统计学的标准差范文

统计学的标准差范文第1篇

【关键词】会计专业统计学教学审计财务管理管理会计

统计学原理是高等院校经济类和管理类专业（以下简称经管专业）的一门核心课程。大统计学是一门搜集、整理和分析统计数据的方法论科学，其目的是探索数据的内在数量规律性。统计学广泛应用于各学科中，在商业以及工业中，统计被用来了解与测量系统变异性，程序控制，对决策提供数据支持；在第一产业方面，可运用统计计算出各种农产品的需求情况及价格分布，从而指导生产；在生产行业中，统计学可以运用在产品开发、营销、财务管理等方面，从而提高企业的营运能力；在服务行业中，例如在金融行业中，运用统计技术将各种交易资料加以分类、整理，从而得到如客户贡献度、客户偏好、存款变动趋势、产品分析、行业发展等数据，从而为管理层提供决策依据，等等。特别是在会计专业中，统计学更是发挥了不可估量的贡献。在对会计专业学生的统计学教学中，大致可以从审计学、财务管理和管理会计几方面入手，将统计学教学与会计专业有机结合。笔者经过了多年的统计学专业学习，并经过了长时间的高校会计专业学生的实践教学，对统计学教学过程有了更深刻的感受，在这里本人谈谈对会计专业统计学教学的一些改革创新思路。

一审计学——审计统计抽样

审计抽样是指审计人员在实施审计测试时，从被审总体中选取一定数量的样本进行审查，通过样本的审查结果来推断被审总体特征的一种审计技术方法，审计统计抽样是审计抽样的一种方法，它是相对于非统计抽样而言的。统计抽样是指在审计抽样中，审计人员根据概率论和数理统计的原理，按照一定方法确定样本数量，并以样本审查结果推断评估总体的审计抽样技术。它运用的数学运算包括两个过程：样本规模和推算总体。统计抽样的思想方法是以假设检验为前提，设定抽样参数，确定抽样规模，无人为偏见的随机抽取样本进行审核，根据需要扩大样本，逐次逼近总体特征，根据样本特征经计算推导，得出总体结论。根据抽样测试的目标不同，统计抽样方法可分为3大类：用于符合性测试的属性抽样和用于实质性测试的变量抽样以及货币单位抽样。审计中常用的统计抽样技术有属性抽样（包括固定样本量抽样、停—走抽样、发现抽样）、变量抽样（包括单位平均数估计抽样、差额估计抽样、比率估计抽样、分层抽样）、货币单位抽样等。统计抽样的方法很多，每一种方法都有其特定的优点和局限，既没有某一种方法一无是处，也没有哪一种方法在任何情况下都是最优的。因此依照何种标准来选择适当的统计抽样方法很重要，应重点考虑审计目标、审计效果、审计效率、审计成本等因素。要确定哪种统计抽样方法最为适宜是不容易的，这要求审计人员对每一种可供选择的统计抽样方法都要有所了解，掌握它们各自的优点和运用条件，充分了解实际情况，再与丰富的审计实践经验相结合，才能做出正确的选择。

二财务管理——收益和风险

财务管理中的收益和风险，在统计学中即表现为描述统计中的算术平均数和标准差（标准差系数）。例如：期望现金流量的计算方法中，如果影响资产未来现金流量的因素较多，不确定性较大，使用单一的现金流量可能并不能如实反映资产创造现金流量的实际情况。在这种情况下，采用期望现金流量法更为合理的，企业应当采用期望现金流量法预计资产未来现金流量。在期望现金流量法下，资产未来每期现金流量应当根据每期可能发生情况的概率及其相应的现金流量加权计算求得，此种方法即加权算术平均数的计算方法；货币时间价值的计算是假定没有风险和通货膨胀，但在财务活动中，经营风险带来的财务风险是客观存在的，而且风险和收益密切相关，所以财务管理者必须研究风险和收益。如果不考虑收益的前提下，可以直接用标准差来衡量财务活动中的风险，若考虑收益，则不能直接用标准差，需要用标准差系数来衡量风险，即用标准差与收益的比值来衡量。

除此之外，在财务管理中，需要对资金需要量等指标进行预测，为统计学中的预测方法提供了多种思路。

可以按照时间序列的组成因素，可以选择平滑法预测、回归法预测等，这些方法都是会计专业中常用的预测方法。例如，在财务预测中，资金需要量预测的主要方法有销售百分比法、线性回归分析法和预计资产负债表法。线性回归分析法是假定资金需要量与业务量之间存在线性关系并建立数学模型，然后根据历史有关资料，确定参数从而用回归直线预测资金需要量的一种方法。其预测的数学模型为y＝a＋bx，式中y为资金需要量；a为不变资金；b为单位业务量所需要的变动资金；x为业务量。不变资金是指在一定的营业规模内，不随业务量增减的资金。变动资金是指随营业业务量变动而同比例变动的资金。根据企业历史资料，运用线性模型，在确定a、b数值的基础上，即可预测一定业务量x所需的资金量y。用于销售预测的常用方法有判断分析法、趋势外推分析法、因果预测分析法和产品寿命周期推断法等。趋势外推分析法在销售量预测中的应用较为普遍，其具体应用形式包括平均法（简均法、移动平均法和趋势平均法）和修正的时间序列回归法。

三管理会计

按成本性态可以将企业的全部成本分为固定成本和变动成本。固定成本与变动成本只是经济生活中诸多成本性态的两种极端类型，多数成本是以混合成本的形式存在的。混合成本是指那些“混合”了固定成本和变动成本两种不同性质的成本，对混合成本的分解方法有历史成本法、账户分析法和工程分析法。历史成本法的基本做法就是根据以往若干时期（若干月或若干年）的数据所表现出来的实际成本与业务量之间的依存关系来描述成本的性态，并以此来确定决策所需要的未来成本数据。历史成本法通常分为高低点法、散布图法和回归直线法3种。回归直线法运用最小二乘法的原理，对所观测到的全部数据加以计算，从而勾画出最能代表平均成本水平的直线y＝a＋bx，这条通过回归分析而得到的直线就称为回归直线，它的截距就是固定成本a，斜率就是单位变动成本b，这种分解方法也称作回归直线法。又因为回归直线可以使各观测点的数据与直线相应各点误差的平方和最小，所以这种分解方法又称为最小二乘法。

管理会计中的标准成本法是指通过制定标准成本，将标准成本与实际成本进行比较获得成本差异，并对成本差异进行因素分析，据以加强成本控制的一种会计信息系统和成本控制系统。标准成本法便于企业编制预算和进行预算控制；可以有效地控制成本支出；可以为企业的例外管理提供数据；可以帮助企业进行产品的价格决策和预测；可以简化存货的计价以及成本核算的账务处理工作。标准成本是在正常生产经营条件下应该实现的，可以作为控制成本开支，评价实际成本、衡量工作效率的依据和尺度的一种目标成本。可分为理想标准成本、正常标准成本和现实标准成本。成本差异是指实际成本与标准成本之间的差额，也称标准差异。按成本的构成分为直接材料成本差异、直接人工成本差异和制造费用差异。直接材料成本差异、直接人工成本差异和变动制造费用差异都属于变动成本，决定变动成本数额的因素是价格和耗用数量。制造费用差异（即间接制造费用差异）按其形成的原因和分析方法的不同又可分为变动制造费用差异和固定制造费用差异两部分。例如：直接材料成本差异是指一定产量产品的直接材料实际成本与直接材料标准成本之间的差异。直接材料成本差异＝直接材料实际成本－直接材料标准成本。直接材料成本是变动成本，其成本差异形成的原因包括价格差异和数量差异。价格差异是实际价格脱离标准价格所产生的差异。数量差异是单位实际材料耗用量脱离单位标准材料耗用量所产生的差异。计算公式如下：材料价格差异＝（实际价格－标准价格）×实际用量；材料数量差异＝（材料单位实际耗用量－材料单位标准耗用量）×标准价格；直接材料成本差异＝材料价格差异＋材料数量差异。此种计算方法是统计学中加权综合指数体系中的相对数形式和绝对数形式。在学习和工作中比较常用的是基期权数加权的数量指数和报告期权数加权的质量指数形成的指数体系。

综上，会计专业中的统计学教学应结合自身特点，注重对统计思想的挖掘和传递，注重对学生统计思维能力的培养和塑造，以培养应用能力为主线，与会计专业老师深入沟通，对现有统计学教材的课程设置及传统的教学手段进行大胆改革，从而使会计专业的学生增强学习统计知识的兴趣，真正认识到统计学的重要性，学到真正能指导实践的现代化统计知识。通过一段时间的实践，会计专业学生对统计学和会计学科的关系有了深刻的认识，增加了学习统计学的主动性，并对会计专业课程有了不同角度的解读。

参考文献

〔1〕白日荣、苏永明.非统计专业统计学教学的改革与创新〔J〕.统计教育，2007（12）

〔2〕杨绪忠.财经类非统计学专业的统计学课程教学探讨〔J〕.统计与决策，2002（05）

统计学的标准差范文第2篇

[关键词]总体标准差；参数估计；无偏估计；系统误差；随机误差；综合误差；测量不确定度；自由度；标准差系数

[中图分类号]O 212 [文献标识码]A [文章编号]1005-6432（2013）10-0023-011

1 引 言

在科学实验中，测量可分为常量测量和变量测量两大类。物理量的变化量远小于测量仪器误差范围的测量称为常量测量（又称经典测量、基础测量），其核心理论是误差理论[1-3]，误差理论的基本单元是误差元（测量值减真值）。测量仪器误差范围远小于物理量的变化量的测量称为变量测量（又称统计测量），其核心理论是数理统计理论（概率论是其理论基础），数理统计理论的基本单元是偏差元（又称离差元，测量值减数学期望）。标准差（standard deviation，又称标准偏差、均方差，其英文缩写词为SD，此术语1893年由卡尔·皮尔逊首创）是用来衡量一组测量数据的离散程度的统计量，它反映了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度。经典测量学只能处理常量测量问题，而当今频域界的频率稳定度测量（常用阿伦方差表示）则属于变量测量。

等精度测量（equally accurate measurement）是指在测量条件（包括测量仪器的准确度、观测者的技术水平、环境条件影响及测量方法等）不变的情况下，对某一被测物理量所进行多次测量的一种方法。在实际测量工作中，由相同设备、相同人员、相同环境和相同方法所获得的各测量值可视为是等精度测量值。文献[4]介绍了流量计量中的计量学基本原则——等精度传递理论。

在测量实践中，有时为了获得准确度更高的测量结果，往往要求在不同的测量环境条件下，使用不同的测量仪器，选用不同的测量者和不同的测量次数，采用不同的测量方法进行对比测量，这种测量方法称为不等精度测量（unequally accurate measurement）。不等精度测量的不确定度应采用加权方式计算[5-6]。

若无特别说明，本文中所涉及的测量均指等精度测量。

2 误差的种类和应用

误差公理认为误差自始至终存在于一切科学实验和测量之中，是不可避免的，即误差无处不在，真值是不可知的。在实际应用工作中，可用约定真值或相对真值来代替理论概念中的理想真值。约定真值一般包括约定值、指定值和最佳估计值三种类型。

测量误差最基本的表示方法有如下三种：①绝对误差=测量值-真值，绝对误差通常简称为误差（即真误差）；②相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测量值；③引用误差=示值误差/测量范围上限（或全量程）。残差（又称剩余误差）=测量值-估计值，残差可认为是真误差的估计值。绝对误差和相对误差通常用于单值点测量误差的表示，而对于具有连续刻度和多档量程的测量仪器的误差则通常采用引用误差来表示。

按误差的特点和性质可将其分为粗大误差（parasitic error）、系统误差（systematic error）和随机误差（random error）三大类。可消除的粗大误差（又称过失误差，没有规律可循）应予全部剔除，系统误差（又称规律误差、理论误差或方法误差，一个定值或服从函数规律）反映测量的正确度（correctness），随机误差（旧称偶然误差、不定误差，服从统计规律，大多数服从正态分布规律）反映测量的精密度（precision），测量的准确度（accuracy，又译为精确度）则是用综合误差（即测量不确定度）来衡量的，有时也用极限误差来衡量测量的准确度。逐项获得测量的系统误差和随机误差，采用误差合成的方法（各系统误差绝对值相加得系统误差范围，各随机误差均方根合成则得随机误差范围。系统误差范围加随机误差范围可得综合误差范围）合成综合误差，它表征了测量结果与真值的不一致程度。

泛指性的“精度”一词常被用作“精确度（即准确度）”或“精密度”的替代词，因其并无明确和严格的科学定义，故在学术论文中应慎用或弃用。

下面简要介绍一下随机误差所遵循的一些基本统计规律，首先需要介绍中心极限定理：

当测量次数n无限增大时，在真误差序列中，若比某真误差绝对值大的误差和比其绝对值小的误差出现的概率相等，则称该真误差为或然误差（probable error，又称概率误差，它在衡量射击精密度时尤其显得重要），记作ρ。

作为精密度的评定指标，中误差最为常用，因为它反映了真误差分布的离散程度。

通常以2倍或3倍的中误差作为随机误差的极限误差（limit error），其置信概率分别是9544%（2σ准则）和9973%（3σ准则）。如果某个误差超过了极限误差，就可以认为它是粗大误差而被剔除，其相应的测量值应舍弃不用。

对于某个测量值，通常采用相对中误差（即中误差和测量值之比，又称相对标准差）配合中误差来衡量，它能更全面地表达测量值的好坏。

英国物理学家、化学家和数学家瑞利勋爵（Lord Rayleigh，1842—1919）以严谨、广博和精深而著称，他善于利用简单的设备做实验而能获得十分精确的数据。他因对气体密度的精确研究并因此参与发现稀有气体（旧称惰性气体）氩而荣获1904年诺贝尔物理学奖。1892年瑞利在研究氮气时发现[7]：从液态空气中分馏出来的氮，其密度为12572 kg/m3，而用化学方法直接从亚硝酸铵中得到的氮，其密度则为12508 kg/m3（现在的最权威数据125046 kg/m3是基于0 ℃和01 MPa时），前者比后者大05117%，因实验中已排除了粗大误差的可能，这一差异已远远超出随机误差的正常范围（现在通过t检验准则可以判定当时瑞利测得的空气中氮的密度数据是存在系统误差的）。英国物理化学家和放射化学家拉姆赛（Sir William Ramsay，1852—1916，1904年诺贝尔化学奖获得者）注意到这个问题并要求与瑞利合作对此问题展开共同研究，最终他们利用光谱分析法于1894年8月13日发现了第一种稀有气体─氩（Ar）。氩元素的发现是科学家们注意测量结果中的微小误差（实际上是系统误差）而取得重大科学发现的经典范例，是名副其实的“第三位小数”的胜利[8]。随后，其他稀有气体氦（He，1895年3月）、氪（Kr，1898年5月）、氖（Ne，1898年6月）、氙（Xe，1898年7月）、氡（Rn，1899年，继钋Po、镭Ra和锕Ac之后第4个被发现的天然放射性元素）陆续被拉姆赛等人所发现，稀有气体的发现完善和发展了俄国化学家门捷列夫（1834—1907）的元素周期表（1869年）。

3 统计量的概率分布类型

离散型统计量服从的概率分布类型主要有：①退化分布（又称单点分布）；②伯努利（瑞士数学家，Jocob Bernoulli，1654—1705）分布（又称两点分布）；③二项分布：包括超几何分布（又衍生出负超几何分布）、β-二项分布和离散均匀分布；④泊松分布：包括帕斯卡（法国数学家和物理学家，Blaise Pascal，1623—1662）分布（又称负二项分布）和几何分布；⑤对数分布等。

