函数教学论文范文

函数教学论文范文第1篇

如何能够通过一种教学方式使得学生在教学过程中参与度提高，对教学内容的兴趣也提高并且能够时常激发学生的好奇心和新鲜感以及他们的求知欲，同时又能达到多题重组以及一题多用的目的。而这种通过对数学中的定理和命题以不同层次、不同背景、不同角度以及不同情形来揭露问题本质，让学生看到不同知识点之间的内在联系的教学方式，我们称之为变式教学。下面是通过应用二次函数的顶点坐标求最值的例子来说明上面的理论：某水果批发商以每箱40元批发一批苹果，若以50元每箱的价格卖出去，一天平均可以卖出90箱，如果每箱的卖价提高1块钱，则平均每天就会少卖3箱。假设卖价每箱为x元，批发商每天的销售利润为y元则：

（1)销售利润y=__；

（2）销售单价是__元时，该批发商获利最大，此时最大利润是__。变式一:如果以“每箱苹果价格每减少1块钱，平均每天就会多卖出3箱”来代替“每箱苹果的价格每增加1块钱，平均一天就会少卖出3箱”，那么又会得出什么样的结果？变式二:如果用“每箱苹果价格每增加10块钱，每天就是少卖3箱苹果”来替换“每箱苹果每增加1块钱，每天就会少卖3箱”，这样会得出什么样的结果？通过这种针对同一题目做条件上的变化的教学方式，不仅使学生更好地理解和体会出数学建模思想，而且使学生对这一类型的问题的理解得到加深。

二、简约式教学法的运用

为了避免学生不知道为什么做题，只知道一味的去做题，陷入题海战的现象发生，教师可以根据人教版线性函数教学模块的安排来引导学生，参照“实例引入--概念推出--图像画法--性质归纳--综合应用”的顺序，以引导学生进行函数概念分析、性质的归纳和应用，以及画法等环节作为教学的重点，提高学生的做题效率，同时使学生更容易的接受和理解初中线性函数问题。例如，在讲述一次函数章节时，可以先通过实际现象进行问题的引出，如可以先讲述气温与海拔的关系进而引出一次函数，并通过多个生活常见实例进行一次函数的定义。得到y=kx+b（（k≠0）k,b为常数)的一次函数公式后，再逐步深入讲解。当b=0时，则得到y=kx（k≠0）称之为正比例函数，当b≠0时，通过具体的函数实例与图像进行进一步探讨。如y=2x与y=2x+3这样的一次函数，通过绘画图像并总结与相应的特点与性质，只有清楚了相关函数的特点，就能在以后的函数中建立相应的函数解题模型与方法。

三、函数图像解读法的应用

与抽象的图像数据相比，图像在表现数学知识方面显得更加的直观和清晰。因此，为了使学生更好的理解掌握函数知识，在数学教学过程中，教师应该更多的应用函数图像，一方面这种方式可以使变量的表达更加的直观，能够清晰明了的表达出变量之间的相互约束、相互限制的关系；另一方面，这种直观的函数图像能够使思维理解能力稍有不足的学生可以更牢固的记忆函数变量之间的关系，使学生更好地掌握函数知识。这种图像教学方式要求老师在课堂教学中能够时常的带领学生挑选代表性的函数，并且带领学生进行函数图像的绘制。绘图就会耽误一定的上课时间，但是这样做不仅能够让学生更好的理解函数，同时还能够提高学生的动手能力。初中大多数的函数老师总结出这样的结论，一般不会绘制函数图像的学生都很难把函数学好，关键原因是他们不理解函数变量之间的关系，没有正确理解函数的概念。所以，教师如何利用函数图象教学变得十分的重要，如何通过教学生绘制函数效果图来提高学生的学习质量和函数教学对初中函数教学来说显得尤为关键。

四、结语

函数教学论文范文第2篇

关键词:指数函数;教学设计;教学案例;多媒体;有效教学

指数函数是高中数学的重点内容之一，从教学要求看，一是理解指数函数的定义;二是掌握指数函数的图像与性质。下面是笔者在公开教学中对指数函数教学设计的三处改进。

案例一:新课引入的改进

(一)原始设计

1.复习旧知:

②函数y=x的定义域是

2.引入新课:师问:函数y=()与函数y=x，从形式上看有什么不同?生答:从形式上看，前者指数是自变量，后者底数是自变量。(引入课题)

(二)改进设计

1.创设情境:有人说，将一张白纸对折50次以后，其厚度超过地球到月球的距离，你认为可能吗?设白纸每张厚度为0.01mm，已知地球到月球的距离约为380000千米。

对折的层数y与对折次数x的函数关系式是什么?设纸的原面积为1，对折后纸的面积z与对折次数x又有什么关系?(y=2x，z=()x)

2.提出问题:师问:能发现y=2x，z=()x的共同点吗?

