍（横坐标不变），得到y=2sin(2x-π3)的图象．

二、 学会识图

这里的识图是指由给出的图象，能写出与之对应的函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，从而进一步地，能够认识和研究这个函数的有关性质．

由所给图象写出与之对应的函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，关键是确定A、ω和φ的值．方法较为灵活．A通常由最大值和最小值确定，ω由周期确定：ω=2πT，而φ=-ωx0（这里的x0是指用“五点法”作图时的起点的横坐标）．另一种常用的方法则是将图象上的点的坐标代入，借助待定系数法求解．

例2已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|

解析由图象知A=2，T=2［6-(-2)］=16，故ω=2πT=

2π16=π8．

又图象起点的横坐标x0=-2，

所以φ=-ωx0=-π8・(-2)=π4．所以f(x)=2sin(π8x+π4)．

其初相φ=π4，周期T=16，振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2，得16k-6≤x≤16k+2，即增区间为［16k-6,16k+2］(k∈Z)；同理可得减区间为［16k+2,16k+10］(k∈Z)．

三、体验用图

“用图”是数形结合思想的体现，学会运用函数y=Asin(ωx+φ)的图象解决与三角函数有关的数学问题和实际问题，可以使我们的思维品质和解题能力得到有效的锻炼与提高．

例3某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24,单位：小时）的函数.下面是该港口的水深数据表.经长时间的观察，描出的曲线如图3所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωt+B的图象．

(1)试根据数据表和曲线，求出函数

y=Asinωt+B的表达式；

(2)一般情况下，船舶行时船底同海底

的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船

的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，

那么该船在什么时间段能够安全进港？若该

船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所需的时间）？

三角函数变换规律范文第13篇

摘要：课堂教学的主体是学生，课堂教学的目的是促进学生的发展。教师在课堂教学中是学生学习的引导者、组织者和帮助者。教师如果能采用恰当的策略，充分发挥学生学习的主动性，激发学生学习的兴趣和热情，为学生的学习指明正确的方向，那么学生就会在课堂的学习中获得长足的发展。

关键词：学生发展 教学策略 三角函数

课堂教学的最终目的是促进学生的发展，学生发展的内涵体现在教学目标上，可细化为“三维目标”：即知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。作为“思维的体操”的数学，在促进学生发展方面起着举足轻重的作用，它可以很好的培养学生能力、夯实学养根基、培养优良个性品质。在高中数学课堂教学中，如何根据不同的教学内容，选择合适的教学策略，促进学生的发展，成为广大教师所关心的热点问题之一，本文以高中数学《三角函数》的教学为例，就此谈点粗浅的认识和体会。

1、注重知识衔接，奠定学生发展的基础

同一知识模块或相关知识，在不同学段有着不同的要求.“螺旋式上升、循序渐进”便成为了新教材编写的重要原则。因此，在课堂教学中，要充分体现这一原则，充分注重知识的衔接，遵循学生的认知规律，为学生的发展奠定坚实的基础。

案例1初、高中三角函数各自内容怎样？两者是如何衔接的？

众所周知，三角函数是中学数学的重要内容，在初中阶段，学生已初步学习了三角函数知识，但只要求学生在了解的基础上会进行一些特殊角的三角函数的计算和化简。在高一教材中则花了三个章节系统介绍了三角函数知识，并且角的范围扩大到任意角，教学要求明显提高，偏重于三角函数图象和性质的研究及应用，内容丰富、抽象、概括性很强，它不是初中内容的简单重复，而是延伸、拓展和提高。因此，我们说三角函数是初、高中数学教学的一个重要衔接内容，正确处理好初、高中三角函数的教学衔接，深入研究彼此潜在的联系和区别，做好新旧知识的串连和沟通，不仅可以帮助学生深化理解三角函数概念，而且更有助于提高学生的思维能力，分析问题和解决问题的能力。