随机误差大多服从正态分布或标准正态分布，服从正态分布的随机误差具有单峰性、对称性、有界性和抵偿性。正态分布是随机误差遵循的最普遍的一种分布规律，但不是唯一的分布规律。随机误差服从的常见非正态分布（又称偏态分布）主要有：①均匀分布（又称矩形分布、等概率分布）；②伽马分布（Γ-分布）：包括指数分布（两个相互独立且都服从指数分布的随机变量之和服从广义指数分布）、厄兰（丹麦数学家和统计学家，Agner Krarup Erlang，1878—1929）分布和τ-分布（χ2-分布是其特例）等特例；③χ-分布：包括反射正态分布、瑞利分布和麦克斯韦（英国物理学家和数学家，James Clerk Maxwell，1831—1879）分布等特例，广义瑞利分布又称莱斯（美国通信理论专家，Stephen " Steve" Oswald Rice，1907—1986）分布（Rice distribution or Rician distribution），当v=0时莱斯分布退化为瑞利分布；④贝塔分布（B-分布）；⑤F-分布：1934年美国数学家和统计学家斯内德克（George Waddel Snedecor，1881—1974）首创，为彰显英国统计学家和遗传学家费歇尔（Sir Ronald Aylmer Fisher，1890—1962，方差分析的发明者）的贡献，后来以其名字命名；⑥t-分布（又称学生氏分布）：1908年由英格兰统计学家戈塞特（William Sealy Gosset，1876—1937）首创，因他以Student为笔名而得名；⑦对数正态分布；⑧极值分布：包括重指数分布和威布尔（瑞典数学家，Ernst Hjalmar Waloddi Weibull，1887—1979）─格涅坚科分布（参见本文第73节“极差法”）等；⑨柯西（法国数学家，Augustin Louis Cauchy，1789—1857）分布；⑩辛普森（英国数学家，Tomas Simpson，1710—1761）分布（又称三角形分布）等。此外还有反正弦分布、截尾正态分布、双峰正态分布、梯形分布、直角分布、椭圆分布和双三角分布等。多维概率分布则主要有：①多项分布；②均匀分布；③n（n≥2）维正态分布等。

因彼得斯公式法、极差法、最大误差法、最大残差法和最大方差法均只给出了正态分布下的标准差估计的系数因子，故它们一般不适用于非正态分布时的情形。

4 统计推断

统计推断是指根据随机性的观测数据（样本）以及问题的条件和假设（模型），对未知事物作出的、以概率形式表述的推断。统计推断是由样本的信息来推测总体（又称母体）性能的一种方法，它是数理统计学的主要任务，其理论和方法构成数理统计学的主要内容。统计推断分为参数估计和假设检验两大类问题。参数估计是假设检验的前提，没有参数估计，也就无法完成假设检验。

41 参数估计

运用从总体独立抽取的随机样本对总体分布中的未知参数做出估计，称为数理统计学上的参数估计，它是统计推断的一种基本方法。参数估计方法主要分为点估计法（根据样本构造一个统计量，用以对总体参数进行估计）和区间估计法（又称范围估计法，主要是根据置信度求置信区间）两大类。点估计构造统计量（估计量）的常用方法有：①顺序统计量法（又称次序统计量法）：主要包括最大顺序统计量法和最小顺序统计量法两种。②贝叶斯法（又称贝叶斯公式、逆概率公式、事后概率公式或原因概率公式）：1763年英国统计学家贝叶斯（Thomas Bayes，1702—1761）在其遗作《论有关机遇问题的求解》一文中首先提出。③最小二乘估计法（又称最小平方估计法）：它可使残差的平方和为最小，1795年德国数学家、天文学家和物理学家高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）首先提出其方法，1806年法国数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752—1833）首先用公式表示出最小二乘原理，1900年由俄国数学家马尔科夫（Andrey Andreyevich Markov，1856—1922）加以发展。④矩估计法（又称矩法估计、数字特征法）：以样本矩的某一函数代替总体矩的同一函数来构造估计量的方法称为矩估计法，1894年英国数学家和统计学家卡尔·皮尔逊（Karl Pearson，1857—1936，被誉为“现代统计学之父”）首先提出。一个样本可确定一个经验分布函数，由这个经验分布函数可确定样本的各阶矩。称统计量S=1nni=1Xi为子样一阶原点矩（简称一阶矩，即子样均值）；称统计量Sk=1nni=1Xki为子样k阶矩；称统计量S=1nni=1（Xi-）2为子样二阶中心矩（即子样方差）；称统计量Sk=1nni=1（Xi-）k为子样k阶中心矩。⑤最小χ2法：χ2检验由卡尔·皮尔逊于1900年首先提出，故χ2统计量又称皮尔逊公式。⑥最大似然估计法（maximum likelihood estimation method，又称极大似然估计法）：一种重要而普遍的统计量估计方法，其基本思想始于1821年高斯提出的误差理论，1912—1922年英国统计学家和遗传学家费歇尔首先将其应用于参数估计并证明了它的一些性质[9-10]，其后他在工作中加以发展并使其臻于完善[11]。该估计方法在统计推断中无须有关事前概率的信息，克服了贝叶斯法（Bayes estimation method）的致命弱点，是统计学史上的一大突破。标准差σ的最大似然估计值是=1nni=1（xi-）2=1nni=1v2i， 其中=1nni=1xi。与最大似然估计法相类似的统计估计方法还有极小极大后验估计法、最小风险法和极小化极大熵法等。

常用于衡量点估计法是否优良的五大准则是：无偏性[12]、有效性、一致性（又称相合性）[13]、渐近性和充分性。无偏估计和一致估计（又称相合估计、相容估计）都属于优良点估计法。衡量区间估计法的优良准则有一致最精确准则、一致最精确无偏性准则和平均长度最短准则等。如果把参数估计用于统计决策，还可采用统计决策理论中的优良准则（如容许性准则、最小化最大准则、贝叶斯准则和最优同变性准则等）。

标准差的现代统计估计方法通常可将其归纳为一般估计方法和稳健估计（robust estimation，又称抗差估计）方法两大类[14]。一般估计方法（均属标准不确定度分量的A类评定方法）主要包括贝塞尔公式法、彼得斯公式法、极差法、最大误差法、最大残差法、较差法和最大方差法等，其中贝塞尔公式法最为常用，极差法、彼得斯公式法和最大残差法次之，最大误差法特别适用于比较特殊的场合（如一次性破坏实验等），较差法和最大方差法的应用场合则相对较少。稳健估计方法基本上可分为三类：M估计（经典最大似然估计法的推广，称为广义最大似然估计法）、L估计（即顺序统计量线性组合估计）和R估计（即秩估计，来源于秩统计检验）。

估计量的数学期望等于被估计参数，则称其为无偏估计，否则就是有偏估计。无偏估计的系统误差为零，其误差用随机误差来衡量；有偏估计的误差则用系统误差和随机误差的合成（即综合误差）来衡量。如今，随着计算机的日益普及和各类数学统计软件（包括专用数学统计软件，如SPSS、SAS和BMDP等）的广泛应用，数据计算繁琐一些已无技术障碍可言。实验测量数据的获得都要付出一定的人力、物力和财力，追求其准确可靠才是其最高目标，因此有偏估计的系统误差应尽可能地予以剔除。对于无偏估计来说，其统计量的方差越小则越好（表示其精密度和有效性越高）。

42 假设检验

假设检验（又称显著性经验、统计检验）一般分为参数检验（适用于总体分布形式已知的情形）和总体分布类型检验（又称分布拟合检验）两大类。参数检验方法主要有u检验法（又称z检验法，即正态分布检验法）、t检验法、χ2检验法（又称皮尔逊检验法）和F检验法（又称费歇尔检验法）等；总体分布类型检验方法主要有概率纸法（包括正态概率纸、对数正态概率纸、威布尔概率纸和二项概率纸等）和χ2检验法（适用于任意分布）等。在正态性检验法中，以夏皮罗（美国统计学家，Samuel Sanford Shapiro，1930—）─威尔克（加拿大统计学家，Martin Bradbury Wilk，19221218—）检验法（1965年，又称W检验，适用于样本数n≤50时的情形）[15]、达戈斯提诺（美国生物统计学家，Ralph BDAgostino， Jr，19290331—20010818）检验法（1971年，又称D检验，一种比较精确的正态检验法）[16]和夏皮罗─弗朗西亚（Shapiro-Francia）检验法（1972年，又称W′检验，适用于样本数50 两个样本是否来自于同分布总体的假设检验方法主要有符号检验法和秩和检验法等。

当未知总体标准差σ时，判别粗大误差的准则（即异常数据取舍的检验方法）主要有：①格拉布斯准则：1950年由美国统计学家格拉布斯（Frank Ephraim Grubbs，1913—2000）首创[18]，并于1969年加以发展[19]；②狄克逊准则（又称Q检验准则）：1950年由美国统计学家狄克逊（Wilfred Joseph Dixon，1915—2008）首创[20]，并于1951年和1953年加以改进[21-23]；③偏度─峰度检验准则：偏度检验法适用于单侧情形，峰度检验法则适用于双侧情形[24]；④罗曼诺夫斯基准则（又称t检验准则、3S检验准则）：前苏联数理统计学家、塔什干数学学派创始人罗曼诺夫斯基（Vsevelod Ivanovich Romanovsky，1879—1954）首创，其检验效果最好[25]；⑤3σ准则：仅早期采用，只适用于大样本数时的情形，因其理论上欠严谨且样本数n

估计标准差s=1n-2ni=1（y-）2主要应用于回归分析和假设检验中[34]。

5 测量不确定度

测量不确定度（measurement uncertainty，简称不确定度）是测量结果带有的一个非负参数，用以表征合理地赋予被测量值的分散性。它是说明测量水平的主要指标，是表示测量质量的重要依据。不确定度越小，测量结果的质量就越高，使用价值就越大。“不确定度”一词起源于1927年德国理论物理学家和哲学家海森堡（Werner Karl Heisenberg，1901—1976，1932年度诺贝尔物理学奖获得者）在量子力学中提出的不确定度关系，即著名的测不准原理（uncertainty principle）。自国际计量委员会CIPM（法文Comité International des Poids et Mesures）授权国际计量局BIPM（法文Bureau International des Poids et Mesures）于1980年10月提出《实验不确定度表示建议书INC-1》（1992年被纳入国际标准ISO 10012，1997年和2003年分别予以修订，中国国家标准GB/T 19022—2003等同采用ISO 10012 ∶ 2003[35]）以后，经过30多年的研究和发展，现代不确定度理论现已形成较为完整的理论体系。

根据2008年版《测量不确定度表示指南》（GUM=Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement）中的规定：不确定度可以用测量结果的标准差（即标准不确定度，它具有可传播性。当一个测量结果用于下一个测量时，其不确定度可作为下一个测量结果不确定度的分量，这就是不确定度的可传播性）表示，也可以用标准差的倍数或说明其置信水平区间的半宽度（即扩展不确定度expanded uncertainty，曾译为延伸不确定度、伸展不确定度）表示。无论采用哪种方法，都需要获得标准差的数值。

不确定度一般由若干分量组成，其中一些分量可根据一系列测量值的统计分布，按不确定度的A类评定方法进行评定（标准不确定度基于统计方法所进行的评定称为A类评定，又称统计不确定度），并用实验标准差（即有限次测量时总体标准差的估计值，又称样本标准差、子样标准差，主要应用于抽样推断和假设检验中）和自由度表征（必要时应给出其协方差）。而另一些分量则可根据经验或其他信息假设的概率分布，按不确定度的B类评定方法进行评定[标准不确定度基于非统计方法（技术规范、实践经验和科学知识等）所进行的评定称为B类评定，又称非统计不确定度]，也用实验标准差表征（必要时应给出其协方差），一般情况下可以不给出其自由度。

贝塞尔公式法和极差法是两种主要的标准不确定度分量的A类评定方法[36-43]，其中文献[39]给出的结论是：①当A类评定不确定度分量不是合成标准不确定度中唯一占优势的分量时，则无论测量次数多少（笔者注：因合成时采用方差相加的方法），（修正前）贝塞尔公式法优于极差法。②当A类评定不确定度分量是合成标准不确定度中唯一占优势的分量时，则两种方法的优劣与测量次数有关：当测量次数n10”则更为准确），（修正前）贝塞尔公式法优于极差法。

标准不确定度分量的B类评定方法主要有倍数法、正态分布法、均匀分布法（修约误差、修约前的被修约值、数字仪表的量化误差等均服从此类分布）、反正弦分布法、二点分布法、梯形分布法、三角分布法和投影分布法等[44-46]，它更多的是依赖于经验的积累和判断。B类评定方法常应用于计量基准标准、仪器研制和在无法对比测量的情况下。

不确定度报告应该包括测量模型、估计值、测量模型中与各个量相关联的测量不确定度、协方差、所用的概率密度函数的类型、自由度、测量不确定度的评定类型和包含因子等。

在实际应用工作中，有效数字的正确取位十分重要，但这个问题却往往被忽视。测量结果总是以数字形式出现的，而能准确反映测量结果的是其有效数字。有效数字的末位数总是由下一位数进位或舍去而得来的，这就是数字修约。有效数字的定义是：一个数的修约误差不大于其末位数的半个单位，则该数的左边第一个非零数字起至右边最末一位数字都是其有效数字。不确定度的有效数字只能取1位或2位[47-49]。

6 自由度

自由度（degrees of freedom）的定义是：在方差的计算中，和的项数减去对和的限制数[36，50]。自由度反映了实验标准差的可信赖程度，自由度越大，实验标准差的可信赖程度就越高。由于不确定度是用标准差来表征的，故自由度可用于衡量不确定度评定的质量，它也是计算扩展不确定度的依据。当对标准差σ取A类评定的标准不确定度s的值时，不确定度的自由度计算公式为[46]：

式（6-1）是自由度估计值的计算公式（此估计值与理论值相比偏小，随着样本数n的增大，其估计值越来越接近于理论实际值），其中D（X）/E（X）为统计量X的相对标准差，u（x）为被测量x的标准不确定度，u[u（x）]为标准不确定度u（x）的标准不确定度。显然，自由度与标准不确定度的相对标准不确定度有关，即自由度与不确定度的不确定度有关，或者说自由度是一种二阶不确定度。

不确定度是测量结果的一个参数，而自由度则是不确定度的一个参数，它表征了所给不确定度的可信赖程度。算术平均值标准差的自由度和单次测量标准差的自由度是相同的。

自由度具有尺度变换下的不变性（即随机变量乘以非零常数，其自由度不变）。对于合并样本标准差，其自由度为各组自由度之和，即v=m（n-1）。当用测量所得的n组数据按最小二乘法拟合的校准曲线确定t个被测量值时，其自由度v=n-t；若t个被测量值之间另有r个约束条件，则其自由度v=n-t-r。

各种估计总体标准差方法的自由度如下表所示。

每个不确定度都对应着一个自由度，按A类评定的标准不确定度分量的自由度就是实验标准差的自由度。合成标准不确定度uc（y）的自由度称为有效自由度veff，它说明了评定uc（y）的可信赖程度，veff越大，表示评定的uc（y）越可信赖。一般情况下，按B类评定的标准不确定度分量可以不给出其自由度。但在以下情况时需要计算有效自由度veff：①当需要评定扩展不确定度Up为求得包含因子kp时；②当用户为了解所评定的不确定度的可信赖程度而提出此要求时。