学生思考片刻，教师提示:从形式上，有什么共同点?并用红粉笔标出指数x。

生答:指数x是自变量，底数是大于0且不等于1的常数。(引入课题)

(三)教学反思

凯洛夫的“五环节”教学理论:“复习旧课—导入新课—讲授新课—巩固—作业”目前还深深地影响着我们的教学。但如果总是这样一成不变，就显得呆板与程式化。我们现在上课总喜欢说:“今天我们学习……”。教师不说，学生不问，教师怎么讲，学生就怎么学。我们知道，数学来源于生活，又应用于实践。在原始设计中，先复习与新授知识相关的内容，然后再从实际引入新课，与教材编排相一致，这样就数学讲数学，显得枯燥无味，很难调动学生的学习兴趣。为此，从学生感兴趣的一个生活实例出发，引起学生注意与争议，教师再创设实际问题情境，就激发了学生的学习兴趣，牢牢地吸引了学生的注意力，增强了学生的求知欲望，强化了学生内在的学习需求，巧妙地导入了新课。

案例二:多媒体使用的改进

(一)原始设计

1.电脑作图:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。

2.观察猜想:教师引导学生观察y=2x、y=()x的图像，猜想y=3x的图像形状。

3.电脑验证:教师用几何画板做出y=3x的图像，验证猜想。

4.归纳猜想:由特殊到一般，给出指数函数的图像分为01两类，并用多媒体演示它们的图像特征和性质。

(二)改进设计

1.学生作图:在教师的指导下学生分组后用几何画板作y=2x、y=()x的图像。然后，让学生在电脑上作y=3x，y=5xy=10x，y=0.2x，y=0.7x等函数的图像，并对图像形状的变化加以观察与讨论。

2.猜想形状:让学生猜想函数y=8x，y=0.3x的图像形状，师生讨论，并列出有关观察结论。

3.分组探究1:一般地指数函数的图像大致有几类(几种走势)?

4.分组探究2:分别满足什么条件的指数函数图像大致是图1、图2?

5.电脑验证:用几何画板作y=ax(a>0且a≠1)图像，任意改变a的值，展示底变化对图像的影响。

(三)教学反思

原始设计，多媒体演示放在猜想之后，仅仅起了一个验证的作用，体现不了计算机辅助教学的目的，有点画蛇添足，成了一种花架子。

改进之后，按照“动手操作—创设情境—观察猜想—验证证明”的思路设计，首先电脑作图，为学生观察、交流创设情境;然后，引导学生深入细致地观察图像，学生在相互争论、研讨的过程中进行民主交流，倾听他人意见，分享研究成果，猜想出图像分两种情形;最后，再用多媒体验证猜想。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯，激发了学生的求知欲，增强了学习的自信心，张扬了学生的个性，顺利地解决了这一教学难点。

我们在使用计算机辅助教学时，千万不要忘记“辅助”二字，辅助在不用多媒体教学时的难点处，辅助在点子上，而不能为了用多媒体而用多媒体。案例三:指数函数的性质发现过程的改进

(一)原始设计

1.师生作图:教师作y=2x的图像，以作示范。然后学生模仿作y=()x的图像，以巩固作图方法。

2.电脑演示:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。

3.观察特征:教师引导学生观察上述两个图像的特征，并推广到一般情形。

4.归纳性质:根据图像特征，写出它们的性质。

(二)改进设计

在前面学生分组用多媒体做出y=2x，y=()x，y=3x，y=5x，y=10x，y=0.2x，y=0.7x等函数图像的基础上，教师引导学生观察、讨论、归纳得出性质。

1.自主观察:对一般的指数函数，图像有哪些特征?

2.分组讨论:学生分组讨论后，展示讨论的结果。除得到图像的一般特征，更值得一提的是，有的学生还说出了函数y=2x与y=()x的图像关于y轴对称等特征。

3.归纳性质:根据图像特征，写出它们的性质。

4.作示意图:根据指数函数的性质，教师让学生作出y=8x，y=0.6x等函数图像的示意图。

师:观察与猜想是一种感性认识，并不表示结论一定正确，还需要进行理性证明……

(三)教学反思

新课程标准指出:要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象，倡导主动学习、乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力及交流合作的能力。因此，教师要把学习过程中的发现、探究、研究等认知活动突显出来，使学习过程更多地成为学生发现问题、研究问题及解决问题的过程。

上述两种设计都注重让学生从事有意义的数学活动，都涉及了学生的探索活动和经常使用的研究方法，如从特殊到一般，再由一般到特殊，类比、联想、猜想等。

原始设计在实际教学中，活动缺乏内在联系，加上教师的束缚，活动单一，学生得出图像分两类显得较为生硬，接着研究的一般情形又似乎来得“突然”，从特例到一般情形并未起到搭桥引渡的作用，形成了一个认知难点。这样的设计没有真正发挥学生的主体作用，实际上还是教师主导着课堂，牵着学生走，还是在教知识、教教材，是一种主导性教学模式。

改进后，改变了教学方法，教师放弃了全程主导，把学习的主动权交给了学生，由他们自己去观察、去发现，在学生交流、研讨、互动的过程中，学生观察深入，思维活跃，富有创造性。教师则以学生伙伴的角色参与学生的认知学习，在与学生的互动交流中指导学生，并积极地关注、倾听学生的交流。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯，为学生营造了安全的心理环境，学生非常顺利地学习了指数函数的性质，而且学生觉得这些思想方法是非常自然的，可以学到手且以后能用得上，为今后的学习作了必要的铺垫，这是一种典型的指导性教学模式。

学生是学习的主人，自主学习是他们的天然权利，任何硬性灌输和强制训练都是侵犯学生学习的行为。

参考文献:

[1]罗文杰.指数函数的教学设计[J].广东教育，2007，(7):205-207.