案例2 高中三角函数两章的内容如何分布？又是怎样衔接的？

高中数学三角函数在人教版普通高中课程标准实验教材·数学（A版）中，安排在必修4的第一章《三角函数》和第三章《三角恒等变换》共两章，知识脉络大体为；角的推广任意角的三角函数定义诱导公式图象与性质图象变换简单应用；两角和与差的公式倍角公式简单三角恒等变换.一环扣一环，前面的基础没打好，后续知识就会难以为继.比如：由三角函数定义，我们不难得出各个函数在每个象限的符号，而懂得这个符号规律是我们掌握诱导公式的前提。

在课堂教学中，至于这两章如何衔接，具体处理方式不外乎两种，第一种就按教材顺序进行；第二种第一、三章连着上，然后再上第二章。笔者建议不用“创新”就按教材这种“螺旋式上升”这种方式就行了，先学了《三角函数》之后接着讲《平面向量》，学生先有一种新鲜感，尔后学《三角恒等变换》，再通过三角与向量的简单结合，进一步加深、强化、巩固.这样，更符合学生的认知特点。我们要深刻理解新教材编写的良苦用心，注重同一知识不同章节的衔接，打好知识基础并在此基础上呈阶梯状上升。

2、注重知识生成，提升学生发展的品质

长期以来，高中学生普遍反映数学难、数学枯燥乏味，究其原因是教师在教学中过分重视结论的应用而忽视结论的生成造成的。数学教学是学生在教师的正确引导下通过动手实践、自主探索、合作交流的方式获得广泛数学活动经验的过程，并在这个过程中，逐步提升学生发展的品质，包括主动发展的意识、思维能力、创新行为与成果等。

案例3 三角函数的定义是怎样形成的？

初中锐角的三角函数的定义用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义锐角三角函数用单位圆上的点来定义锐角三角函数利用单位圆定义任意角的三角函数。

四个过程，循序渐进，不断深化，通过有效的铺垫,使之符合学生的认知规律，体现了数学知识的产生、发展过程, 从而激发学生主动探求事物“来龙去脉”的原始欲望，强化主动发展的意识。

案例4 余弦函数y=cosx的图象如何得到？

设问1：用描点法可以作出y=cosx的图象吗？

设问2：用类似于求作y=sinx的方法可以作出y=cosx的图象吗？

设问3：由诱导公式六y=cosx=sin（■+x），你能找到y=sinx和y=cosx的图象之间的联系吗？

三个设问的设计，从思维的角度出发沿着先易后难的方向，从自主探究的过程出发则是先难后易，在课堂教学当中，引导学生先独立思考，后合作交流，这样从正反两个方面不仅让学生得到了y=cosx的图象，还让他们知道正余弦函数图象之间的区别和联系，图象生成之际即为思维能力提升之时。

3、注重学科辩证思想，培养学生发展的素养

“辩证法”作为“放之四海皆准”的通法，会渗透到各个学科各个领域，数学学科亦不例外。三角函数内部之间存在着唯物辨证的关系，在学习三角函数关系中要注意渗透辨证思想，例如常量与变量、运动与静止、特殊与一般、具体与抽象，有助于帮助学生理解和掌握三角函数的知识内容和相互联系，同时通过学习数学知识培养唯物辩证思想，感受数学的美学价值，学习做人做事的基本原则，将来成为社会发展需要的高素质人才。

三角函数变换规律范文第14篇

1.内容与要求

1.1 本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等

1.2 章头引言安排了一个实际问题――求半圆内接矩形的最大面积.这个问题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值

第一大节是“任意角的三角函数” 教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角（都用坐标定义），然后导出同角三角函数的两个基本关系式及正弦、余弦的诱导公式教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用

第二大节是“两角和与差的三角函数” 教科书先引入平面内两点间距离公式（只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明），用距离公式推出余弦的和角公式，然后顺次推出（尽量用启发式）其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解

第三大节是“三角函数的图象和性质” 教科书先利用正弦线画出函数 ，x∈[0， ]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx、arccosx、arctanx等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案

1.3 本章的教学要求是：

1.3.1 使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算

1.3.2 使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式

1.3.3 使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力

1.3.4 使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）

1.3.5 使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A、、φ的物理意义

1.3.6 使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示

2.考点要求

2.1 理解弧度的定义，并能正确地进行弧度和角度的换算。

2.2 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，会求的周期，或者经过简单的恒等变形可以化为上述函数的三角函数的周期能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式