7 标准不确定度的A类评定方法

标准差是评定测量结果精密度的一个极其重要的参数，关于各种估计总体标准差统计方法的精密度分析，前人已多有研究[52-56]，但都缺乏深度和广度，其系统性和准确性也不够（有时甚至出现一些差错和遗漏，详见下文中的相关描述）。下面笔者将详细阐述各种估计总体标准差统计方法的由来和原理，严谨推导出其标准差系数的计算公式，力图以科学、严谨和求实的态度，分别对其系统地做出全面而准确的评介、对比和分析。

71 贝塞尔公式法

贝塞尔公式法（Bessel formula method）[57-63]是一种最为常见的估计总体标准差的统计方法。根据nj， k=1j≠kδjδk=0来推导贝塞尔公式长期以来被一些学者所认同，现已证明其为伪证[64-65]。笔者现根据误差理论、概率论和数理统计学中的基础知识，从误差和标准差的本质和作用入手，利用数学期望和方差公式，采用算术平均值的标准差来推导出贝塞尔公式。

n次测量值的算术平均值为：=1nni=1xi

算术平均值是μ的一致最小方差无偏估计，且不存在比它一致性更好的其他估计量。

德国天文学家和数学家贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel，17840722—18460317）是天体测量学的奠基人之一，以其专著《天文学基础》（1818年）为标志发展了实验天文学，他重新订正布拉德雷（英国天文学家，James Bradley，1693—1762）星表并编制基本星表（后人加以扩充后成为《波恩巡天星表》），测定恒星视差（1838年）并预言暗伴星的存在，导出修正子午环安装误差的贝塞尔公式[即式（71-4）]，导出用于天文计算的内插法贝塞尔公式（此式中的系数被称为贝塞尔系数），编制大气折射表并导出大气折射公式。首创贝塞尔岁首（又称贝塞尔年首）、贝塞尔假年（又称贝塞尔年）、贝塞尔日数（又称贝塞尔星数）和贝塞尔要素等概念，沿用至今。其研究成果还有贝塞尔方程（1817—1824，一类二阶常微分方程）、贝塞尔不等式（1828年）和贝塞尔地球椭球体（1841年）等。1938年2月24日发现的国际编号为1552（1938DE）号的小行星后被命名为“贝塞尔星（Bessel）”，这是对他最好的纪念和褒奖。

贝塞尔方程两个独立的解分别称为第一类贝塞尔函数Jn（x）和第二类贝塞尔函数Yn（x），Hn（x）=Jn（x）±iYn（x）则称为第三类贝塞尔函数，其中第二类贝塞尔函数又称为诺伊曼（Carl Gottfried Neumann，1832—1925）函数或韦伯（Heinrich Martin Weber，1842—1913）函数，第三类贝塞尔函数又称为汉克尔（Hermann Hankel，1839—1873）函数。诺伊曼、韦伯和汉克尔均为德国数学家。

在规范化的常规测量中，若在重复性条件下对被测量X作n次测量，并且有m组这样的测量结果，由于各组之间的测量条件可能会稍有不同，因此不能直接用贝塞尔公式对总共m×n个测量值计算其实验标准差，而必须计算其合并样本标准差（又称组合实验标准差）[77]，即：

上式中，xjk是第j组第k次测量值，j是第j组n个测量值的算术平均值。

当各组所包含的测量次数不完全相同时，则应采用方差的加权平均值，权重（即自由度）为（nj-1），此时的合并样本标准差为：

上式中，nj是第j组的测量次数，s2j是第j组nj个测量值的样本方差。

在一些常规的日常校准或检定工作中，采用合并样本标准差往往会取得良好的效果[79-81]。

以下选用最为常用的修正前后贝塞尔公式法作为其他各种估计总体标准差统计方法的比较基准。

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统计学的标准差范文第3篇

【关键词】会计专业 统计学教学 审计 财务管理 管理会计

        统计学原理是高等院校经济类和管理类专业（以下简称经管专业）的一门核心课程。大统计学是一门搜集、整理和分析统计数据的方法论科学，其目的是探索数据的内在数量规律性。统计学广泛应用于各学科中，在商业以及工业中，统计被用来了解与测量系统变异性，程序控制，对决策提供数据支持；在第一产业方面，可运用统计计算出各种农产品的需求情况及价格分布，从而指导生产；在生产行业中，统计学可以运用在产品开发、营销、财务管理等方面，从而提高企业的营运能力；在服务行业中，例如在金融行业中，运用统计技术将各种交易资料加以分类、整理，从而得到如客户贡献度、客户偏好、存款变动趋势、产品分析、行业发展等数据，从而为管理层提供决策依据，等等。特别是在会计专业中，统计学更是发挥了不可估量的贡献。在对会计专业学生的统计学教学中，大致可以从审计学、财务管理和管理会计几方面入手，将统计学教学与会计专业有机结合。笔者经过了多年的统计学专业学习，并经过了长时间的高校会计专业学生的实践教学，对统计学教学过程有了更深刻的感受，在这里本人谈谈对会计专业统计学教学的一些改革创新思路。

        一 审计学——审计统计抽样

        审计抽样是指审计人员在实施审计测试时，从被审总体中选取一定数量的样本进行审查，通过样本的审查结果来推断被审总体特征的一种审计技术方法，审计统计抽样是审计抽样的一种方法，它是相对于非统计抽样而言的。统计抽样是指在审计抽样中，审计人员根据概率论和数理统计的原理，按照一定方法确定样本数量，并以样本审查结果推断评估总体的审计抽样技术。它运用的数学运算包括两个过程：样本规模和推算总体。统计抽样的思想方法是以假设检验为前提，设定抽样参数，确定抽样规模，无人为偏见的随机抽取样本进行审核，根据需要扩大样本，逐次逼近总体特征，根据样本特征经计算推导，得出总体结论。根据抽样测试的目标不同，统计抽样方法可分为3 大类：用于符合性测试的属性抽样和用于实质性测试的变量抽样以及货币单位抽样。审计中常用的统计抽样技术有属性抽样（包括固定样本量抽样、停—走抽样、发现抽样）、变量抽样（包括单位平均数估计抽样、差额估计抽样、比率估计抽样、分层抽样）、货币单位抽样等。统计抽样的方法很多，每一种方法都有其特定的优点和局限，既没有某一种方法一无是处，也没有哪一种方法在任何情况下都是最优的。因此依照何种标准来选择适当的统计抽样方法很重要，应重点考虑审计目标、审计效果、审计效率、审计成本等因素。要确定哪种统计抽样方法最为适宜是不容易的，这要求审计人员对每一种可供选择的统计抽样方法都要有所了解，掌握它们各自的优点和运用条件，充分了解实际情况，再与丰富的审计实践经验相结合，才能做出正确的选择。

        二 财务管理——收益和风险

        财务管理中的收益和风险，在统计学中即表现为描述统计中的算术平均数和标准差（标准差系数）。例如：期望现金流量的计算方法中，如果影响资产未来现金流量的因素较多，不确定性较大，使用单一的现金流量可能并不能如实反映资产创造现金流量的实际情况。在这种情况下，采用期望现金流量法更为合理的，企业应当采用期望现金流量法预计资产未来现金流量。在期望现金流量法下，资产未来每期现金流量应当根据每期可能发生情况的概率及其相应的现金流量加权计算求得，此种方法即加权算术平均数的计算方法；货币时间价值的计算是假定没有风险和通货膨胀，但在财务活动中，经营风险带来的财务风险是客观存在的，而且风险和收益密切相关，所以财务管理者必须研究风险和收益。如果不考虑收益的前提下，可以直接用标准差来衡量财务活动中的风险，若考虑收益，则不能直接用标准差，需要用标准差系数来衡量风险，即用标准差与收益的比值来衡量。

        除此之外，在财务管理中，需要对资金需要量等指标进行预测，为统计学中的预测方法提供了多种思路。 

可以按照时间序列的组成因素，可以选择平滑法预测、回归法预测等，这些方法都是会计专业中常用的预测方法。例如，在财务预测中，资金需要量预测的主要方法有销售百分比法、线性回归分析法和预计资产负债表法。线性回归分析法是假定资金需要量与业务量之间存在线性关系并建立数学模型，然后根据历史有关资料，确定参数从而用回归直线预测资金需要量的一种方法。其预测的数学模型为y＝a＋bx，式中y 为资金需要量；a 为不变资金；b 为单位业务量所需要的变动资金；x 为业务量。不变资金是指在一定的营业规模内，不随业务量增减的资金。变动资金是指随营业业务量变动而同比例变动的资金。根据企业历史资料，运用线性模型，在确定a、b 数值的基础上，即可预测一定业务量x 所需的资金量y。用于销售预测的常用方法有判断分析法、趋势外推分析法、因果预测分析法和产品寿命周期推断法等。趋势外推分析法在销售量预测中的应用较为普遍，其具体应用形式包括平均法（简单平均法、移动平均法和趋势平均法）和修正的时间序列回归法。

        三 管理会计

        按成本性态可以将企业的全部成本分为固定成本和变动成本。固定成本与变动成本只是经济生活中诸多成本性态的两种极端类型，多数成本是以混合成本的形式存在的。混合成本是指那些“混合”了固定成本和变动成本两种不同性质的成本，对混合成本的分解方法有历史成本法、账户分析法和工程分析法。历史成本法的基本做法就是根据以往若干时期（若干月或若干年）的数据所表现出来的实际成本与业务量之间的依存关系来描述成本的性态，并以此来确定决策所需要的未来成本数据。历史成本法通常分为高低点法、散布图法和回归直线法3 种。回归直线法运用最小二乘法的原理，对所观测到的全部数据加以计算，从而勾画出最能代表平均成本水平的直线y＝a＋bx，这条通过回归分析而得到的直线就称为回归直线，它的截距就是固定成本a，斜率就是单位变动成本b，这种分解方法也称作回归直线法。又因为回归直线可以使各观测点的数据与直线相应各点误差的平方和最小，所以这种分解方法又称为最小二乘法。

        管理会计中的标准成本法是指通过制定标准成本，将标准成本与实际成本进行比较获得成本差异，并对成本差异进行因素分析，据以加强成本控制的一种会计信息系统和成本控制系统。标准成本法便于企业编制预算和进行预算控制；可以有效地控制成本支出；可以为企业的例外管理提供数据；可以帮助企业进行产品的价格决策和预测；可以简化存货的计价以及成本核算的账务处理工作。标准成本是在正常生产经营条件下应该实现的，可以作为控制成本开支，评价实际成本、衡量工作效率的依据和尺度的一种目标成本。可分为理想标准成本、正常标准成本和现实标准成本。成本差异是指实际成本与标准成本之间的差额，也称标准差异。按成本的构成分为直接材料成本差异、直接人工成本差异和制造费用差异。直接材料成本差异、直接人工成本差异和变动制造费用差异都属于变动成本，决定变动成本数额的因素是价格和耗用数量。制造费用差异（即间接制造费用差异）按其形成的原因和分析方法的不同又可分为变动制造费用差异和固定制造费用差异两部分。例如：直接材料成本差异是指一定产量产品的直接材料实际成本与直接材料标准成本之间的差异。直接材料成本差异＝直接材料实际成本－直接材料标准成本。直接材料成本是变动成本，其成本差异形成的原因包括价格差异和数量差异。价格差异是实际价格脱离标准价格所产生的差异。数量差异是单位实际材料耗用量脱离单位标准材料耗用量所产生的差异。计算公式如下：材料价格差异＝（实际价格－标准价格）×实际用量；材料数量差异＝（材料单位实际耗用量－材料单位标准耗用量）×标准价格；直接材料成本差异＝材料价格差异＋材料数量差异。此种计算方法是统计学中加权综合指数体系中的相对数形式和绝对数形式。在学习和工作中比较常用的是基期权数加权的数量指数和报告期权数加权的质量指数形成的指数体系。

        综上，会计专业中的统计学教学应结合自身特点，注重对统计思想的挖掘和传递，注重对学生统计思维能力的培养和塑造，以培养应用能力为主线，与会计专业老师深入沟通，对现有统计学教材的课程设置及传统的教学手段进行大胆改革，从而使会计专业的学生增强学习统计知识的兴趣，真正认识到统计学的重要性，学到真正能指导实践的现代化统计知识。通过一段时间的实践，会计专业学生对统计学和会计学科的关系有了深刻的认识，增加了学习统计学的主动性，并对会计专业课程有了不同角度的解读。

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统计学的标准差范文第4篇

关键词：电学计量；误差；不确定度

随着经济和科技的发展，测量的软硬件也在快速发展，同时，对测量结果的精确性也提高了要求。因此，系统误差的发现和消除是至关重要的工作。电学计量的特点有准确度和灵敏度高，应用广泛，已经应用到各种计量技术和控制的工作中，但是影响电学测量的影响因素很多，很难察觉。在实际的电学测量中，测出的结果不是真实值，因为存在着误差。在对电学仪器计量的实验中，测量的结果并不是被测产品的真实值，最早引用“误差”的概念引起了不不的争论

1 电学计量误差分析

由于各个操作人员电学知识的掌握程度不同，另外对相关检定规则的熟悉程度也有差异，再加上个人偏好等因素的影响，不可避免地会形成一定的系统误差。部分操作者不习惯从垂直于表面的角度从指针指示仪表里读数，这样往往就会导致系统误差的出现，这种是最常见的读数误差，当然还有其他的不正确的读数习惯，由于很少见，在这里就不再展开了。有些实验操作人员的操作也很容易造成误差。像在转换机械开关时，当用力不同时就会直接影响到开关接触电阻的大小，进而出现误差。在检定时如果操作人员没有严格要照检定流程进行的话，很容产生误差，也就是通常所说的方法误差。这类误差是比较常见的，可以通过构建有效的防范制度来进行防控。在实际测量中，由于测量条件或测量环境等的不同，有时候会使用一些非标准方法，这种情况多见于企业中。比如，在对测量仪器进行校准时，由于采用的方法不一致，得出的结果自然也会有一定的差异。

量具误差，通常来说像标准表这类的电学计量标准器都会有一定的级别，像0.1级、0.5级等，这些就是我们通常说的标准具的系统误差，它也是电学计量中最常见，也是最容易发现的误差。它是按照相关的生产设计性能与检定规程来规定的，而且都会在标准器的鉴定证书里给定，不过它有有效期的限制，一旦过期的话，标准器就得重新确定它的系统误差。 不过，由于电测标准量具有时候会因失准或损坏而使得误差范围超标，形成更大的系统误差，因此，对电测标准量具必须定期进行检查，如果发现相关的问题要及时处理或予以更换。

在交流电路中，有功阻抗存在无功分量，称残余电抗，无功阻抗存在有功分量，称损耗电阻，如果在测量中不将它们考虑在内，就会引起误差，这类误差就叫做直角误差，这是由于交流电路阻抗三角形两直角边为电阻和电抗，又阻抗Z=R+jX如果只单独考虑R或者X都会引起误差。如果在测量时由于电压灵敏度或值大于所设定电压，指示器将不会再有变化，就会产生模或者相角的误差。在交流电路里，要注意幅值和相位差两个因素。如用电压OB去平衡未知电压 OA时，向量OB端点距离A点等于电压灵敏度阈值（长为AB）时，再减小AB将观察不到指示器的变化，这时灵敏度阈是以AB这半径的园，测量OA的误差有模的误差，又有相角误差。