函数教学论文范文第3篇

数学史的引入对数学教学的确有一定的促进作用，但是如何引入、引入哪些内容，一直是困扰着老师们的问题，尤其在国内研究此领域的内容比较匮乏，因此在实际教学中有很多老师选择避而不谈或是简略带过．数学史在数学教学中的运用方式通常有3种，一是提供直接的历史信息，二是借鉴历史进行教学，三是开发对数学及其社会文化背景的深刻觉悟［2］．其第二种方式就是发生教学法，通常所说的HPM(数学史与数学教育关系)视角下的数学教学采用的主要就是这种方法［3］．从哲学家、教育家和数学家的论述可以看出，发生教学法是一种借鉴历史、呈现知识自然发生过程、介于严格历史方法和严格演绎方法之间的一种方法［4］．本文基于HPM理论的背景下，以三角函数的概念教学为例，试图找到将数学史与数学课堂完美融合的思路，为今后教师在教学中融入数学史提供参考案例，并将数学史在数学课堂的作用发挥到最大．

2三角函数概念的历史及其重构

三角函数概念的发展前后经历了4000多年，从早期在天文学中应用的三角学知识可以追溯至古巴比伦年代或者更早．古埃及人由于尼罗河不定期的泛滥而遭受打击，因此他们注意观察尼罗河泛滥的规律以及时间．后来人们注意到每逢天狼星于黄昏之后升起的日子尼罗河就会泛滥．于是人们就开始记录天狼星与太阳的位置，人们为了解决实际问题引入了角等概念．但是这并不是严格意义上的三角学，只能算是三角学的前身，是一种对天文观测结果进行推算的方法．三角学最早的创建者是希腊数学家Hipparchus(约公元前180～公元前127)被称为三角学之父．为了定量地解决天体的位置问题，他将球面三角方法引用于此，并且制作了弦表．弦表是在固定的圆内不同圆心角所应的弦长，此时的正弦指的是圆弧所对弦的弦长相当于现在圆心角一半的正弦线的2倍．后来Ptolemy(约公元100～178)在此基础上又丰富了弦表．在Ptolemy的弦表中，弦指的是当圆的半径为60时弦的长度，而不是一个比值．而印度数学家Aryabhata与希腊人的做法不同，他默认曲线和直线可以用同一单位，此时他计算的弦是圆弧所对弦的半弦长，相当于现在所指的正弦．其后Regiomontanus(1436～1476)在他的著作《论各种三角形》中首次对三角学做了完整、独立的阐述，使三角学正式从天文学中独立出来．在书中采用了印度人的正弦，即圆弧的半弦，明确使用了正弦函数这一概念．讨论了一半三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法，给出了球面三角形的正弦定理和关于边的余弦定理．后来哥白尼的学生、印度数学家Rheticus(1514～1576)最先给出角的正弦概念，把原来说弧的正弦改成了说锐角的正弦．三角形就形成了三角关系的基本结构，相应的圆成了从属．他把正弦、余弦、正切等定义成直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，至此三角学真正形成了．总之16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支，值得注意的是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数，而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计算［5］．一直到17世纪，三角仍然是常量数学的主要内容，直到1729年Euler研究插值的方法时用三角级数表示了函数，函数的思想成了三角学的组成部分，变量数学占据了核心地位．随着解析几何和微积分的建立，三角函数的严格解析理论建立了，正弦不再是线段，而是变成了数值，是单位圆上点的纵坐标，而三角级数在实变函数的基础上又形成了另一门重要的数学分支—调和分析．根据上面的历史发展顺序，三角函数概念(以正弦为例)的发展历史大致可以分为正弦是圆弧所对的弦的弦长，正弦是圆弧所对的弦的半弦长，正弦是比值，正弦是单位圆上点的纵坐标［6］．概括的说就是经历了几何的三角学，代数的三角学，解析的三角学．学生在初中学习的锐角三角函数的内容，相当于代数的三角学，是用来解决三角形三边关系的主要工具．而后来当用解析的眼光来看待三角学的时候，三角函数是用来刻画函数性质的工具而不再拘泥于解决三角形边角关系的问题，而任意角的三角函数的研究与圆周运动密不可分．所以锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的，他们研究的现象不同，表现的性质也不同，我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广(或一般化)，又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”．学生在高中学习的任意角三角函数的内容应该是以函数的眼光来对待，认真体会其作为函数的一些性质，尤其是周期性．因为三角函数是刻画现实事物周期性很好的一个模型．教材(人教A版)只是在第一节内容上安排了任意角与弧度制的内容，接下来就用单位圆给出了任意角的三角函数，教师的普遍作法也是回顾初中锐角三角函数的定义，然后让学生考虑如何将锐角三角函数推广的任意角三角函数．这种讲法无疑就把学生陷入一个误区，即任意角三角函数是锐角三角函数的推广，自然有很多同学认为任意角三角函数仍然是研究三角形三边关系的工具只是不再局限于锐角三角形，也有很多同学排斥单位圆的定义，觉得不如初中给的“比值法”好，不直观难用来计算．尽管这样的处理方式很直截了当，但对照发生教学法我们发现这种做法存在以下不足:(1)没有讲明高中学习的三角函数与初中学习的锐角三角函数研究的内容和方法都不同，容易造成学生的概念混淆．(2)没有很好的利用单位圆，单位圆是函数周期性的一个很好的体现，在三角函数的后续学习中有很大的作用．但学生在教师的实际教学中体会的很少．基于发生教学法，考虑学生在了解三角函数发展历史之后，就不会陷入锐角三角函数同任意角三角函数概念混淆的误区，能更好的认识单位圆在研究三角函数中的重要作用，体会其作为一个周期函数的性质等等，因此对三角函数的概念的历史进行重构以便于教学．

3任意角三角函数概念的教学设计

基于三角函数概念(以正弦为例)的发展历史，讲其进行重构并应于实际教学．如图1:

3.1学情分析

学生在前面一节已经学习了弧度制，从弧度制一课来讲数学史的引入就很有必要，很多学者在前面的研究中已经给出了很多宝贵的建议［7-9］．在前一节的很好的铺垫下，学生已经体会到引入弧度制的必要性，这也为本节学习单位圆打下了良好的基础．学生在初中已经学过锐角三角函数的定义，对三角函数(正弦、余弦、正切)有一定的了解，而且学生通过弧度制的历史回顾，已经了解了锐角三角函数在解三角形中的作用．因此我建议对于锐角三角函数的概念的回顾可以放在弧度制一课对弧度制的历史回顾之中完成，因为在弧度制最早的也是为了解决三角形边角关系的情况下产生的．是区别于角度制的另外一种度量方式．而在本节课任意角的三角函数中，先不要提及锐角三角函数的定义方式，以免学生发生概念的混淆．等到学生熟练掌握了任意角三角函数的概念以后，再把初高中学习的内容进行对比，这样即可以帮助学生建构知识体系，也能让学生更好的体会任意角三角函数作为函数的性质．

3.2教学情景设计

高中生具有丰富的生活经验和联想，因此从现实生活入手更能激发学生的学习兴趣．如观察:钟表指针的旋转、自行车轮子的旋转、摩天轮、跳水运动员优美的动作，这些周期现象中都存在着超过180°的角，而且形成的图形都与圆有关，那么我们如何研究这种周期现象呢?任意角的三角函数是我们的好帮手，回顾历史我们可知，正弦和余弦是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，是圆对称性的直接反映［10］．因此三角函数也叫圆函数，我们今天学习的内容与初中学习的锐角三角函数存在很大的差别．就此借助单位圆引入任意角三角函数的概念．3.2.1任意角三角函数概念的教学片段问题一:如何借助圆来研究三角函数?回顾历史上数学家的做法，三角学最早起源于天文学，而三角函数是用于研究圆内接图形(主要是三角形)的工具，随着后来的发展是用于研究确定行星位置的工具．那么如何借助于圆来研究三角函数的内容呢?通过观察几组图片，钟表两个指针的运动轨迹、自行车轮子旋转等图片，激发学生的兴趣．显然我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到角的顶点的距离为1(方便定义三角函数)，随着角度的任意扩大，以这个点旋转一周的轨迹—圆，来帮助我们学习三角函数．虽然在此处没有提到，这是数学家欧拉的做法，将单位圆的半径定位1，大大方便了我们研究三角函数的过程．我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆．问题二:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图2，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么:(1)y叫做α的正弦(sine)，记做sinα，即sinα=y;(2)x叫做α的余弦(cosine)，记做cosα，即cosα=x;(3)yx叫做α的正切(tangent)，记做tanα，即tanα=yx(x≠0)．问题三:任一点P的选择，对于任意角三角函数的值有没有影响?回顾最初引入单位圆的过程，学生借助于相似三角形的知识可以得到点P的选择对于任意角三角函数的值没有影响．问题四:任意角的三角函数符号的确定与点p(x，y)的坐标有什么关系?引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0，三角函数值的符号决定于横坐标、纵坐标的正负．问题五:如何借助单位圆研究三角函数的周期性?我们观察图形发现，角度每变化360°的整数倍的时候，角的终边又回到了同一位置，因此终边相同的同名三角函数值应该相等．这样一来可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(0°～360°)角的三角函数值，简化我们的计算．课后思考:观察单位圆，我们可以得到同角三角函数之间存在着哪些关系呢?为一下节课研究同角三角函数的关系做好铺垫.

4课堂实施与问卷调查

按照HPM视角下的教学设计，研究者在2013年于北京市某重点高中实习期间做了充分的调查研究，并进行了课堂教学的实践．该校在高中一年级学习完必修一之后接着学习必修四的内容，可以说为任意角三角函数内容的学习做了良好的铺垫．该校文理科班级比例为1:3，考虑到文科班的同学对于历史更感兴趣效果应该优于理科班，所以选择2个理科班，1个文科班来进行教学．但是结果却出乎意料，理科生对本节课表示出了浓厚的兴趣，甚至热情高于文科班．以下是对某个理科班同学的课后访谈片段:T(教师):对今天这节课的感觉如何?S(学生):挺好的，感觉比以往新颖，似乎更有兴趣了．T:你理解今天所讲的任意角三角函数与初中学习的锐角三角函数的差别了吗?S:理解了，初中学习内容是研究三角形边角关系的，现在学习的是具有函数性质的．不是同一个内容．S:那你理解在这里引入单位圆的作用了吗?T:差不多吧，圆具有周期性、对称性，用来研究三角函数很好．最后老师又问了一个问题，感觉还有内容要学习．T:那今后采用这种方式上课怎么样?S:好啊，不容易溜号了．图3是对全体授课班级同学学习情况的统计，我们可以看到本节课的教学效果还是显著的．三角函数历史悠久，有几何的、代数的、解析的视角，现在向量也进入教材，三角函数和向量、复数之间的关系也应引起教师重视，教师把对三角函数概念的理解局限于一节课、一章里是不对的，学生对一个概念的理解不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程．作为教师更要有全局观念，在教三角这一章时要用三角的眼光看待后续内容，适当的选择教学方式方法［11］．因此建议教师在教授任意角三角函数概念的时候，不要把对学生理解此概念的任务放在这一节里，而是在整个单元的教学中都要反复的重视学生对任意角三角函数概念的理解情况．从本课的课堂反馈和效果调查来看，基于HPM视角下的教学设计对于学生深刻理解数学概念有一定的促进作用．