2.3 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能解决正弦、曲线有关的实际问题

2.4 能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式

2.5 了解三角函数的积化和差与和差化积公式

2.6 能正确地运用上述公式简化三角函数式、求某些角的三角函数值 证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题

2.7 掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程、并能运用它们解斜三角形

3.考点分析

三角函数是一种重要的初等函数，由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密切联系，它既是研究其他各部分知识的重要工具，又是高考考查双基的重要内容之一

本章分两部分，第一部分是三角函数部分的基础，不要求引入难度过高，计算过繁，技巧性过强的题目，重点应放在结知识理解的准确性、熟练性和灵活性上

试题以选择题、填空题形式居多，试题难度不高，常与其他知识结合考查

复习时应把握好以下几点：

3.1 理解弧度制表示角的优点在于把角的集合与实数集一一对应起来，二是就可把三角函数看成以实数为自变量的函数

3.2 要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念

3.3 在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取

3.4 单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，用三角函数线的数值来代替三角函数值，比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多，因此，三角函数是讨论三角函数性质的一个强有力的工具

3.5 要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性

3.6 函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调敬意的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小

3.7 对于具有周期性的函数，在作图时只要先作它在一个周期中的图象，然后利用周期性就可作出整个函数的图象

3.8 对于，，等表达式，要会进行熟练的变形，并利用等三角公式进行化简

本章第二部分是两角和与差的三角函数，考查的知识共7个，高考中在选择题、填空题和解答题三种题型中都考查过本章知识，题目多为求值题，有直接求某个三角函数值的，也有通过三角变换求函数的变量范围，周期，最小、大值和讨论其他性质；以及少量的化简，证明题考查的题量一般为3―4个，分值在12―22分，都是容易题和中等题，重点考查内容是两角和与差的正弦、余弦及正切公式，和差化积、各积化和差公式

考生丢分的原因主要有以下两点：一是公式不熟，二是运算不过关，因此复习时要注意以下几点：

3.8.1 熟练掌握和、差、倍、半角的三角函数公式复习中注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧

①常值代换，特别是“1”的代换，如：，，，等等

②项的分拆与角的配凑

③降次与升次

④万能代换

另外，注意理解两角和、差、倍、半角公式中角的实质，可以把公式中的角看成一种整体形式，可以锦成其他变量或函数，这样可加大公式的应用范围和力度

3.8.2 要会运用和差化积与积化和差公式对三角函数和差式，要善于转化为积的形式，反之亦然，对于形如的式子，要引入辅助角并化成的形式，这里辅助角所在的象限由的符号决定，角的值由确定对这种思想，务必强化训练，加深认识

3.8.3 归纳总结并熟练掌握好三角函数的化简与求值的常用方法和技巧

①三角函数化简时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名等其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等

②三角函数的求值问题，主要有两种类型 一关是给角求值问题；另一类是给值求角问题它们都是通过恰当的变换，设法再与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数式之间建立起联系选用公式时应注意方向性、灵活性，以造成消项或约项的机会，简化问题

3.8.4 关于三角函数式的简单证明 三角恒等证明分不附加条件和附加条件两种，证明方法灵活多样一般规律是从化简入手，适当变换，化繁为简，不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定

①不附加条件的三角恒等式证明：多用综合法、分析法、在特定的条件下，也可使用数学归纳法

②附加条件的三角恒等式证明：关键在于恰当而适时地使用所附加的条件，也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系常用的方法是代入法和消元法

三角恒等证明中要重点会用和差与积的互化公式，掌握等价转化的思想和变量代换的方法证明的关键是：发现差异――观察等式两边角、函数、运算间的差异；寻找联系――选择恰当公式，找出差异间的联系；合理转化促进联系，创造性地应用基本公式

而关于角的恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，要证，先证明的同名三角函数值相等，即，再证明在三角函数的同一单调区间内，而后由函数的单调性得出

3.8.5 在解有关三角形的问题中，锐角三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面积公式，的妙用和三角形内角和的制约关系的作用

3.8.6 求三角函数最值的常用方法是：配方法、判别式法、重要不等式法、变量代换法、三角函数的单调性和有界性等其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值