对于环境来说，一般电子元件产生的磁场很小，可以忽略不计。但是在直流电路中未经屏蔽的电动系仪表对电磁场敏感，需要考虑到这个问题。交流电路中，各元件间的磁场影响就较大了， 每个电感线圈都会产生交流磁场。在周围的导线、线圈中产生感应电动势， 造成互相影响，影响足够大时就形成误差。电感线圈移近铁磁性物质或高电导物质时，前者的磁通通过后者闭合或产生涡流，使线圈电感值变化，从而出现误差，使用屏蔽措施就可能产生这种误差。在绝缘导体中，电场有时候会导致导体间电容泄漏电流，形成一定空间内的通路，使电路中元件数值发生变化。此外，静电力、压强、湿度等因素都会对测量结果造成一定的影响。

2 计量校正-不确定度评定

在很多情况下，不同的检测方法，会直接妨碍到对测量不确定程度的影响，在计量学和统计学的计算中我们要对计量过程中的不确定度进行合理的排除，保证检测结果不会对不确定度造成影响，通过合理的评定方法和评定依据来提高数据的确认能力和准确性。测量不确定度是在一个相对合理的环境中根据不同种因素对测量所造成影响进行修订的结果，在这个修订结果中，测量系数要被控制的统计状态以下，并且通过随机的控制来提高测量过程中的重复现象。被测量值在理解上分为多个测量结果，这些测量结果能够通过测量量所的纯，但是这些测量量中还包含很多不确定的测量因素。这也使分量能够在分量值中被合理体现。测量的分散性性还与测试过程中产生误差由直接的关系，例如通过分数性来确定一个标准，就需要在测量值之间进行区间的分散，这是测量中不确定度和测量误差的根本区别。测量误差中的差值会以一个点来呈现。而测量中的不决定度则是一个完整的区间，这种分散性使测量标准能够出现成倍的偏差。

2.1评定方法以及不确定度标准

我国采用的不确定度评定方法主要有两种，即静态不确定度评定和动态测量不确定度评定。静态不确定度评定，是基于统计理论的传统的评定方法。动态测量不确定度评定是基于新模型、新理论的评定方法。在进行不确定度评定时，首先建立一个数学模型，然后找出不确定度的来源，对不确定度的分量进行定量分析，接着，计算合成不确定度和拓展不确定度，最后做出不确定度的报告。为了测量不确定度进行评定时更加精确、科学，今后的发展方向会使动态不确定度评定与静态测量不确定度评定相结合，共同用来测量不确定度的评定。

随着全球化进程的发展，迫切地要求各国所进行的测量和所得的测量结果应具有统一的评定标准 ，以避免由于标准差异而造成不必要的损失。1986年，由国际标准化组织（ISO）、国际电工委员会（IEC）、国际计量委员会（CIPM）、国际法制计量组织（OIML）组成了国际不确定度工作组制定了用于计量、标准、质量、认证、科研、生产中的不确定度标准指南。经工作组的反复修改，1993年制定了《测量不确定度表示指南》（简称GUM），指南得到了BIPM、OIMI、ISO、IEC及国际理论与应用化学联合会（IUPAC）、国际理论与应用物理联合会（IUPAP）、国际临床化学联合会（IFCC）的批准，由ISO出版。目前GUM在全世界的执行已推动不确定度达到了最新水平，它是现代不确定度方法与应用的根据。1999年1月我国国家质量技术监督局批准颁布了基本等同采用GUM的国家计量技术规范JJFl059―1999《测量不确定度评定与表示》

结语

本文通过在实际操作过程中容易出现的问题以及相关性问题被认为确定或者故意忽略的现象和给用户和实验室带来的风险进行分析，对电学计量中不确定度的评定能够解决一些问题，给企业和社会带来效益，不确定度评定同样也适用于其他行业，比如力学计量、温度计量、几何计量以及无线电计量等，很多工作还需进一步研究。

参考文献

[1]黄玮.“北斗一号”系统定位误差的测试与分析[D].大连海事大学，2012.

统计学的标准差范文第5篇

【名师箴言】

对于日常生活中的一组数据（包括出现的样本和总体）来说，我们不但要关心它的集中程度，而且还要关心它的离散程度. 通过本章对极差、方差、标准差的学习，可以帮助同学们更加全面地认识数据，从而能够对数据做进一步的处理并做出一定的推断、评论和预测. 在学习本章时，要能够理解一组数据极差、方差、标准差的含义，知道三个统计量之间的区别与联系；会计算极差、方差、标准差并能用它们来比较不同样本的波动情况；通过实践、探索活动，体会用三个统计量表示数据波动情况的合理性，并能用它们解决有关实际问题. 因此，本章学习重点：会计算一组数据的极差、方差、标准差；本章学习难点：应用极差、方差、标准差来解决有关实际问题.

一、 了解极差、方差与标准差的概念

一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，这样的差叫做极差.

二、 理解极差、方差与标准差联系与区别

极差、方差和标准差都是刻画一组数据的离散程度统计量，它们具有各自的特点：极差是一组数据中最大值与最小值的差，因此，极差只能反映一组数据中两个极端值之间的大小情况. 方差或标准差反映了一组数据的波动大小，方差或标准差越大，数据的波动越大；方差或标准差越小，数据的波动越小. 必须注意的是：当两组数据的平均数相等或比较接近时，才能利用方差或标准差比较两组数据的离散程度.

由此可以看出：平均数相同的两组数据，极差大的一组数据方差不一定大.

三、 灵活应用极差、方差或标准差解决实际问题

例 为了声援扬州“世纪申遗”，某校举办了一次运河知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分以上（包括6分）为合格，达到9分以上（包括9分）为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示.

（2） 观察上表可知，甲组的中位数是6，乙组的是7.5，小明是7分，超过甲组的中位数，低于乙组的中位数，所以应该甲组的学生；

统计学的标准差范文第6篇

【关键词】统计学；财务管理；财务能力分析

统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考。它被广泛的应用在各门学科之上，从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。由于统计学不仅运用了数学知识而且也涉及到许多其他专业的只是，因此统计学被应用到了许多学科的各个领域。随着统计学的发展，统计学作为一种有力的分析工具逐渐被应用于各个领域，财务管理在公司运行中一直承担着重要的角色，而且财务管理涉及到许多数据，作为分析数据的工具，统计学必然要运用于财务管理。

一、统计学在财务管理学习中的应用

（一）利用概率分布图进行数据分析

在财务管理中分析数据时有时需要做概率分布图，如通过收益率概率分布图可以得到各种可能结果的收益率，进而进行更好的财务决策，风险相同的情况下选择收益较高的方案。概率分布图越集中、越尖，那么预期值与实际结果接近的可能性越大，背离预期收益的可能性越小。由此，概率分布越集中，股票对应的风险越小。

（二）预测企业的收益率

通过企业以往的相关数据，建立模型，可以预测企业未来的收益率，因此便可以帮助企业更好地投资或者选择经营方案。

（三）通过计算标准差和变异系数来判断

数据的精确度利用标准差这一度量概率分布密度的指标来准确度量数据的精确性，标准差反映的是样本内的个体的离散程度，通常作为判断分布程度的指标，标准差是方差的平方根，在企业进行投资的过程中，需要根据标准差的大小来判断收益的稳定性，一般情况下，标准差越大，代表企业的回报稳定性越差，投资该项目的风险越高，相反，标准差数值越小，表明企业投资该项目的回报稳定性越好，投资该项目的风险越低。同样标准差也可以用于企业资本结构分析，基金股票分析等。然而，有时候进行比较的两组数据的参考标准相差过大或者测量尺度相差太大，此时运用标准差进行比较便没有太大意义，误差会很大，因此需要用变异系数，所谓变异系数是指用原始数据的标准差除以原始数据的平均数，得到的数值，用变异系数进行比较可以排除标准或者参考性不一致的特点，反映数据离散程度的绝对值，其数据大小不仅受变量值离散程度的影响，而且还受变量值平均水平大小的影响。变异系数可以同时反映收益和风险，因此，故在处理两个或多个具有显著不同预期收益的投资项目时，他是一个更好的风险度量指数。

（四）在财务能力分析中的应用

1.偿债能力分析

企业偿债能力就是指企业偿还账务的能力，企业偿还债务能力的高低直接可以体现企业的财务风险的大小。按债务偿还期限的长短，又将其分为短期偿债能力与长期偿债能力。短期偿债能力通常设置以下指标：流动比率；速动或酸性测验比率；现金比率。长期偿债能力指标有：已获利息倍数；资产负债率；产权比率；有形净值债务率。

2.盈利能力分析

盈利能力分析是指企业获取营利或者利润的能力，以及对经营成果分配的能力，企业盈利能力的高低直接体现了企业的财务结构和经营成果，盈利能力好的企业具有更优良的财务结构和经营能力。企业盈利能力高意味着企业的经营与规模就会有更好的发展。一般企业盈利能力指标有：销售利润率；成本费用利润率；资产总额利润率；资本金利润率；权益利润率。股票上市公司除上述指标外，还可借助以下指标：每股盈余；每股股利；市盈率；股东权益报酬率；股利支付率；留存盈利比率。

3.资产运用效率分析

资产运用效率是指企业对自身资产的运用能力，良好的资产运用效率可以使企业的现金流和长期资本得到良好的循环和回报，资产运用效率体现的是企业的利润获取能力，资产运用效率越高表明企业的资产周转速度和质量越高，获取利润的能力越大，反之，企业的利润也就越低。资产运用效率指标有：存货周转率；应收帐款周转率；流动资产周转率；固定资产周转率；总资产周转率。

4.综合财务能力分析

综合财务能力分析是结合企业各项财务状况和经营成果的总体的变化趋势进行综合分析，得出企业整体的财务状况，上述的三个指标只是从某一方面来判断企业的财务状况而综合财务分析是进行的整体的全面的系统的分析，具有更高的参考价值。综合财务能力分析的指标有杜邦模型中的权益报酬率和计分综合分析法的实际得分。以上企业财务能力分析指标的计算和分析都离不开统计学的相关知识和工具。

二、在财务管理学习中如何更好地学习统计学

（一）重视统计学的学习

由于财务管理专业的学生对于统计学的认识程度不够，无法深刻认识到统计学在财务管理学习中的重要性以及掌握好统计学的方法论对于财务管理数据处理的便利性，大家只是普遍认为统计学是统计学专业应该掌握的知识，因此大家往往不会认真去学习统计学，而且财经类学院开设的统计学课程往往只是把统计学比较简单的只是或者与财务管理比较相关的知识介绍给大家，往往学习程度太浅。因此，为了提高学生的统计学知识，更好地学习财务管理，必须强调统计学专业的重要性，把统计学重视起来，才能更好地在财务管理学习中运用好统计学，在企业财务分析中，运用好各种指标。

（二）将统计学与财务管理更好地融合起来

长期以来，财经类开设的统计学课程主要是介绍统计学的基本原理和基本方法，以，统计整理，统计调查，统计指教，综合指标，时间序列，抽样推断，相关分析等社会经济统计学内容为主，与财经类学科的专业知识联系不够，而且大多数情况下，只是选择性地讲解一部分知识，原理性的内容有时候并不会去介绍或者学习。如此以来，便不能把统计学只是学好，只是学个皮毛。统计学只是介绍一种方法，如何将这种方法运用到财务管理中，需要将统计学的方法论与具体的实例或者案例相结合，如此以来便能更好地理解统计学与财务管理的内容，既能学会处理数据的方法，又能更好地理解财务状况。如用资产负债表和利润表中的数据项目等各种指标来学习了解综合指标；销售预测和资金需求量的预测可以作为介绍学习动态数列的趋势预测法的案例；结合投资决策的实例来学习了解标志变异指标。结合财务管理专业的背景，通过分析和解决财务问题的实例，既能加深对财务管理理论知识的理解，又能提高利用统计学只是进行财务问题分析的实际操作能力。

【参考文献】

[1]蒋惠凤.财务管理专业统计学教学模式研究[J].新课程(教育学术),2011,07:175-176.

[2]秦红霞.统计学对财务管理学习的影响[J].统计与管理,2014,07:8-9.

[3]刘杰.企业财务部门统计学调查工作管理研究[J].现代经济信息,2014,22:28.

统计学的标准差范文第7篇

关键词：差异指标 差异指标的差异

在统计学及其相关课程中，有关差异指标（也称“差异量数”，下同）的教学要点有二：一是差异指标的意义，二是差异指标的种类。前者的要义可概括为：综合反映总体（或样本）各个单位标志值（或数据）的差异程度（或离中趋势、离散程度等）；后者的意思是说：差异指标的种类很多，它们各有自己的计算方法和特点。如果我们把后者的这种不同种类、特点也统称做“差异”的话，那么，我们在统计学有关学科的教学过程中，就应把这两个方面的“差异”向学生交代清楚，使他们对差异指标之“差异”有个客观、全面而准确的理解，从而避免由于理解的片面性得出错误的判断。

一、正确理解不同差异指标之间的“差异”

人教版初中代数第三册教师教学用书第171页有这样一段话：“在表示各数据与其平均数的偏离程度时，……为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方，……这主要是因为在很多问题里含有绝对值的式子不便于计算，且在衡量一组数据波动大小的‘功能’上，方差更强些。例如有两组数据：

甲 9 ，1 ，0 ，－1 ，－9；

乙 6 ，4 ，0 ，－4 ，－6。

从直观上看，甲组数据的波动要比乙组数据大些，但它们的平均差都是4，区分不出其波动大小；而甲组数据的方差是32.8，乙组数据的方差是20.8，用方差可将它们的波动大小区别开来。”

其实，上述的一段描述是在告诉读者这样一个命题：在平均差与方差（或标准差）之间，方差（或标准差）表示数据波动大小的“功能”强于平均差。

这个命题是真的么？请看下一个例子：

在一次射击比赛中，甲乙两射手成绩记录如下：

甲 9 ，7 ，9 ，9 ，7 ，7 ，7 ，9；

乙 6 ，8 ，8 ，8 ，10 ，8 ，8 ，8 。

计算他们的平均值、标准差、平均差（如表）。

在这里，两组数据的标准差都是1，区分不出波动的大小，但甲组的平均差为1，乙组的平均差为0.5，我们通过平均差得出结论：甲组成绩的波动性大于乙组的波动性。于是又否定了上述命题，并得到一个于完全相反的命题（叙述从略）。

显然，若综合以上两种（假）命题，取其正确部分的话，那么，正确命题应为：

平均差和标准差（或方差），在所反映的总体（或样本）单位标志值的差异性上具有一致性，但区分这种差异大小的“功能”谁更强些不是绝对的。

那么，为什么人们在学习、应用统计学的多个差异指标时更多关注的是标准差呢？主要有以下理由：（1）反映灵敏，它随任何一个数据的变化而变化；（2）严密确定，一组数据的标准差有确定的值；（3）适合代数运算，可以将几个标准差合成一个总的标准差；（4）可以用样本数据推断总体差异量；（5）在计算其它统计量时，如差异系数、相关系数、标准分数等，都需要标准差。

二、正确理解同一个差异指标值在实际背景中释义的“差异”

某社出版的数学辅导教材有题如下：

甲乙两组学生各有8人，参加某门学科测试成绩如表2（100分制），请比较两组学生的成绩哪组较好一些。

因为 ，甲组成绩的波动比乙组小一些，所以甲组学生的成绩较好一些。

笔者认为：标准答案制订者是建立在“组内学生之间学习差异越小，成绩越好”的教育教学理念下做出这一判断及结论的。要知道，在新课程的教育教学理念下是允许学生与学生之间存在差异的，倡导学生在学习各门课程时敢于“冒尖”、创新，不搞“一刀切”，要让学生在全面发展的基础上培养个人特长。在评价学生时，以多元智能理论为依据，多方法、多手段、多尺度地考查学生的学习效果。基于此，我们又可以认为乙组的成绩好于甲组。甚至，倘若再对照例题中两组学生的其他指标情况，比如优秀率：若规定90分以上为优秀，则两组持平；若规定85分以上为优秀，则甲组为1/8，乙组为1/2，也会得出乙组的成绩好于甲组的结论。