5结论与反思

函数教学论文范文第4篇

关键词：函数；对应；映射；数形结合

1要把握函数的实质

17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。

迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。

对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。

2加强数形结合

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。超级秘书网

3将映射概念下放

就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。

函数教学论文范文第5篇

关键词：复变函数论；引入式教学；对比式教学；反例式教学；总结式教学

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）04-0145-02

复变函数论是高等院校数学专业的一门重要基础课程。作为数学分析的后续课程，该课程的教学对数学专业学生的培养起着重要作用，它在数学其他分支、力学、工程学等领域中有着广泛的应用。本文根据笔者自身关于复变函数论课程的教学实践和体会，对“引入、对比、反例、总结”几种教学方法略作刍议。

一、采用引入式教学方法

古语说“温故而知新”，在教授新的理论时，要以已知理论为基础。复变函数是数学分析中实变函数论在复数域内的推广，其主要研究复数域上的解析函数。在课堂讲授中，应该以实变函数的理论为源头，引入复变函数的相关理论。例如，基于复数z=x+iy与复平面上的点（x，y）的一一对应关系，复变函数w=f（z）（其中w=u+iv）的定义可以由两个二元实变函数引入，即f（z）=u（x，y）+iv（x，y）。具体到一些简单函数，比如讲授复变函数中正弦函数sinz的定义时，如何来确定此时的u（x，y）和v（x，y）的形式。应该首先考虑数学分析中正弦函数sinx的一系列性质（比如：周期性、奇偶性、连续性、可微性等）。在符合：①sinx是sinz限制在x轴上的表示，②sinz尽量满足sinx具有的性质，这两个条件的前提之下，确定u（x，y）=excosy和v（x，y）=exsiny，即sinz=ex（cosy+isiny）。该结构是sinx在复平面内的最有效的推广。

二、结合对比式教学方法

三、嵌入反例式教学方法

四、注重总结式教学方法

复变函数论课程中概念、方法和定理众多，这给教学带来一定的难度。因此在教学过程中，引导学生对复变函数的相关内容进行归纳总结是非常有必要的。比如，在讲授完复变函数积分理论以后，可以将求复积分的方法总结为如下几种。

另外，要注意到方法1～3一般用于求解积分曲线是非闭的积分；方法4～6适用于求解积分曲线是简单闭曲线的积分。照上述的总结，可以快速、准确地求解各类复积分。具体的例子在相关文献中已有讨论。

总之，在复变函数论的课堂教学中，应充分利用“引入、对比、反例、总结”式的教学方法，积极调动学生学习的积极性和主动性，不断完善教学计划和内容，这样才能提高复变函数论课程的教学质量。

参考文献：

[1]西安交通大学数学教研室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.

函数教学论文范文第6篇

二次函数作为初中数学教学的主要内容之一，一直是初中数学教学中一个重点、难点和考点。但结合学生平时对二次函数练习题的作答以及在中考中对二次函数相关题目的应试情况来看，教师在教学中对二次函数的教学要点还没有有效地传达给学生。这其中的因素较多，为了有效的提升学生掌握二次函数的能力，我们有必要梳理二次函数的教学要点，采用正确有效的教学方式和教学策略帮助学生正确理解和全面掌握二次函數。 

一、引导学生正确理解二次函数的基本概念 

初中数学教材中对二次函数的基本概念表达的非常明确，一般中等左右水平的学生通过自己的阅读和老师的适时点拨都能够对二次函数的概念有一个基本的理解和认识。但是将二次函数的基本概念融入到具体的练习题当中之后，有部分学生的脑瓜就不太亮堂了，常常会犯一些常识性的错误。这个时候，老师就必须引导学生正确理解二次函数的基本概念。要告诉学生，在具体的练习当中，可以从二次函数的关系式开始。首先将二次函数的关系式进行整理，使其右边是含自变量的代数式，左边是因变量。其次判别右边含自变量的代数式是否为整式。再其次判别自变量的项的最高次数是否为2。最后判别二次项的系数是否为0。另外还有一种题目就是根据实际问题列出二次函数的表达式，面对这个问题时，教师要告诉学生立足于二次函数的基本概念，先找出题目中变量之间的关系，从而得到一个等量关系式，最后根据等量关系式列出二次函数的表达式。 

二、引导学生灵活应用二次函数的图像与性质 

二次函数的图像与性质涵盖的内容繁多而且复杂，学生往往会与此前所学习过的一次函数、反比例函数的图像与性质相互混淆。因此，教师在教授二次函数的图像与性质之初，就应该将一次函数、反比函数、二次函数的图像、画法、性质等做细致梳理，让学生在复习的过程中，逐步加深对二次函数的图像与性质的学习深度。比如做二次函数y=x2的图像，教师要先讲解清楚二次函数的图像常用的描点法，让学生明确其中的基本步骤：列表、描点、连线。但在具体的作图步骤中还要向学生传递妙招，可以告诉学生画图时图像应越过端点，表示向上或向下无限延伸；作图时应注意在对称轴两侧画出的曲线是对称的；顶点不要画成尖形，应该平滑自然。再比如比较函数y=x2的图像上若干点的纵坐标的大小，要告诉学生必须注意的步骤：首先是确定这些点的横坐标的大小，其次是判断这些点是在图象对称轴的左侧还是右侧，最后根据函数y=x2的增减性进行判断。其实，在教学利用二次函数图象及性质解决问题的相关考题时，主要采用的是数形结合的思想，只要告诉学生在作答时按照二次函数图象的性质进行判定即可知道具体答案。 