4.三角函数中应注意的问题

4.1 本章内容的重点是：任意角三角函数的概念，同角三角函数间的关系式、诱导公式及其运用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲线的画法和正弦函数的性质难点是：弧度制的慨念，综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明，周期函数的概念，函数的图象与正弦曲线的关系关键是：使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的变化，正弦曲线的画法和正弦函数的性质

由于课时较紧，教学中应遵循大纲所规定的内容和要求，不要随意补充已被删简的知识点例如，三角函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲，三个；除（k∈Z）外，其余诱导公式中，要求学生记住并能灵活运用的，只是用正弦、余弦表示那几个，以后求tan 可通过用科学计算器或者转化为来求；在推导正切的和角公式以及画正切函数的图象时，出现了正切的诱导公式，但这只作为推导的中间步骤，不要求学生记忆；积化和差与和差化积公式、半角公式也只是作为和（差）角公式的应用出现一下，结果不要求记忆，更不要求运用；此外，也不要补充“把化成一个角的三角函数的形式”这样的例习题

4.2 在讲述弧度制的优点、角度制的不足时，要注意科学性事实上，角的概念推广后，无论用弧度制还用角度制，都能在角的集合与实数集R及之间建立起一种一一对应的关系说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角的弧度数，或度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的，但每一种对应法则下对应的实数是唯一的所以不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应有的教师认为角度制的计量单位太小，而弧度制的计量单位大，而且可以省略不写，这种说法虽有一定道理，但在科学上并不具有充足的理由，因为小有小的好处，何况坐标系中两条数轴上的单位长度可以不一致关键在于用角度制表示角的时候，我们总是十进制、六十进制并用的，例如角其中61、21、12都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进（退）位的，这样，为了找出与角对应的实数（我们学的实数都是十进数），要经过一番计算，这就不太方便了

4.3 定义了任意角的三角函数以后，严格地说，例如，只有，才可以说是正弦函数；六种函数统称三角函数，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数，例如可以说是2x的正弦函数（这时可说它是三角函数），也可以说是正弦函数与正比例函数的复合函数，但不能说是x的正弦函数另一点是函数的定义域，三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的，所以教学中不宜随便说（或写）“正弦函数y=sinx”，需知“函数，”只是正弦函数的一个周期，不要把部分当作整体

4.4 关于已知三角函数值求角，在讲解相关例题时，可以利用设辅助角（即通过设辅助元素把未知转化为已知，这是化归思想的运用）来求解，把求解过程调整为：

4.4.1 如果函数值为正数，则先求出对应的锐角，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值相应的锐角

4.4.2 决定角x可能是第几象限角

4.4.3 如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出 内对应的角――如果它是第二象限角，那么可表示为 ；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为 或

也可以把上述辅助角看作参变量（x为自变量），那么所提供的方法就可以看作参数的应用新大纲把参数的知识分散在有关的教学内容中，教学时适时提醒学生注意使用，这是有好处的

4.5 本章所使用的符号及其用法，全部与国家标准所规定的取得一致，在板书中逐渐达到规范化 物理教科书也是这样做的因此在布置和批改作业时，对于本章中的几道与物理（力学、电学）有关的习题，解答时使用的符号及其用法，应与教科书上的相同，以免与物理教师讲课时的要求发生矛盾，弄得学生无所适从

三角函数变换规律范文第15篇

一、教材内容分析

高等数学的内容是以微积分为主体的，微积分主要包括微分和积分，且极限是微积分的基础，积分与微分互为逆运算。从整体结构上了解微积分的内容构造，对我们学习其中的分支内容会有很大的帮助。以华东师范大学数学系编的《数学分析》第三版（上册）为教材来分析，不定积分的分部积分法出现在第八章《不定积分》的第二节的第二部分，它起着一个承上启下的作用，在积分学中占有极其重要的地位，并为后续定积分以及重积分等内容的学习奠定了基础。换元法和分部积分法是求积分的两种重要方法，在学习了换元积分法后，虽然能求解很多类型的不定积分，但是却不能解决被积函数为两个函数（下面我们所讨论的都是指初等函数）甚至三个函数乘积的不定积分，从而很自然地引出了另一种重要的积分法――分部积分法，这就说明了学习分部积分法的必要性。