总之，我们在用统计中差异指标的“差异”值解释现实现象并下结论时，不可以将教材中所说的变异指标值愈小，对相应平均指标的代表性愈好、稳定性也好，机械地认为“一切都好”，这是对差异指标本质的误解和歪曲。

统计学的标准差范文第8篇

关键词：正态分布 成绩评定 标准分0前言

传统的仅凭卷面分数和平均分数评估学生学习成绩和教师教学效果的方法，带有片面性。因此，诸如由学生各科卷面总分排名来评定奖学金，确定毕业分配时的优先分配政策，由主观制定的卷面分数段的比例大小和仅由平均分数的高低评估教师效果的好坏，是不合理的，本文给出一种新的评估体系供大家参考。

一、平均分数体现整体水平

1、某班某学科的平均分数

x1=

2、求N个班某学科的平均分数应“加权”

x=

其中x表示加权平均数，ki表示第i班总人数，xi表第i班平均分数。

二、标准差反映平衡程度

除了解体现整体水平的平均分数外，还应了解每个人的分数离班平均分数的偏差大小。因此可以利用数理统计中的标准差计算公式

δ=

（其中x为卷面分数，x为平均分数，N为全班总人数）。例如，甲乙两班同一科的平均分数都是81.5分，标准差依次为9.2和10.3，从而知甲班比乙班要稳定些，发展平衡些。

三、“标准分”取代卷面分来评估每个学生学习成绩的总体水平

在评先、评优和奖学金中，常要比较学生成绩的优劣。例如：某班数学卷面平均分数为:x1=69.4，标准差为δ1=8.5。语文卷面平均分数为:x2=87.6，标准差为δ2=10.5。学生张某数学60分，语文94分。王某数学83分，语文68分，按传统的方法认为：张总分154比王151分多，因此张优先于王。这种评估是不合理的，原因是各科之间的卷面分数的参照点（零点）与单位都不同，不能相加求和来互相比较。

在现代的体育统计和有关统计文献中，都采用“标准分”（符号意义同上），即学生的成绩 与班平均分之差比标准差。这样能统一尺度，具有合理的可比性。如张和王的成绩可以合理的评估如下(表1)：

表1

(注:习惯用正分，故一般取T=10Z+50，T分大约在20至80之间。它是把Z分扩大10倍，又往后平移50，消除了负数。)结果张两科总标准分95次于王97.3，与卷面分数结论相反，标准分反映学生在全体考分中的相对位置，故又称相对分。至于不同班级、不同学科的总分，由于试卷有难易之分等因素，更应采用标准分。

四、考试分数合理分布的评估依据

怎样评价一班的考试分数的分布是否合理，依据是什么？以前有关文献都认为:卷面分X是正态随机变量X～N（x，δ2），标准分Z服从标准正态分布Z～N（0，1）。但都没有加以论证或进行实际的统计分析。因此有些提法不尽妥当：因为样本平均分数x与样本标准差δ均为统计量，是随机变量，而正态分布的两个参数都是常数；如果X是随机变量，X～N（μ，δ12），X1，X2，∧XN是来自总体X的样本，则x是μ的无偏估计。δ是δ1的极大似然估计，一般地其观察值x≠μ，δ≠δ1，所以X～N（x，δ2）的提法不妥。而且也推不出Z～N（0，1）（证略）。

但是，通过多年来对我校各个教学环节情况比较正常的教学班的考试分数的统计分析发现标准分Z是近似服从标准正态分布的（有文献曾认为或假设Z近似地服从标准正态分布的说法）。由数理统计学可知：随机过程可以用族中的典型样本函数来表征。因此我们可以把Z近似地看作服从标准正态分布的随机变量，从而以标准正态分布作为评估学生考试分数合理分布的依据，根据“3δ”原则换算出标准分的合理分布评估依据：分段比例和累计比例。

转贴于

（1）分段比例：

T≤20的比例为0.0013

40＜T≤60的比例为0.6826

30＜T≤70的比例为0.9544

20＜T≤80的比例为0.9974

T＞80的比例为0.0013

（2）累计比例：

T≤30的比例为0.0228

T≤40的比例为0.1587

T≤50的比例为0.5000

T≤60的比例为0.8413

T≤70的比例为0.9772

T≤80的比例为0.9987

记:│（取T≤20的人数／总人数）－0.0013│=A1

│（取T＞80的人数／总人数）－0.0013│=A2

│（取40＜T≤80的人数／总人数）－0.6826│=A3

│（取30＜T≤70的人数／总人数）－0.9544│=A4

│（取20＜T≤80的人数／总人数）－0.9774│=A5

则ΣAi=A1+A2+A3+A4+A5的值越小说明说明分布越合理。并在记分册中增加“平均分”，“标准差”，“标准分T”三栏，以方便教学管理部门进行评估。

五、统计分析实例

以我校2005级会计一班数学成绩为例见表得知（见表2，表3），是基本符合标准正态分布的。同时发现，越是成绩好的学生，各科卷面总分和标准总分排名基本相同，且各科成绩越平衡；越是各科成绩不平衡的，卷面总分与标准总分排名就相差较大（如第3，24，26学号），由此说明由标准分来评估学生学习成绩的总体水平是合理的科学的。

表2：分段比例对照

表3：累计比例对照

六、总结

通过以上讨论和计算，可以得出以下结论：

1、在没转换成标准分之前，各科的分数是不能比较的。

2、用原始分高出平均分多少来衡量各科，也是很不科学的。

3、一旦转换成标准分，不但上述比较变得科学易行，而且各次考试之间也是应该比较的。如Z后次–Z前次=进步幅度。

4、平均分反映整体水平；标准差反映班级整体发展平衡程度；标准分反映学生个体各科发展的平衡程度。

4、分段比例和累计比例是学生成绩合理分布的评估依据。

5、统计数据与理论数据之差A1，A2，A3，A4，A5之和ΣAi是刻划合理分布程度的依据。

6、任何一次大型考试，不但要公布“平均分”，而且要公布“标准差”。这两个参数都是十分重要的。这样，各校，各班，个人在这个大系统中的地位都可以很容易的算出。

七、结束语

教学效果的评估，是“终端评估”，是教学管理的重要环节，它的合理性和准确度不但体现在变定性评估为定量评估，而且还依赖于教学“过程评估”的合理性。如试卷的难易程度，评卷的准确性与公正性，还有学生平时成绩的评定，考场纪律等。这都需要长期摸索和认真细致的统计分析。多年来，我们本着以抓“过程”保“终端”，以抓“终端”促“过程”的原则，在抓教学效果的评估的同时，在试卷评分方面也进行了一些改革和尝试，如运用美国数学教授T·L·Saaty提出的“层次分析法”和湖南农大的“加权评分法”，收到了一定的效果。

参考文献：

1、盛骤.概率论与数理统计.北京:高等教育出版社，1998.

统计学的标准差范文第9篇

[关键词]统计信息；统计数据；质量评估；方法

[中图分类号]C829.2 [文献标识码]A [文章编号]1005-6432（2013）38-0085-02

统计数据质量决定着统计机构的存亡，统计数据是否准确不但影响着相关决策的科学性和准确性，对统计机构的公信力也起着极其重要的影响。随着网络信息技术的不断发展以及广泛应用，推动了经济全球化的步伐，在社会各界不断加大对统计信息的需求的同时，对统计数据质量的要求也越来越高。近年来，随着国际统计界对统计数据质量方面的深入研究，确定统计数据质量的评估方法，已经成为研究的重要内容。本文阐述了统计数据质量的内涵，并对统计数据质量的评估方法作出了科学分析。

1统计数据质量的内涵

统计数据作为一种统计产品，在信息化时代中占有至关重要的地位，而统计数据质量概念的内涵也越来越丰富。传统的统计数据质量只包括统计数据的准确性，而用来衡量准确性的标准就是统计估计中的误差。在如今市场经济迅猛发展的环境下，准确性已经不再是衡量统计数据质量的唯一标准。统计数据作为统计产品，必须根据用户的需求去判断其质量，应该充分考虑统计数据提供的信息能否满足用户的需求。因此，统计数据质量的内涵必须具有一定的综合性。统计数据质量是一个相对的属性概念，其标准会根据用户的不同和时间的不同发生变化，因此，统计数据质量是指统计信息满足用户需求的程度，其内涵应该包括以下内容。

1.1完整性

应该确保相关数据无任何缺失，从而确保有足够的深度和广度去满足研究的需求。

1.2有用性

有用性具体是指数据本身的利用价值以及它的使用给用户所带来的利益程度。数据所提供的信息必须是用户需要的，并且要具有一定的利用价值。此外，有用性还应该包括安全问题，也就是说数据的使用权应该受到一定的限制，从而确保数据的保密性。

1.3时效性

对相关的研究来说，数据必须是最新的。时效性是判断统计数据是否满足用户需求的重要标准，相关数据必须在用户作出决策之前提供给用户，这样的数据对用户来说才是有利用价值的。

1.4准确性

数据必须具备准确性和可靠性，并能有效地反映实际情况。如何判断准确性，主要决定于目标值和统计估算值之间的差异程度，统计误差越小则说明准确性越高。数据的准确性还具体包括表述的准确性和一致性，准确性就是对数据的描述语言应该满足准确和简洁的标准，而一致性则是数据集内部、前后期以及其他数据来源和统计框架之间必须保持相互一致。

2统计数据质量的评估方法

2.1从核算角度进行的评估

从核算角度对数据进行评估，首先要以被评估指标要求的核算方法为基础，并深入分析指标核算中存在的问题及其原因，然后充分利用现有的资料进行重新估算，通过估算结果去检验官方估计值。又通过从核算角度重新对统计数据进行核算的方法也存在一些问题，例如，对相同的数据使用不同的估算方法，估算的结果会存在很大的差异，如果没有准确的信息，就很难解释这种差异。此外，由于缺乏和基础数据有关的信息，因此，在估算过程中必须通过建立假设进行估算，这样很可能会造成估算结果出现偏差，从而影响估算结果的准确性。虽然此方法存在一些问题，但是只要严格按照相关规范对指标进行重新估算，就可以有效地检验官方的统计数据，同时可以针对该指标的参考提供相应的统计数据，因此，对于宏观统计数据质量评估而言，此方法更具规范性。但是，由于宏观统计数据的估算存在较大的复杂性，而且收集数据的难度较大，因此，此方法只适合专门的研究人员和机构使用。

2.2从误差的角度对数据质量进行评估

误差是数据质量问题中最为常见的，所谓的误差就是客观的社会经济现象实际的数量特征与统计数据之间存在的差距。在现实中没有哪些数据是绝对准确的，因此，只能将精确度作为判断数据的标准，如果精确度能满足社会经济现象数量规律以及数量特征的需要，就可以判断此统计数据是准确的。然而，误差的大小是决定数据精确度高低的关键，因此，从误差的角度对数据质量进行评估的方法可行性较强。统计数据中存在的误差具体包括抽样误差以及非抽样误差。在进行样本推断的过程中，抽样误差是无法避免的，由于其本身并非错误产生的结果，且目前对抽样误差的研究已经取得了较高的成果，因此，只要成功的设计出样本的估计量，就能得出该估计量的误差公式。除此之外，其他所有的误差都属于非抽样误差。目前有两种方法可以判断非抽样误差，一种是针对估计值建立起总误差模型，并对非抽样误差在总误差中的份额大小以及其的具体数值进行测算，但此方法在理论和实践中都存在较大的复杂性，且成本较大。针对这种情况，相关学者研究出了另一种方法：先对原始资料中是否存在失真资料进行判断，并找出这些失真资料，然后进行必要的整理和修改，以避免误差的出现，从而确保统计数据的质量。从误差角度对数据质量进行评估的方法适用于检验和控制原始调查数据的质量。随着抽样调查技术的应用和发展，此方法在原始数据质量的评估中发挥着非常重要的作用，但是，针对计量误差的检测，此方法还有待进一步的完善。

2.3统计数据质量的逻辑性评估方法

2.3.1基于相关性的逻辑性评估方法

目前，有很多社会经济现象在数量上形成了一种相辅相成的关系，当某个社会经济现象出现数量上的变化时，也对其他的社会经济现象的数量造成直接的影响，而且在生产技术条件达到一定标准时，反映现象的不同指标之间保持着较为稳定的关系。基于相关性的逻辑性评估方法，具体是指在相关性较高的指标中，结合指标之间存在的关联，用已经确定的正确指标给出被评估指标的评估意见，如果各指标之间存在的关系出现大幅度的变动，就可以基本判断出被评估指标存在质量问题。此方法是以指标的弹性系数、各指标的比例关系以及总体指标和部分指标的结构关系等条件为判断依据，同时也可以采用主成分分析以及回归分析等计量方法。在对统计数据质量进行评估的过程中使用此方法时必须注意一些问题：各指标之间存在的关系并不会永远保持稳定的状态；必须确保和被评估指标相互联系的统计数据具备可靠性；和被评估指标相互联系的指标一般有很多，而根据不同的相关指标得出的判断结果应该是相同的，如果根据不同指标的变动来判断被评估数据的质量，得出的判断结果应该完全相反。

2.3.2基于规则的逻辑性评估方法

基于规则的逻辑性评估方法具体是指将一些已经通过专业审核的相关的统计数据资料进行集中，然后从总体上对各项数据之间的逻辑性和平衡性进行检验。逻辑平衡审核评估方法主要分为几种：相关平衡方法具体是指检查一些存在大于、小于以及等于关系的指标，如果检查结果出现异常，就可以基本判断数据存在错误；利用使用和生产的平衡关系进行评估的方法，具体是指判断一些有着明显内在关联的指标，尤其是使用和生产之间存在平衡关系的指标存在的误差是否在合理的范围内；同项相等的方法具体是指判断相同的指标在不同的标准上产生的数据是否一样；差额平衡法具体是指根据不同增减关系的数据，判断运算结果是否平衡。基于规则的逻辑性评估方法适用于原始调查资料和数据汇总，但是应该注意的是此方法只对存在逻辑平衡关系的数据有效，虽然使用计算机也可以检查和修改不同数据间存在的逻辑性错误，但是针对原始数据中庞大且复杂的非逻辑平衡的数据，要做出准确地判断存在很大的难度。

3结论

综上所述，由于影响统计数量的质量因素较多，而且这些因素存在于数据生产的各个环节，因此，统计数据的质量评估存在一定的复杂性。本文分析总结了几种评估方法，并对每个方法的特点和应用做了详细阐述，在对统计数据进行质量评估的过程中应该根据统计数据的使用对象以及类型，选择合适的评估方法，从而正确的判断统计数据的质量。

参考文献：

[1]胡安荣，王光彩，等.基层统计数据质量控制研究[J].统计制度方法研究，2009（4）.

[2]邵建利，丁玲丽.统计数据质量控制和评估机制的研究[C].贯彻落实科学发展观推进上海统计改革与发展优秀论文选编，2005.

[3]黄秉成，孙宗进.统计调查数据质量的甄别与控制[J].上海统计，2010（1）.

[4]成邦文，石林芬，杨宏进.统计数据质量检查与异常点识别的模型与方法[J].系统工程，2001（3）.