在二次函数的图形与性质的教学中我们必须对特殊形式的二次函数之间的关系的讲授进行重点剖析。当然这是在学生已经掌握简单二次函数图象与性质的基础上所要认真审视的。例如面对比较函数值大小的习题，我们要告诉学生常用的方法有两种，一种是图象法，一种是代入法。图象法是利用图象上点的位置比较函数值的大小，这种方法直观形象。代入法是将自变量的值代入函数表达式，求得函数值，然后比较其大小，这种方法的优点是更准确。在面对具体的问题时，要让学生根据题意和给出的解题条件灵活选择适当的方法。 

三、引导学生体会二次函数的应用价值 

二次函数的应用主要是要求学生能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值的问题。以“利用二次函数求图形面积的最值问题”为例，我们要告诉学生解二次函数最值问题的基本方法是设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。要告诉学生解答的一般步骤，首先是利用题目中的已知条件和学过的有关的数学公式列出关系式，其次是把关系式转为二次函数表达式，最后求得二次函数的最大值或者最小值。还要告诉学生对于二次函数y=ax2+ bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当自变量的取值范围是全体实数时，求最值的方法有配方法和公式法，可以根据题目的具体要求灵活选用。 

函数教学论文范文第7篇

关键词：分类讨论思想；一次函数；应用

当前，数学思想和数学思想方法多种多样。一个好的数学思想能轻松的解决生活中的实际问题，一种好的数学思想方法能便捷的使我们学习理解一个数学思想。本篇论文主要论述分类讨论思想和一次函数及分类讨论思想在一次函数中的应用。目前国内外论述分类讨论思想在一次函数中的应用的论文不胜枚举，大多都是从函数的概念、性质、图像、实际应用和解题需求这五个方面分类。首先，分类讨论思想是基本数学思想方法之一。它是一种解决生活中的实际问题的逻辑方法。合理地使用分类讨论思想，我们可以使繁琐的问题简单化，使解决问题的思路更有条理。分类讨论思想在教学中的应用实际就是“化整为零，各个击破”的教学策略。这也是为什么教材每个章节需要分各个小节。同时，分类讨论思想应用到数学教学中，有助于提高学生的逻辑性、条理性、概括性，对于培养学生严谨的科学态度和逻辑的数学思维有重要意义。使学生掌握分类讨论的思想方法有助于提高学生解题能力和分析问题的效绩。其次，一次函数是重要的几类函数之一，合理的利用好一次函数可以便捷的解决生产和生活中的诸多问题。近年来的考纲都有应用书本知识解决实际问题的考点，诸如成本最小化、经济效益最大化、方案最优化等等。可见掌握函数思想的重要性，因此学生应该学好一次函数。最后，学习一次函数常用到分类讨论的思想方法。分类讨论思想应用到一次函数中使教学思路更有条理，教学方案更清晰明了。

一、浅谈分类讨论思想

（一）分类讨论思想的起源

大家都知道数学思想方法的两大源头分别是中国的《九章算术》和古希腊的《几何原本》。随着古今学者的研究发展，数学思想方法已经出现了很多种。分类讨论思想方法就是众多的基本数学思想方法之一。

分类现象自古就存在。远古时期，人们收集到的食物会分类保存。能长时间保存的和不能长时间保存的、可以播种的和不能播种的植物，能圈养和不能圈养的动物。一个狩猎团体根据体质差异也有分工，行动敏捷的成员负责吸引猎物的注意力，身体壮实的负责对猎物造成伤害，臂力大的负责投掷标枪等等。现在分类现象随处可见，各种各样的职业共同推动社会发展，大小不一的零件使机器正常运行。正是因为分类思想，人们有条理的生活着，避免了很多的差错与混乱现象。分类思想是古老文明的基本思想。

司马迁编撰的《史记》 [1]卷六十五《孙子吴起列传第五》曾记载“田忌赛马”的故事，齐王与田忌赛马，双方按马的速度将马分为三等，齐王同等次的马的速度均高于田忌。田忌将马出场次序换位以下等马对齐王的上等马，以上等马对齐王的中等马，以中等马对齐王的下等马赢得比赛。田忌这种根据对方的马出场次序而相应的对自己的马出场次序作出调整的思想方法就是分类讨论思想。正是因为这一思想，田忌巧妙地赢得了比赛的胜利。为古代人的智慧史添上了绚丽的一笔。通过这个事例我们知道分类讨论思想的重要性，分类讨论思想其实与我们的生活息息相关。

现在已经有很多的学者专家都有总结分类思想的含义，在《数学思想方法教学研究导论》的第253页指出：“分类是基本的逻辑方法之一，数学中的分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。”

随着数学的发展，分类讨论思想方法逐渐演化成数学思想方法的主要思想方法之一。同时，也正使得数学这门学科使得分类思想方法更加地深化与细化。如今，分类讨论思想方法已经是中高考试中的常考点。

（二）分类讨论思想的概念界定

我们先了解分类讨论思想的汉语释义。“分类”一词在辞海中的释义为根据事物的特点分别归类。“讨论”一词在辞海中的释义为就某一问题进行商量或辩论。“思想”一词在辞海中指思维活动的结果，属于理性认识。从分类讨论思想的汉语释义可以知道分类讨论思想先分别归类再逐一商量讨论。

分类思想和分类讨论有什么区别与联系呢？按从属关系划分，分类讨论是一个种概念，分类思想是一个属概念。分类思想并不专属于数学领域，它是人们早期认识世界面貌、改善生活条件的一种思维形态，即把复杂的事物依据其种类、性质或品级进行划分或归类。分类讨论是分类思想实际应用的一种具体形式，它要求把事物进行划分归类，把分类的若干个种类进行逐一的研究讨论，最后把分类的若干讨论结果归纳总结。