二、学生分析

大学生已经具备了较强的分析问题和解决问题的能力，也具备了一定的自主学习能力。在教学中，应以学生为主体，让学生自主探索、亲自实践，而教师在整个教学过程中起引导作用。

通过前面换元积分法的学习，学生已经具备了一定的基础知识，如果教师再巧妙地引入新课，就能激发起学生强烈的求知欲，使得他们积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，并参与到课堂活动中去，充分发挥他们的主体作用。

根据这部分的教学内容和学生的知识现状，教师应采用启发诱导式的教学模式，并在教学过程中注重培养学生的逻辑思维能力和动手解题能力。

三、教学目标

1.知识目标

1.1理解分部积分公式的定义，掌握分部积分法的实质。

1.2会正确使用分部积分法来求不定积分。

2.能力目标

2.1培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。

2.2培养学生的归纳与总结能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。

2.3培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析与类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中。

3.情感目标

3.1通过以学生为主体的教学方法，让学生自己发现分部积分法的求解规律，发展体验获取知识的感受。

3.2通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于探索，多方位审视问题的创新品质。

四、教学重点与难点

重点：分部积分公式的概念及运用分部积分公式求解的关键。

难点：如何选择和，即如何将被积式分为两部分，一部分是，另一部分是。

五、教学方法与学法

1.教法选择

根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用。

在帮助学生回顾了换元积分法的知识点之后，引导学生通过分析被积函数的组成形式，自己归纳、总结出分部积分法的求解方法和步骤。让学生主动地发现问题并解决问题，从中获得知识，老师只是进行适当的引导，所以采用启发诱导式的教学模式。

2.学法指导

对于求积分，学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是能不能找到另一种积分法，使其能更适用于求被积函数为两个函数乘积的不定积分。教学设计中要注意激发起学生强烈的求知欲，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，并参与到课堂活动中，充分发挥他们的主体作用。

六、教学过程

1.创设情境，引入新知

在本章的前一节，我们已经学习了不定积分的换元积分法，掌握了第一换元和第二换元法的要领。下面，我们就用学过的知识先来讨论一道例题。

引例[1] 求不定积分 。

观察发现此题的被积函数为两个不同函数的乘积，且无法直接查基本积分表求出不定积分，所以考虑直接用换元积分法试一试。由 ，

作变量代换 ，则 ；或由 ，作变量代换 ，则 ，而这两种结果仍不易求得原函数。这就提出了一个新的问题――能不能找出另一种求不定积分的方法可以很方便地来解决形如引例的积分呢？

首先，让同学们利用函数乘积的微分公式来验算 的导数，即

将上式两边求积分得到 。这就求出了上述引例的结果。

其次，引导学生从分析等式 中找出规律。

由 得到 ，而等式的左边正是 ，于是移项直接得到 。由此可看出，通过函数乘积微分公式的逆运算，我们可以求得一个不定积分的原函数，下面将其过程抽象为一般情形。

一般地，有

（ 、 均为 的函数）

故

即 。

可见求某式的不定积分，在一定条件下可以转换成求另一式的不定积分。而这一思想提供了寻找原函数的另一种方法，我们称之为“分部积分法”（integration by parts）。

1.1分部积分公式的定义

定理3.1[1]（分部积分法） 若 与 可导，不定积分 存

在，则 也存在，并有

. ⑴

证 由

或

对上式两边求不定积分，就得到⑴式。

公式⑴称为分部积分公式，常简写作

或 . ⑵

1.2分部积分公式的作用

结合引例分析分部积分式，可发现公式⑵对求积分有很大的作用。

公式⑵左右两端的 和 调换了位置，即将所求的不定积分转换为求另一个不定积分。

如果发现积分 有困难，而 容易计算时，利用分部积分公式就可以起到化难为易的作用。

2.运用新知，解决问题

例1[2] 求积分 。

分析 被积函数是多项式函数 与正弦函数 的乘积，那么如何运用新知识分部积分公式来求解呢？根据公式⑵知道，首先要找出 和 ，才能代入公式计算结果。由于 ，所以让学生们可以先尝试着选 ， 。