统计学的标准差范文第10篇

摘 要 成本是企业生存之根，成本管理水平的高低直接决定了企业竞争能力的优劣。面对日趋激烈的市场竞争压力，结合企业经营实际，不断强化企业低成本战略，应适时建立和推行了标准成本管理制度，促进企业成本科学化、精细化管理。

关键词 标准成本 成本差异 成本管理

标准成本法产生于20世纪20年代的美国，它最初只是一个统计分析方法，即通过对生产工人动作行为和时间标准的研究分析，确定标准工时，来提高劳动率，后来经过发展加入了标准人工成本和标准材料成本、标准制造费用成本，标准成本法初步形成。上世纪90年代，随着计算机技术及网络信息技术的发展，标准成本法的实际应用得到了长足的发展，特别是大型制造业企业通过对企业实施标准成本管理，有效地进行了成本控制，使企业效益得到了提升。

一、标准成本法的定义

标准成本法是指以预先制定的标准成本为基础，用标准成本与实际成本进行比较，核算和分析成本差异的一种产品成本计算方法，也是加强成本控制、评价经济业绩的一种成本控制制度。标准成本法是西方管理会计的重要组成部分。

标准成本法的核心是按标准成本记录和反映产品成本的形成过程和结果，并借以实现对成本的控制。

标准成本法体现科学管理的基本思想，比单纯进行成本计算更为重要。标准成本系统至今仍是实现成本控制的有效方法，而且它的形成与发展也标志着从原始意义上的成本计算向成本管理方向更迈进了一步。

二、标准成本在实际中的具体应用

1．标准成本的制定

标准成本制定的基本内容是：依据材料、人工、费用消耗标准和价格标准，制订各生产阶段的标准成本，并用于成本管理的全过程。标准成本是由会计部门会同采购部门、人力资源部门、行政管理部门、技术部门及具体生产经营部门等有关责任部门，在对企业生产经营的具体条件进行认真分析研究的基础上共同制定的。在制定过程中，应参考企业往年的历史数据，并积极寻找与本企业有类似经营活动的其他优秀企业的标准或实际数据作为参考，并分析自身与优秀企业间的差距，并探索解决途径。总之，制订的标准成本具有科学性、现实性、稳定性和目标性，应该体现实现并非轻而易举，也不是高不可攀。

2．标准成本法数据的整合

从标准到生产实际的信息量必然非常庞大，光靠手工计算是不可能的，要实现标准成本管理自动化，必须先实现财务、采购、生产、库存的信息化，因为这些数据的来源是执行标准成本管理的前提。应用企业资源计划系统-ERP作为标准成本管理平台，在产品、产成品和销售成本均以标准成本计价，并同时记录成本差异，可以大大减少期末成本计算的工作量，简化日常账务处理。同时，采用ERP成本管理，在通过库存系统、工资系统、固定资产系统等取出相关成本数据或手工录入数据后，系统就可以自动进行成本计算，生成完工产品成本报表、在产品成本报表、成本差异分析表等报表，并保证各种数据来源的唯一性，确保数据之间勾稽关系的正确性，从而避免了手工做报表的繁重工作量。通过ERP系统，加强对物质消耗和流向的控制，为实时进行差异分析、落实责任并采取改进措施，为实现成本的事前预算、事中控制、事后分析创造条件。

3．标准成本法实施应全系统、全流程、全员参与，并做到有序推进、合理分工

（1）标准成本法的实施必须得到管理层和各业务部门的支持。因标准成本管理是一个长期、不断反复、繁琐的工作，特别是实施的初期，管理系统反复调试可能对单位的业务影响相当大，有些企业最终没能坚持下来，其根本原因是企业管理层对标准成本管理认识的高度不够。联想集团在全集团内部上马ERP系统时，柳传志表示ERP系统的学习和整合是全集团内部最重要的事，即使业务不做也在所不惜，涉及到他这一层面的培训，他每次都按时到场学习，在他的支持下，ERP系统最终顺利实施，为联想的发展奠定了坚实的基础。管理层的支持将为标准成本管理的实施提供了坚强的后盾，各有关职能部门的才会重视成本、关心成本，相关成本管理工作实施才会得到各业务部门的支持。

（2）完善成本管理的各项基础工作，相关指标层层分解并将指标完成情况纳入绩效考评。

标准成本的基本要求就是单位消耗要科学，单位价格要合理，这就决定了标准成本的制定及成本管理的执行、执行结果的分析需要大量的资料在系统中体现，这些资料的取得对企业管理基础工作提出了较高的要求。在推行标准成本制度时，不仅要求构成产成品的零部件、半成品、耗用原材料和人工以及使用的设备、工艺方法等生产产品所必需的各项因素都要有标准外，而且需要对其实行科学化的管理，同时，还要有健全的原始记录以及完备的计量、检验、检测制度等。

4．成本差异分析，完善成本标准

成本差异分析是指对生产经营中所产生的成本差异进行深入的分析研究，找出原因，制定措施，实现成本控制。差异等于实际成本减标准成本，负差为有利差异，正差为不利差异。差异揭示出来后，应分析差异产生的原因，进而提出一些改进的措施。

导致差异的原因一般包括：（1）标准不够准确造成的；（2）实际生产操作或管理产生的。对于标准不够准确的要加以修订，对于由于生产操作管理产生的要具体进行分析。

成本差异的分析不能单独研究单个差异，还应研究各差异之间内在联系。差异分析应由责任中心的生产人员、技术人员、管理人员进行分析，不能由财务人员闭门造车想象出差异原因。只有通过生产经营活动的反复循环来不断对标准成本进行改进、提升，以使标准成本制度发挥更大的作用，成本管理水平不断提高。

三、结束语

综上所述，标准成本法的实施要结合企业实际的情况，逐步有序推进。分析并解决各项成本差异、实现成本管理目标，提高管理效率是标准成本法实施的最终目标。

统计学的标准差范文第11篇

关键词 颈型 神经根型 椎动脉型 交感神经型 脊髓型型 牵引

中图分类号：R318 文献标识码：A

颈椎病也被称为颈椎综合征，是临床常见的多发病之一。随着信息时代不断发展和完善，颈椎病的患病率逐年增加，发展势态更是呈现出年轻化的趋势。长时间伏案工作，不良的习惯姿态以及缺少运动锻炼，都会使颈椎长时间压迫，积劳成疾，常给人带来疼痛无力的感觉，严重者甚至会对日常生活和工作产生较大影响，导致其他后果。介于手术会造成一定的创伤，且利用手术进行治疗有着十分严格的适应症标准，不列为首选考虑，牵引可以适用于任何类型的颈椎病，通过治疗可以缓解血管紧张度，促使血管中血流的畅通，增加一定的血流量，所以临床上颈椎牵引一般会作为首选的治疗方案，但因各种类型颈椎病特点不同，单一使用牵引治疗不具有针对性疗效有所偏差。

本研究探讨不同类型的颈椎病患者在颈椎牵引治疗后自我感X和颈部功能活动的改变，比较其疗效差异，在临床治疗中，符合病情的基础上酌情选择，更有针对性地选择适合的治疗方案。

1对象与方法

1.1研究对象

选取武汉市人民医院门诊收治的颈椎病患者共一百例，根据主诉核磁共振等影像学检查，肌电图检查和压顶试验、臂丛牵拉试验、旋颈试验等物理检查进行明确诊断。纳入标准：首诊且未接受过其他任何治疗方案者；知情同意并签署知情同意书。排除标准：颈椎结核患者和肿瘤患者以及严重骨质疏松患者还有陈旧性颈椎外伤或有外科手术史的患者还有部分椎动脉硬化患者及患有先天颈椎畸形的患者根据诊断分型进行分组，颈型、神经根型以及椎动脉型各二十五，交感神经型十五，脊髓型十。

1.2研究方法

颈椎牵引按照标准流程进行操作。仪器采用日本医用颈椎牵引仪，患者规定为端坐位，采用坐式枕颌带牵引，角度为颈部自躯干前倾十五到二十度，同时注意避免过伸，牵引时间每次三十分钟，牵引方式为间歇式，牵引力值为体质量的百分之十五到二十，首次量小之后可根据患者的耐受量进行调节，每日一次，十次为一个疗程，两个疗程后统计疗效。

1.3观察指标

疼痛指数观察应用疼痛视觉模拟评分对主观疼痛感觉进行评定；颈椎功能观察应用颈椎功能障碍指数，对颈椎现有颈椎功能和对生活工作等造成的障碍进行综合评定。

1.4评定标准

1.4.1 VAS评定标准

用一条游动标尺，十个刻度，一端为零，表示无痛；另一端为十，表示剧痛；中间以渐进方式表示不同程度疼痛。可以让病人凭借主观感觉指示其所承受的痛感与之对应的刻度上，以数值表示所感觉的疼痛程度。

1.4.2 NDI评定标准

评分量表中含有十个选项，每一个选项得分零到五分，零分表示无残疾，五分表示完全残疾，总分五十。量表从疼痛、自理生活能力、日常活动、工作、学习、娱乐几个角度出发，患者可根据自己的实际情况进行作答，得分与颈部功能成反比，即分数越高则颈部功能活动越差。

2结果

（1）五种颈椎病治疗前后VAS评分比较。不同类型颈椎病患者在治疗前后，评分都有明显的改变，后一次的评分均低于治疗前的评分，显示具有显著统计学意义，其中颈型患者恢复明显，疼痛明显减轻，而脊髓型较其余四种类型疼痛等级略高，不同类型颈椎病患者治疗前后评分比较。NDI治疗前十五点左右，治疗后二点二零左右。VAS治疗前七点六八左右，治疗后二点七二左右。

（2）五种颈椎病治疗前后NDI评分比较。治疗后的NDI评分均低于治疗前所进行的评分，具有显著统计学意义。

（3）五种颈椎病治疗疗效比较。

（4）脊髓型较其余四种疗效比较。从VAS评定标准看，脊髓-较颈型、神经根型具有显著统计学差异，脊髓型-椎动脉型、交感神经型结果无统计学差异；从NDI评定标准来看，脊髓型-颈型、神经根型、交感神经型具有显著统计学差异，脊髓型-椎动脉型结果无统计学差异。

脊髓型较其他四种类型颈椎病患者治疗前后P值。对照组颈型，VAS治疗前零点一七二，治疗后为零，NDI治疗前零点零七八，治疗后为零。神经根型VAS治疗前零点六二二，治疗后为零，NDI治疗前零点六七二，治疗后为零。

2.1椎动脉型较其余三种疗效比较

从VAS评定标准看，椎动脉型-颈型、神经根型具有显著统计学差异，椎动脉型-交感神经型无统计学差异；从NDI评定标准来看，椎动脉型-颈型具有显著统计学差异，椎动脉型-神经根型具有统计学差异，椎动脉型-交感神经型无统计学差异。

椎动脉型较其他三种类型颈椎病患者治疗前后P值。对照组颈型，VAS治疗前零点七八七，治疗后为零，NDI治疗前零点四三四，治疗后为零。

2.2交感神经型较其余两种疗效比较

从VAS评定标准看，交感神经型-颈型具有显著统计学差异，交感神经型-神经根型具有统计学差异；从NDI评定标准来看，交感神经型-颈型具有显著统计学差异，交感神经型-神经根型不具有统计学差异。

交感神经型较其他两种类型颈椎病患者治疗前后P值。对照组颈型，VAS治疗前零点八九四，治疗后为零，NDI治疗前零点五七四，治疗后为零。

统计学的标准差范文第12篇

[关键词]电学计量；系统误差因素；分析研究

中图分类号： TM93文献标识码：B 文章编号：

在当前，虽然电学计量经过长期的研究和完善，其灵敏度、精度都已经达到了一个很高的水平，但是在实际应用过程中，由于受到各种内外部因素的影响和干扰，仍然不可避免地出现一些系统误差，影响计量的：效果[1]。为更好地提高和改进电学计量的效果，有必要对当前影响电学计量的系统误差因素进行总结和分析。下面按系统误差因素的来源逐一进行分析。

1.人为因素

1.1 操作误差

由于各个操作人员电学知识的掌握程度不同，另外对相关检定规则的熟悉程度也有差异，再加上个人偏好等因素的影响，不可避免地会形成一定的系统误差。

1.2 读数误差

部分操作者不习惯从垂直于表面的角度从指针指示仪表里读数，这样往往就会导致系统误差的出现，这种是最常见的读数误差，当然还有其他的不正确的读数习惯，由于很少见，在这里就不再展开了。

1.3 实验操作不当

有些实验操作人员的操作也很容易造成误差。像在转换机械开关时，当用力不同时就会直接影响到开关接触电阻的大小，进而出现误差。

2.方法误差因素

2.1 未按检定规程操作

在检定时如果操作人员没有严格要照检定流程进行的话，很容产生误差，也就是通常所说的方法误差。这类误差是比较常见的，可以通过构建有效的防范制度来进行防控。

2.2 非标准方法

在实际测量中，由于测量条件或测量环境等的不同，有时候会使用一些非标准方法，这种情况多见于企业中。比如，在对测量仪器进行校准时，由于采用的方法不一致，得出的结果自然也会有一定的差异。

3.量具因素

3.1 标准量具误差

通常来说像标准表这类的电学计量标准器都会有一定的级别，像0.1级、0.5级等，这些就是我们通常说的标准具的系统误差，它也是电学计量中最常见，也是最容易发现的误差。它是按照相关的生产设计性能与检定规程来规定的，而且都会在标准器的鉴定证书里给定，不过它有有效期的限制，一旦过期的话，标准器就得重新确定它的系统误差。

不过，由于电测标准量具有时候会因失准或损坏而使得误差范围超标，形成更大的系统误差，因此，对电测标准量具必须定期进行检查，如果发现相关的问题要及时处理或予以更换[2]。

3.2 仪器仪表显示方面的误差

读数误差一方面是认为造成的，但仪器仪表本身的特性同样也会造成读数误差，实践中最常见的就是当仪器显示的有效位数出现不足的情况时就会导致误差的出现。例如需要的是四位有效数字，然而所用的数字电压表却是3位半的，这样测量出来的数据自然就会产生误差了。再如，平衡指示器的读数机构有瑕疵也会引起误差，像刻线不够清晰、光点的亮度不够高等，这些小细节如果不够完善，再加上操作人员不注意，就很容易出现误差。

3.3 指示仪表的示值误差

这种情况在使用差值法进行测量时最常见。因为要根据指示仪表里的表示值来求出被测量，而这时候由于指示仪表出现示值误差，被测值自然也会随之受到影响。

3.4 数值仪表间隔采样的影响

数字仪表在采用间隔采样法时，由于缺乏连贯性，很容易因内外部因素的影响而漏掉部分被测量的波动信息，导致误差的产生。

4.测量装置因素

4.1 辅助设备造成的误差

测量标准器都附有很多的辅助设备，它们同样影响着电学计量工作。如果这些设备的性能不符合相应的标准和要求，也会产生一些不易觉察的系统误差。

4.2 线路节点和导线电阻的影响

进行电学计量时，测量线路都要通过导线和多个连接点进行连接，这些导线和连接点自身都会带有一些电阻，虽然通常都很小，在大部分的计量情况下都不需要考虑进去，不过在某些计量精度要求比较高的情况下就会产生不可忽视的误差。

4.3 开关变差的影响

转换开关是电学计量仪器上最常用到的部件之一，在使用过程中，它的接触电阻会发生非常细微的变化，通常称之为开关变差。一般来说，开关变差所造成的电阻变化极小，对计量的影响可以忽略不计，不过有时候变差比较大时，所产生的误差就不能忽略了，因为它可能会对检定结果产生明显的影响[3]。

4.4 调节细度不够导致的误差

当采用补偿法来测量时，如果调节细度达不到相关要求，那么当线路已经十分接近最后的平衡时，如果再改变其中的任何一个最小步进值就会超过灵敏度阈，这时候往往会导致指示器偏转过大，进而无法达到最后的平衡，操作人员最终只能通过估读来获得最后的结果，这样很容易出现误差。

5.元件因素

5.1 元件稳定性不足导致的误差

电路元件在长期的使用过程中不可避免地会出现老化的现象，而且这种变化进程通常无法觉察到，可能刚开始阶段对检定并无影响，但随着时间的推移慢慢积累，就可能影响到检定的结果。

5.2 元件的线性与非线性差异引起的误差

元件通常可分为线性与非线性两种，这两种元件需要进行不同的处理。当不同的电流和电压通过时，非线性元件的测量结果就会出现很大的波动，进而出现计量误差。

6.环境因素

6.1 磁场因素

在交流电路里，不同元件之间会出现比较强烈的磁场，在周围的导线以及线圈里产生感应电动势，当影响的程度足够大的时候就会形成误差。

6.2 湿度因素

当绝缘体受潮后，它的电阻就会随之减小，它的这一特性在计量时应予以特别注意，防止因这一特性出现误差而影响检定的结果。

6.3 振动因素

当出现振动时，各元器件的参数也会随之出现变化，像电容极板就会因振动的影响导致自身间隙变大，使容量出现变化，最终产生误差。

上面所分析的误差因素只是电学计量系统误差的一部分，另外还有如电源因素、电路特性因素及被测对象因素等都会或多或少地产生误差。从这方面也可以看出，电学计量的要求是非常高的，必须严格按相关标准和流程进行，同时还要尽量排除各种相关因素的干扰，才能真正做好计量的工作。

【参考文献】

[1]李继凡等.精密电气测量[M] . 北京：中国计量出版社，1 98 6：223-226.