在数学领域各学者对于分类讨论思想方法的概念界定几乎大同小异，对于分类讨论思想方法的概念几乎不存在争议。顾泠沅教授所著的《数学思想方法》有提到分类讨论这一思想方法。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现化整为零、集零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，有关分类讨论思想的数学问题是比较繁琐复杂的，通常安排在解答题板块，所占分值比较高。所以在高考试题中占有重要的位置。

（三）分类讨论思想的分类原则与方法

分类讨论思想的分类原则：（1）所要分类的对象必须是确定的（2）分类出的各级内容必须是完整的，不能犯遗漏某一级这种错误（3）应该按同一标准分类（4）各个集域应当是互斥的，不出现重复的集域（5）分类必须逐级进行，不能越级分类。分类讨论思想的分类方法：明确分类讨论的对象，确定对象的所有内容，明_分类的标准，将对象正确进行分类；逐级进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合结论。

三、分类讨论思想在一次函数中的应用

分类讨论思想在一次函数中的应用主要体现在一次函数的概念、性质、图像与实际应用这几个方面。

（一）分类讨论思想在一次函数概念方面的应用

如何来辨别一个函数关系是不是一次函数？前面已经给出了一次函数的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linear function）.当y=kx+b中的k是变量或者x的指数是变量时，该变量取不同的值会有不同的结果，因此就需要是用分类讨论的思想方法逐一讨论。

那么我们来看这道例题：

例4 已知函数y=（m-5）x2m-1+3x-1，当m为何值时，该函数是一次函数？

分析：根据函数概念，本题应该分为三种情况讨论：当m-5=0时，函数是一次函数；当2m-1=1时，函数是一次函数；当2m-1=0时，函数是一次函数。综上所述，m=5或1或 。

（二）分类讨论思想在一次函数性质方面的应用

我们已经知道一次函数具有单调增减性，一次函数的增减性在生活中经常用到。一次函数要么递增要么递减，因此又是也需要用到分类讨论思想。

例5 一次函数y=kx+b，当2≤ x ≤ 4时，10≤ y ≤ 14。求的值。

分析：此题中一次函数的单调性尚不明确，因此需要分为两种情况讨论：

当函数单调递增时，即当x=5时，y=10，当x=4时，y=14，因此k=2， b=6

故=3，当函数是单调递减时，即当x=2时，y=14，当x=4时，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。

（三）分类讨论在一次函数图像位置方面的应用

如果一次函数y=kx+b中的k或b不明确那么一次函数图像在平面直角坐标系中的位置也将不明确，因此很多时候需要用到分类讨论思想来解决相关问题。

例6 已知正比例函数y=x和一次函数y=kx+2的函数图像与x轴围成了一个面积为1的三角形，求一次函数的解析式。

分析：此题中一次函数的斜率并不明确，因此函数图像的位置需要分为两类。因为已经知道两个函数图像与x轴围成的三角形面积是1，且一次函数经过定点（0，2）根据斜率将一次函数分为递增和递减两类：当一次函数单调递增时，一次函数经过x轴上的点A（-1，0），一次函数解析式为y=2x+2；当一次函数单调递减时，一次函数经过x轴上的点E（2，0），一次函数的解析式为y=-x+2。所以总结两类讨论，一次函数的解析式为y=2x+2或y=1x+2。作图如图3.1和图3.2。

（四）分类讨论在一次函数实际问题方面的应用

一次函数应用到实际问题中已经是常考点，这使数学更贴近生活，培养学生灵活运用知识的能力。而在一些典型题型中常需要用到分类讨论思想。

例7 小明准备换电话卡，现在他已经了解了两种电话卡的套餐。A卡套餐为每月通话不超过100分钟，则按每分钟0.2元收费，若每月通话大于100分钟则超出时长按每分钟0.16元收费；B卡套餐为每月通话不超过200分钟按每分钟0.2元收费，若每月通话超过200分钟超出时长则按每分钟0.12元收费。如果小明每月通话 分钟，请问他该如何选择套餐最划算？

分析：此题尚不明确小明每月通话时长，因此需要分三种情况讨论：

当0≤ x ≤ 100时，显然两种卡消费一样。

当100≤ x ≤ 200时，A卡有优惠，B卡无优惠，因此选择A卡。

当x>200时，设A、B两卡消费分别为y1、y2。A卡消费为y1=0.16x+20，B卡消费为y2=0.12x+40，当y1=y2时，x=500因此又需要分三种情况讨论：当x=500时，A、B两卡消费一样，当200500时，y1>y2选B卡更划算。

分类讨论思想这是数学基本思想方法之一。学生熟练掌握了这一思想方法，将更有逻辑有条理的分析处理问题。一次函数是最基本的函数，它对于解决实际生活生产需要有重要意义。教师在教学一次函数时应当科学的选取适当的教W方法，务必是学生理解掌握一次函数，并将其迁移到实际问题中去。

参考文献：

[1]司马迁，史记，北京联合出版社，2016.

[2]王鸿钧，孙宏安，数学思想方法引论，人民教育出版社，1992.

[2]义务教育课程标准教师学习指导，2011.

[3]数学八年级下册，人民教育出版社，2013.

[4]顾泠沅，数学思想方法，中央广播电视大学出版社，2004.

[5]潘兴伟，初中数学教与学，分类思想在一次函数中的应用，2015.

[6]姬梁飞，科教文汇，论分类讨论思想方法，2017.