解 令 ， ，则有 ， 。由公式⑵求得

本题中，若由 ，选 ， ，则有 ，。

由公式⑵得

显然积分 比原积分 更难积出，这是由于第二种选择 和 的方法不正确，使得积分更难进行下去。

例2[3] 求积分 。

分析 被积函数是多项式函数 与指数函数 的乘积，同样要先选择

和 ，再代入公式计算。由于 ，所以可先选 ， 。

解 令 ， ，则 ，由公式⑵求得

同样，若根据 ，我们也可以选 ， ，则由公式⑵求得

可以看到等式右端的积分 比原积分 还复杂且更难积出，因此这样选取 和 是不合适的。

总结 由例1、例2的求解过程，引导学生思考：要成功地运用分部积分公式，其关键是什么？（答）关键是恰当地选择 和 。这是因为应用分部积分公式的目的是为了将难以积分的 变成容易积分的 。若

和 选择不当，积分会变得越来越复杂，甚至积不出来。所以一般来说，选择 和 的原则遵循：⑴ 从 中容易求原函数 ，⑵ 新积分 比原积分 容易积出。另一方面，由上面两个例子还可让学生分析得出，若被积函数是多项式函数和三角函数或多项式函数和指数函数的乘积，一般考虑设多项式函数为 ，使其降幂一次。

例3[1] 求积分 。

分析 被积函数是多项式函数 和对数函数 的乘积，由于基本积分公式表中没有形如 的积分公式，因此可设法把被积函数中的

有理化。根据 ，此题应令 等于 。

解 令 ， ，由公式⑵有

例4[1] 求积分 。

分析 被积函数可视为1和反正切函数 的乘积，同样基本积分公式表中没有形如 的积分公式，故考虑设法把被积函数中

的有理化，由于 ，此题应设 等于 。

解 令 ， ，由公式⑵有

总结 由例3、例4不难发现，若被积函数是多项式函数和对数函数或多项式函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 ，这样使用一次分部积分公式就可以使被积函数降次、简化、代数化、有理化，即分部积分法常用于消去积分中的反三角函数和对数函数。

由以上各例，我们看到，运用分部积分公式 求积分时，一般分为四步：

第一步：“选 、 ”，即选取 和 ，把所求积分 改写成 。

第二步：“代公式”，即利用分部积分公式化出一个新的积分 ，它与所求积分 相比，不过是把 、 互换了位置。

第三步：“微出来”，即把化出的新积分 中的 微出来，使之成为

以便计算。

第四步：算积分 。

这四步中最关键的是如何选取 和 。

例5[1] 求不定积分 。

分析 被积函数是指数函数 和三角函数 的乘积，由于有

和 ，所以我们考虑问题时可选 或 。

解 [解法一]令 ， ，由公式⑵有

移项得

[解法二] 令 ， ，由公式（2）有

移项得

分析此题的两种解法，容易看出当被积函数是指数函数与三角函数乘积时，可将指数函数设为 ，也可将三角函数设为 ，这两种方法难易程度相当。另外，像这种积分在反复使用分部积分法的过程中出现了还原的现象，实质上是得到待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分，且最后一定要加上积分常数 。

3.课堂小结，布置作业

这节课我们主要学习了如何运用分部积分法来求解不定积分，知道了分部积分法特别适用于求被积函数为两个函数乘积形式的积分。在课堂上通过对不同题型的例题的讲解和分析，掌握了选择 和 要遵循的一般原则，并初步找出了选择 和 的规律，这个规律与被积函数的形式之间存在着很大的联系。下面我们将被积式中的函数按照求原函数的难易程度作分类，可得函数分类表（表1）。

表1：函数分类表

根据表1，对于被积函数中的两个不同函数，一般地，将居于左列的函数取为 ，而位于右列的函数就作为 。如例1 中，多项式函数 位于第二列（居左），三角函数 位于第三列（居右），于是，取 ，

；若被积函数位于同一列（如例6 ），则 、 的选取是任意的。