统计学的标准差范文第13篇

一、数据的初步处理

通常采用列表法和图示法对数据进行科学分组、归纳、概括，使之系统化。

（一）列表法

表格形式中，以频数分布表最重要和常见。下面以某班级化学考试成绩为例，说明如何编制。

1．求全距R：在本例中

R=最高分-最低分=95-50=45

2．决定组数和组距：组数过多会失去分组化繁为简的意义，太少则组距太大，造成计算结果的失真，一般以10～20组为宜。本例分为10组。

组距指每一组的间距。一般是将数据等距分组并且进为整数。

3．决定组限：组限即每组的起止范围。最高组要包括最大值数据，最低组要包括最小值数据。本例中的组限为50～54、55～59、…，也可省去上限，记为50～、55～、…。

4．求组中值：组中值指各组的中点值，也称组中点，用Xc表示：

本例中第一组的组中值为：

5．登记频数：将每个数据按所属的组一个一个登记于表中，登记时可用划“”法或记“正”法。登记完毕后，统计各组登记的数目，即得频数（f）。至此，一个简单的频数分布表制作完毕，由此表可大致了解数据分布的情况、整体水平及差异程度。

（二）图示法

处理教学测量数据常用的图形是直方图和多边图。

1．直方图

由频数分布表可以制作频数直方图：以分数为横轴，频数为纵轴，建立直角坐标系。在横轴上标出各组分数的上、下限，以组距为宽、各组频数为高作出各矩形，即得频数直方图。左下图就是根据表21的资料所作的直方图。

2．多边图

频数多边图的画法与直方图相似，不同的只是它是以每组的组中值代表该组数据作横坐标，再在纵坐标上找出相应的频数相交成一点，然后把每个点用直线联接就成多边图。右上图为据表21制作的频数直方图。

3．频数分布曲线

如果所考察的分数增多，组距减小，多边图的折线会变为光滑均匀的曲线，这种曲线称为频数分布曲线。下面是三种常见和有用的分布曲线。

二、数据特征量的计算

上述图表只是一种粗略、直观的概括，为了进一步分析研究，要计算出反映数据特征的量数，如集中量、差异量、相关量等。

（一）集中量

集中量中以算术平均数用途最广。它的计算式为：

其中，f1——第i组数据的频数，

Xi——第i组组中值，

N——总频数（N=Σfi）

当原始数据较多或分组较多时，可以通过有统计功能的计算器或计算机帮助运算。具体的使用方法参见各计算器的使用说明。

（二）差异量

研究数据分布不仅要考察它的集中趋势，还要考察分数的离散程度、变化的大小，即差异量。教育统计中常用的差异量有全距、方差和标准差等。

全距计算方便，但它受两端数据的影响太大，没考虑中间数值差异，感应不灵敏。

方差和标准差是最重要、最常用的两个差异量数。

方差是离差平方和的算术平均数，用σ2（或S2）表示：

N——总频数

方差考虑了所有数据的变异性，在理论研究上有重要价值，也方便了代数运算。但方差与原数据单位不一致，因此将方差开平方后得到的标准差σ（或S）在实际中使用更多些。

Xc──组中值，

f──各组频数，

标准差可以用有统计功能的计算器或计算机方便地算得。

若两组数据测量单位不同（如两门不同学科、平均数相差较大的测量），不能直接利用标准差的大小来比较差异程度，而应用使用相对差异量——差异系数。

差异系数是标准差与算术平均数的百分比，这是一个没有单位的相对量，用Cv表示：

利用差异系数可以比较不同学科或不同班级考试的差异程度，还能用于判断学习分化程度：若Cv≤9％，可以认为没有分化现象，若Cv≥18％，则分化现象显著。

（三）相关量

对教育现象中两个变量间相互关系的研究，称为相关研究，两个变量之间相互关系密切程度的量称为相关量。相关研究对分析测验的质量以及进行教改实验研究，具有重要作用。

相关量常用相关系数表示，取值范围为-1≤r≤1。正号表示正相关，说明两个变量变化方向一致（同增同减）；负号表示负相关，说明两个变量变化方向相反（此增彼减）。r的绝对值大小表示相关的密切程度，r越大，说明两个变量关系越密切，r越小，相关程度越低，r等于零称零相关，说明两个变量变化无关。

相关系数的计算方法很多，需要根据不同类型的数据和条件选用。下面介绍在教学测量和评价中常用的两种相关系数计算法。

1．积差相关系数：

Y数列的离差，N为两个变量的数对个数，σx为X数列的标准差，σy为Y数列的标准差。

如果公式中的离差和标准差用原始数据代入并化简，数据较多时，计算积差相关系数是一件很复杂的事。对于只有单变元统计功能的计算器，可用计算器分别求得。

对于有线性回归功能的计算器，求积差相关系数简单又准确。详细见各计算器说明书。

使用积差相关系数时，有几点说明：

①使用条件：两个变量都是正态变化的连续变量，两个变量的关系是线性的，数据要成对，一般大于30对。

②相关系数不是等单位度量，不能进行简单比较。例如，r1=0.6， r2=0.3， r3=0.20， r4=0.50，不能认为r1=2r2， r1-r2＝r4-r3。

③相关仅仅是两列变量联系的密切程度和方向，并无因果关系。

④评判两列数据相关程度的强弱，首先要从性质上具体分析事物间是否真的存在相关，因为毫无联系的两列变量代入公式，也可能会求出一个有显著意义的相关系数来。其次相关程度还与取样大小有关，对所求的相关系数，应根据具体情况选用适当的统计量进行显著性检验。积差相关系数可利用积差相关系数显著性临界值表（附表1）进行判断。

例如：算得化学平时成绩和毕业考试成绩的相关系数r=0.780，自由度=N-2=10-2=8查表知显著性水平为α=0．01时，r(8)0.01=0.765＜0.780这说明有99％以上的把握说化学的平时成绩和毕业考成绩有显著关系。

2．等级相关系数：

教学中，有些变量只能分出等级，如思想品德优劣、课堂教学质量等，这些变量是不连续的，应采用等级相关的方法处理。此方法又称等级差数法，适用于两变量都为等级次序和可变为等级次序的资料，或当两列连续变量N＜30时，也要按大小顺序排列编号、变换为等级变量。

rR——等级相关系数，

D——两数列成对等级的差数，

N——总对数。

rR的显著性可通过查等级相关系数临界值显著水准表（附表2）进行判断。

下面以表3资料为例，说明等级相关的计算方法。

①求变量X、Y的等级Rx、Ry：将数列由大到小排号，最大为1，依次递增。遇相同数目，取几个值所占等级的平均数。

②求出对应的等级差数D和D2，并将D2加和。

③代入公式：

④查附表2，在双尾检验中，当N=10，显著性水平为α=0.1时，rR(10)0.05=0.648＜0.744，故有90％以上的把握判断化学毕业考成绩与平时成绩相关。

等级相关不涉及变量的分布状态及成对数目大小，它的适用范围更大，不过精确度比积差相关系数差。

三、测量数据的转换

由于每次测验的参照点不同，原始分数没有绝对零点，不同测验的每“1”分互不相等，因此不同次考试、不同学科的考试成绩不能直接用原始分数比较，也不具加和性。为了使原始分数具有意义并有可比性，必须将它们转换成具有一定参照点和单位量表的分数。通常转换成下面几种标准分：

（一）Z标准分

Z标准分是一种以平均数为参照点、以标准差为单位的导出分数：

Xi——原始分数；

σ——总体标准差

Z标准分具有下列性质：

（1）一组数据中，各Z标准分的平均数为零，标准差（σz）等于1。因此它有固定零点位置，有相等单位，可进行四则运算。

（2）Z标准分的分布形状同原始分数。为了两组数据的Z分数可进行比较，原始分数最好是正态分布或近似于正态分布。若是非正态分布，可将原始分数转换成百分等级，然后从正态曲线面积表找到百分等级对应的Z分数，这个Z分数叫做正态化的Z分数，这样就能较准确地比较。

（3）若原始分数的分布是正态分布或近似正态分布，标准差的取值范围大约从-3个标准差到+3个标准差。

Z标准分在教学测量中有广泛的应用：

（1）确定考生在团体中的相对地位：

正态分布的原始分数一经转换成Z分数，就可以通过查正态分布表得知此原始分数的百分等级，知道在它之下的分数个数占全体分数个数的百分之几，确定考生的相对地位。

例：某学生化学分数Z=1，也就是说他的分数比平均分多一个标准差，查表可知正态曲线下的面积P=0.3413（如下图阴影部分）。这样Z＜1的曲线面积为P＋P＇=0.5＋0.3413=0.8413

占全部曲线下面积的84.13％，也就是说比该学生分数低的学生占84.13％，比他高的占15.87％。若考生总数为100，则该学生在其中处于第16名。

（2）比较学生考试成绩的优劣：

Z分数由于有可比性和加和性，可以用于比较同一考生同一学科不同次考试的成绩、同一考生不同学科的成绩，或不同学生多学科的总成绩。

例1：一个学生期中、期末化学成绩的比较。

从原始分数看，考生期末成绩低于期中考试，似乎退步准分Z看，期中时他处于全班平均分之下，而期末却在其上进步。

例2：两名学生高考时三门学科总分的比较。

从原始总分看，两名学生学习水平无差别，但若以标准总分看，乙的成绩比甲好。

（3）在管理学生学习质量中的应用。

根据标准分作出学习质量的Z管理图，可真实反映学生的学习进步情况。

平处于全班平均分之上，折线总趋势是左下右上，说明高一阶段该生化学成绩在进步。

（二） T标准分

由于Z分数常出现小数、负数，不仅带来运算上的麻烦，也不易为人们所接受。教育统计中又常将Z分数转换成T分数：

T=10Z＋50

这种T分数的平均分为50。

国外标准化学考试中还常采用C分数，它以平均分为500分，标准差为100，其通式为：

C=100Z＋500

（四）总体平均数的区间估计

在数理统计中，一般把研究对象的全体称为总体，其中每一研究对象称为个体，从总体中随机抽取的一部分个体称为样本。

S；总体的各种特征量叫做总体参数，通常用希腊字母表示，如μ、σ。

根据样本统计量的值去推断总体参数的值称为总体参数估计。为了使统计推断正确可靠，样本应该有较好的代表性。为此，要求抽样方法合理、样本容量尽可能大些。通常把样本容量≥30的称为大样本（≥50更具代表性），＜30的称为小样本，它们往往采用不同的推断方法。

当样本容量一定时，从总体中随机抽取样本有多种可能，存在抽样误差，各可能样本的某一统计量的分布称为抽样分布。各统计量抽样分布的标准差常称为该统计量的标准误，用SE并下标该统计量的符号来表示（例如用于总体参数值，样本的代表性好，由此作出的总体参数估计比较可靠。

抽样分布及其规律是统计推断的基础。

对总体参数的估计一般采取确定总体参数有多大可能性（置信度P）出现在某一区间（置信区间内的方式。置信度P=1-α，α为风险度，又称显著性水平，通常取α=0.05或α=0.01）。置信区间以对应的样本统计量为中心，上、下限对称地距此中心距离为样本统计量标准误的若干倍。

对于大样本，总体平均数μ按下式估计

对于小样本，总体平均数μ按下式估计

例：从1990年某省高考化学试卷中随机抽取400份的平均成绩是75.5分，标准差是10分，试估计全省高考化学平均成绩。

即全省化学均分有95％可能在74.5与76.5之间。

即有99％把握确定全省化学均分在74.2与76.8之间。由此例可见，提高可

靠性要以降低精度（扩大置信区间）为代价。

五、统计假设检验

利用样本信息，根据概率理论对其总体参数的假设作出拒绝或保留的决断，称为假设检验。

假设检验时要作两个相互对立的假设，即零假设（或称虚无假设）和备择假设（或称择一假设）。所谓零假设就是假设当前样本所属总体与原设总体无区别，用H0表示，记如μ＝μ0。备择假设则假设样本所属总体与原设总体不同，用H1表示，记如μ≠μ0。

假设检验是在假定零假设真实的前提下，考察样本统计量的值在以假设总体参数值为中心的抽样分布上出现的概率，如果出现的概率很大，则接受零假设、拒绝备择假设；如出现的概率很小，由于小概率事件很难发生，则拒绝零假设而接受备择假设。

通常把概率α≤0.05（或0.01）的事件看成小概率事件，这个概率标准也称为显著性水平。显著性水平越高（α值越小），越不容易拒绝零假设，推断的可靠性越大，反之亦然。

拒绝性概率分置于理论抽样分布的两侧时称为两侧检验。拒绝性概率置于一侧（右侧或左侧）时称为单侧检验（如下图所示）。运用何种检验形式须视具体问题而定。

通常假设检验按以下四步进行：

①提出假设；

②选择适当的检验统计量并加以计算；

③确定检验形式，规定显著性水平，并确定临界值；

④将算得的检验统计量与临界值比较，作出拒绝或接受检验假设。

例：某校高一年级进行化学教改实验，实验班共50人，学年末参加统一考试平均得分为79.5分。全年级平均分数为75分，标准差为10.3分。问实验班的平均分与全年级的平均分有无显著差异？

①提出假设：

H0∶μ=75；H1∶μ≠75

②选择检验统计量：这是一个大样本平均数假设检验问题，选用Z统计量：

③规定显著性水平 并确定临界值：

由于没有资料能够说明该班学生的考试成绩必然高于年级平均分，故采用双侧检验。

如果取显著性水平α=0.01，正态分布两尾面积各为0.005，查正态曲线

④统计决断：

假设而接受备择假设。我们可以在99％的可靠性上作出实验班的平均分与全年级平均分有显著差异的结论。增大样本容量可以减少拒绝真实假设和接受错误假设两类错误的发生。

六、平均数差异的显著性检验

比较两个班、两个学校或不同地区的某些指标是否有差异时，研究的是来自不同总体的两个样本的信息，希望通过这两个样本的数据来比较它们所代表总体间的关系。由于平均数是一组数据的代表量，因此经常通过样本平均数的差异分析它们各自所代表的总体间的差异，这种方法称为双样本平均数差异的假设检验。下面介绍独立大样本和相关样本的平均数差异的显著性检验。

（一）独立大样本平均数差异的显著性检验：

随机抽取的不存在相关的两个样本称独立样本。独立大样本的显著性检验，采用Z检验：

n——样本容量，σ——总体方差。

问两个班的成绩有无显著差异？

①提出假设：

H0∶μ1=μ2；H1∶μ1≠μ2

②因为是独立的大样本，选Z检验：

③没有资料说明两个班谁优谁劣，故采用双侧检验：

④统计决断：

实验班与对比班的平均分有显著差异。

（二）相关样本平均数差异的显著性检验

对同一样本（如班级、学校）的两次测验作出评价时，由于在同一群体中进行，两次测验的分数是相关的。相关样本平均数差异检验的统计量t为：

D为两组样本差，Di=Xi-Yi

t服从自由度df为n-1的t分布。

例：随机抽取10名学生作被试，并编制好两套测试“复份”，实验前随机抽取一份对学生进行测验，实验后用另一份测试。

问实验是否取得显著效果？

①提出假设：

H0∶μx=μy； H1：μx≠μy

②同一群体两次测试，总体正态，采用t检验。

③没有资料说明实验一定有效，采用双侧检验。取a=0.01，df=n-1=9，查表，临界值t（9）0.005＝3.25

统计学的标准差范文第14篇

关键词：精度概念；测绘误差；精度计算；逻辑

1. 精度概念问题

在测量仪器学科，精度乃精确度的概念，精确度乃精密度加之准确度。所谓精密度即多个测量结果的离散程度，反映测量结果对被测物理量的分辨灵敏程度，是由测量误差的分布区间的大小来评价，其主要来源于随机误差；所谓准确度是指多个测量结果的整体性偏差程度，其主要来源于系统误差，其表述方式就是系统误差或示值有效位。

基于精度包含精密度和准确度双重概念的相对笼统属性，精度是一个定性的概念，难以定量。譬如精度好精度差等。而定量也只能分别按精密度和准确度人为设限定量到分等级的程度，譬如精度甲级、乙级、丙级，S1级、S2级、S3级，J07级、J1级、J2级、J6级等等。也有按结果值的有效位进行精度等级分级的，譬如数字电压表（DVM）的3位半、4位半，A/D转换器的8bit、12bit、14bit等等。

但在测绘学科中，精度其实就是单纯的精密度的概念，是测量结果对其数学期望的离散程度的描述，不涉及真值，不包含准确度的概念，其表述方式就是标准差。

就是说，测绘学科中的精度实际只是测量成果的随机误差甚至是部分随机误差特性的描述，更多的是对测量过程的部分精度损失量的估计，根本不是对测量成果的绝对误差范围的描述！

正因为测绘学科的精度仅仅是测量结果对其数学期望的离散程度的描述，不涉及真值，所以才有了甚至降低测量分辨位反而可能实现更高精度的逻辑。譬如：将水准测量的原始读数将毫米位四舍五入到厘米位反而精度更“高”，将经纬仪的角度读数的秒位四舍五入到分位反而精度可能更“高”。生产中有人用S3级水准仪做沉降变形观测犯的就是这个错误。

显然，如果精度的评价过程涉及真值就不会出现这样的逻辑悖论。这也是多少年来计量学和测绘学之间的矛盾焦点。正因为精度概念存在着不统一，测绘成果经常给非测绘专业人士造成巨大误解。

2. 综合精度问题

这里姑且撇开其他学科不谈，姑且精度概念就是精密度概念。那么现在又有一个问题名词叫综合精度，由于没有找到这一概念的明确定义，只是在诸多仪器精度表述中经常见到。

然而从这些综合精度指标的测试方法却看到的是：经纬仪的所谓综合精度实际是把经纬仪的轴系误差、度盘偏心误差等进行了抵偿剔除处理、对调焦误差等进行了回避处理后的残剩误差的离散程度的评价，其实质实主要是对度盘刻画不均匀误差的一个单项误差的评价。而测距仪的综合精度是对加乘常数误差、周期误差等进行了改正剔除处理后的残剩误差的离散程度的评价。这样把主要的误差进行剥离处理后的残剩部分或单项指标冠之以“综合”指标的做法再次为精度一词加重了混乱。

3. 精度计算方法问题

不仅精度的计算方法是要将许多主要误差进行剥离剔除处理、具有一定的自我安慰色彩，而且在精度的起算数据的使用上也存在不加区别的问题。譬如：水准测量的一公里往返标准差这一精度概念被用做水准测量精度的评价依据其实就存在偷换概念色彩。

请注意，一公里往返标准差的直接原始起算数据是环路高程闭合差，而不是每一测量点的真误差！所以一公里往返标准差反映的是水准测量环路闭合差的离散特性，而不是水准测量点位误差的离散特性！拿环路闭合差的离散特性和测量点位误差进行直接关联或间接关联的做法实质就是把测量点位误差和环路闭合差进行了概念偷换。

最能证明水准测量点位误差的离散度和水准测量闭合差的离散度没有数学上的直接或间接关联的证据就是：（1）水准标尺的尺长比例改正误差（系统误差）对水准测量点位误差的影响是直接的，而它对水准环路闭合差却不产生影响；（2）测量参考起点本身的误差对每一个测量点的精度的影响是直接的，但它却也不影响环路闭合差；（3）仪器的分辨误差对每一测量点的精度的影响是直接的，但分辨误差足够大时却能导致闭合差为零。 正因为有了这样的以闭合差来评价精度，才有了甚至测量结果的精度反而比测量参考起点的“精度”更高的反逻辑，才有了“精度”越测越高的反逻辑，才有了经过绵延数千公里测量路径而“精度”丝毫不受损失。

这都是用于平差的统计起算原始数据不涉及真误差、不涉及真值的后果，是把测量过程的部分精度损失量偷换成测量结果的精度的后果。

实际上，测量成果的精度=测量参考源的精度+测量过程的精度损失量=测量参考源的精度+测量过程的系统误差损失量+测量过程的随机误差损失量。

所以一般的原理是：测量过程实际都是精度的损失过程，被测量的结果的精度不可能超过测量参考源的精度。

测量平差可以对测量结果的误差进行估计评价当然是无庸置疑的，但平差结果却因统计起算的原始数据不同而有着决然不同的含义：如果以真误差直接统计，则当然可以获得结果的总体误差评价；如果虽然以真误差为统计起算数据但却将系统误差模型纳入进行最小二乘平差，则获得的平差值将是测量结果的随机误差部分的评价；如果不以测量结果的真误差为统计起算数据，而以测量结果的组合值的真误差（譬如闭合差）为统计起算数据，则平差结果将可能只是测量过程的随机误差损失量的一部分的评价，因为测量结果的组合过程可能将结果中包含的许多误差进行了抵偿，这些被抵偿掉的误差当然不可能再在平差结果中反映出来。

许多测量仪器的工作过程，实际上也是进行了大量的多余观测，利用平差技术给出最佳估值的过程。

再回头看水准测量。

水准测量的一公里往返标准差是以环路闭合差为统计起算的原始数据，闭合差是观测值经过加减运算后的组合值，至少不涉及水准尺的尺长比例改正误差，至少不包含起算参考点的本身的误差，所以其实质只是测量过程的随机误差的损失量的一种描述，仅仅是测量成果的精度的一个组成部分而已。这种精度损失量用来肯定测量成果是必要而不充分的，但用来否定测量成果则是充分的。

而水准测量的从海平面验潮站的水准原点向内陆延伸的测量过程实质是一个精度不断损失的过程，是误差的不断积累的过程，是精度的不断降低过程。这种存在误差递延累积的测量方法恰恰是触犯了测量的大忌（当然在GPS测量原理未诞生之前的确找不到更好的大跨度范围的高程测量方法，而且GPS高程和水准高程属于不同体系），其绵延几千公里以后的误差积累值将是巨大的，许多水准点资料中提交的其实是计算保留位而不是精度的有效位，这是应该向非测绘学科明示的。

4 综述

此文诣在指出问题，希望引起大家的重视，从而理顺逻辑体系，促进跨学科交流，避免滥用成果的现象，避免形而上学的简单化思维。

统计学的标准差范文第15篇

关键词：重点分班教学；高中生；显著性变化；因材施教；异质需要；成就动机

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1002-2589（2013）02-0227-02

一、调查目的

我国各地的中学一直存在着重点分班的现象，基本形式都是按照学生的学业成绩对学生进行分班教学，虽然数学成绩的变化不足以完全代表学生学业水平的变化，但管中窥豹，可见一斑。笔者通过对高中一年级学生重点分班前后的数学成绩进行差异对比，分析重点分班教学对学生数学学业的影响。

二、调查对象与方法

调查样本为宝安第一外国语学校高一年级分入重点班的学生，按照分班前数学成绩将其分四组进行抽样，第一组50～69抽15名；第二组70～89抽25名；第三组90～109抽20名；第四组110～129抽20名。

三、调查统计与结果

本调查运用SPSS11.5统计软件进行统计分析[1]，第一组的结果见表一与表二，第一组分班前的数学成绩在50～70分之间，表一得出这一组分班前的平均成绩为62.53分，标准差为3.314，分入重点班两个月后的数学测试中，这一组的平均成绩为86分，最低分为72分，最高分为108分，分班后的平均分和分班前的平均分相差23.47分，分班前有75%的学生数学成绩未达到66分以上，分班后只有25%的学生未达到78分以上，每个学生的成绩都不同程度地有所上升，标准差为11.212，学生分班前后成绩的差异明显增大。

表二给出的是第一组配对变量差值的T检验结果，均值之差为23.47.，差值的标准差为12.575，差值的均值标准误为3.247，差值的95%置信区间下上限为16.50和30.43。t统计量的值为7.228，其相伴概率为p1=0.000

囿于篇幅，第二组到第四组的SPSS统计分析表略去。统计表明，第二组分班前的数学成绩在70～90分之间，这一组分班前平均成绩为80.8分，标准差为6.232，分入重点班后后平均成绩为97.92，最低分为75分，最高分为127分，分班后的平均分和分班前的平均分相差17.12分，分班前有75%的学生数学成绩未达到86分以上，分班后只有25%的学生未达到84分以上，每个学生的成绩都不同程度地有所上升，标准差为15.397。第二组的均值之差为17.120，差值的标准差为13.899，差值的均值标准误为2.780，差值的95%置信区间下上限为11.38和22.86。统计量的值为6.159，其相伴概率为H0=μ1=μ2。因此p2=0.000

第三组分班前的数学成绩在90～110分之间，这一组分班前的平均成绩为98.60分，标准差为4.978，分班后的平均成绩为104.65，最低分为80分，最高分为121分，分班后的平均分和分班前的平均分相差6.05分，分班前有75%的学生数学成绩未达到102分以上，分班后只有25%的学生未达到100.25分以上，除两个学生外，其他学生都不同程度地有所上升，标准差为9.593。第二组均值之差为6.05，差值的标准差为11.427，差值的均值标准误为2.555，差值的95%置信区间下上限为0.70和11.40。t统计量的值为2.368，其相伴概率为p3=0.029

第四组分班前的数学成绩在110～130分之间，这一组分班前的平均成绩为117.60分，标准差为5.915，分班后平均成绩为101.9，最低分为80分，最高分为128，分班后的平均分和分班前的平均分相差-15.70分，分班前只有25%的学生数学成绩未达到113.00分以上，分班后有75%的学生未达到111.75以上，每个学生的成绩都不同程度地有所下降，标准差为13.795。该组的均值之差为-15.70，差值标准差为13.600，差值均值标准误为3.041，差值95%置信区间下上限为-22.06和-9.34。t统计量值为-5.163，其相伴概率p4=0.000

四、调查分析与思考

由前三组的统计表可以看出p1

由于条件限制，所选样本尚缺乏代表性，但是调查所反映的问题需要引起我们的重视，重点分班前数学成绩相对中等或较低的学生在分入重点班后的两个月后成绩普遍上升且变化显著，而且成绩越低的提高幅度越大。但相对较高的学生在进入重点班的两个月后，数学成绩普遍显著下降，反映出了重点分班对数学学习造成的负面影响。调查结果告诉我们，看待重点分班对学生数学学习的影响应持审慎态度。通过对学生、教师及家长的访谈发现，重点分班制度下的数学教学在一定意义上实现了“因材分班”的效果，但是否实现了因材施教的目的还有待商榷。

而笔者看来，导致上述现象的原因在于重点班后数学教学过程中，过分追求学生的同质发展而忽略了学生的异质需要，考虑到学生个体发展中的差异性，但并没有完全尊重和因应每个学生在数学学习中的差异。

从教师的角度看，在因材施教过程中既要注重因人而教，也要注意因机而教。孔子这一教学原则中，“最典型的表现就是‘当其愤悱而启发’的思想，强调施教必须善于抓住学生积极求学的心理机制”[2]。重点分班下的数学教学更应抓住学生分入重点班的成就感所带来的积极学习的心理动机及数学学习特点，即“学生的数学学习只能是一个‘再发现’的过程”[3]。而学生不可能独立的完成“再发现”的过程，必须通过教师“当其愤悱”时启发引导，使学生在主动的状态下完成“再发现”的过程，进而建立学习数学的兴趣和更高的成就动机。让不同层次的学生各尽其才，“使每个学生都能扬长避短，获得最佳发展”[4]。

从学生的角度看，进入重点班对不同的学生的心理影响有所不同，其个人成就动机也有所差异，“个人的成就动机可以分成两部分：其一是力求成功的意向；其二是避免失败的意向，也就是说，成就行为体现了趋向成功和避免失败两种倾向的冲突”[5]。对于调查的前三组学生，由于分入重点班前相对成绩较低，所以进入重点班后追求成功的动机高于避免失败的动机，他们会积极努力地去追求衡量数学水平的更高分数。根据阿特金森的“动机的期望―价值”理论，如果一个学生获取成功的成就动机大于避免失败的动机，他们为了要探索一个数学问题，在遇到一定量的失败后反而会提高他们去解决这一问题的愿望，所以这些学生一直能保持一种追求成功积极心态去学习数学。而对于调查的第一组学生，由于分入重点班前相对成绩较高，所以进入重点班后避免失败的动机强于追求成功的动机，相对于他们已有的成功，他们更害怕失败，遇到同样的失败后会产生更强烈的消极情绪，如羞愧、消沉和逃避等。

教师在关注学生成绩的同时，更要了解不同学生不同的数学学习成就动机，并帮助其合理地进行成功和失败的内外归因，以唤起学生学习数学的兴趣和信心。我们在关注重点分班教学合理性的同时，也应该关注怎样的数学教学实施适合重点班和非重点班学生数学学习的异质需要，同时也要给予教育制度的改革以循序渐进地开展的时间、耐心和信心。

参考文献：

[1]潘玉进.教育与心理统计――SPSS应用[M].杭州：浙江大学出版社，2006：52-63.

[2]王炳照，阎国华.中国教育思想通史[M].长沙：湖南教育出版社，1994：118.

[3]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006：45.