函数教学论文范文第8篇

关键词： 复变函数 解析函数 教法

《复变函数》是高等学校理工科学生的专业必修课，在建设应用型本科高校的背景下，由于复变函数的广泛应用性，这门课程正在被越来越多的高校重视.如何才能教好复变函数课程，已经是摆在教师面前的一个重要课题.我就复变函数中解析函数的教学方法提出自己的看法.

解析函数是复变函数课程中的重要内容，也是学生学习复变函数课程的难点，对解析函数的准确理解有利于学生更好地掌握复变函数的特点.本文重点围绕解析函数的几种等价判别方法，分析解析函数的教学.

1.按照定义理解解析函数

如果复变函数w=f（z）在点z■及z■的某邻域内可导，则称w=f（z）在点z■解析；如果w=f（z）在区域D内每一点都解析，则称w=f（z）在区域D内处处解析.

根据解析函数的定义我们可以知道解析函数与可导函数很类似，但又不完全一样，如果函数在某点解析，那么函数在该点一定是可导的；反过来却不一定成立.从直观上来看，解析函数是一个整体性的概念，可导函数是一个局部性概念，与可导函数相比，解析函数要求更高一些.还要指出的是：对一个区域而言，函数在区域内可导与解析是完全一样的，主要原因在于区域是连通的开集.

教师在教学过程中应该重点讨论函数f（z）=z，g（z）=■和h（z）=|z|■的解析性和可导性，比较它们的不同，通过定义我们可以知道函数f（z）=z在整个复平面上处处解析也处处可导，函数g（z）=■在整个复平面处处不解析也处处不可导，但是函数h（z）=|z|■在z=0可导但不解析，主要原因在于函数h（z）在z=0任一邻域内都有不可导的点，不能满足解析函数的定义.

2.根据柯西—黎曼方程理解解析函数

按照文献[2]中的定理，复变函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件为：

（1）u■，u■，v■，v■在D内连续；（2）在D内有u■=v■且u■=-v■.

其中第二条称为柯西—黎曼方程，该定理为我们提供了一种判别复变函数是否解析的方法，对于一个区域内的复变函数只要满足上面条件，就可以说明它是解析的；反过来，解析的复变函数也一定满足上面两条结论.实际上，该定理也可以看成是解析函数的等价定义.

需要指出的是，对于常见的初等函数，如三角函数、对数函数和指数函数等，它们的解析性都是通过上面定理证明.比如对于指数函数f（z）=e■=e■cosx+ie■sinx，经过简单计算可知它的实部和虚部对所有的点都是满足上面两条结论的，因此指数函数在整个复平面上都解析，最后为了方便应用，只要记住这些初等函数在什么的范围解析就可以了.关于初等函数的详细讨论可以参考文献（3）—（4）.下面举例说明如何应用该性质分析复变函数的解析性.

例1：讨论函数f（z）=x■+iy■的解析性.

解：因为函数的实部和虚部分别为u（x，y）=x■，v（x，y）=y■，所以u■=2x，u■=0，v■=0，v■=2y.

从而u■=0=-v■，要u■=2x=v■=2y，必须y=x，故仅在直线y=x上柯西—黎曼方程成立，从而函数f（z）=x■+iy■仅在直线y=x上可微，但在整个z平面上处处不解析.

3.通过柯西积分定理和摩勒拉（Morera）定理理解解析函数

柯西积分定理[2]：如果函数f（z）在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条简单闭曲线，则？蘩■f（z）dz=0.

摩勒拉（Morera）定理[2]：如果函数f（z）在单连通区域D内连续，且对D内任一条简单闭曲线C有？蘩■f（z）dz=0，则f（z）在D内解析.

这两个定理主要通过积分形式判别函数是否解析，虽然柯西积分定理的证明比较麻烦，但是该定理的应用十分广泛，可以极大地简化积分计算，比如应用该定理计算积分？蘩■z■sin■ze■dz时，可以利用函数f（z）=z■sin■ze■在整个复平面上解析的特征判断它的积分的值为0，教师在教学过程中应该与高等数学上的微积分基本定理进行比较，说明该定理在复变函数中的重要性.需要注意的是，当判断函数在某区域内是否解析时，人们很少去用该定理判断，主要原因在于任意闭曲线在实际计算中很难表示.

4.通过共轭调和函数理解解析函数

根据文献[2]共轭调和函数的概念可知，复变函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件为：在区域D内v（x，y）是u（x，y）的共轭调和函数.需要注意的是，利用该性质不仅可以判断函数的解析性，而且可以构造解析函数.下面我们举例说明解析函数的构造问题.

例2：已知二元函数u（x，y）=x■+xy-y■，能否构造出解析函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y），如果能，请写出函数f（z）的具体形式.

解：对函数u（x，y）求偏导数可得：

u■=2x+y，u■=x-2y，u■=2，u■=-2.

故u■+u■=2-2=0，从而函数u（x，y）在整个z平面上为调和函数，于是利用上面性质，可以判断所求的解析函数f（z）必定存在.下面求该函数的具体值，利用柯西—黎曼方程可得v■=-u■=2y-x，v■=u■=2x+y，从而对函数二元函数v（x，y）微分可得，

dv=v■dx+v■dy=（2y-x）dx+（2x+y）dy

=（2ydx+2xdy）+（-xdx+ydy）

=d（2xy）+d（■（y■-x■））

=d（2xy+■y■-■x■）

所以函数v（x，y）=2xy+■y■-■x■+C（C为任意常数），函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在整个复平面上解析.

解析函数与调和函数具有很多类似的性质，对于解析函数我们有柯西积分公式；而对于调和函数，有与柯西积分公式相似的泊松（Poisson）积分公式.解析函数有平均值定理和极值定理；而调和函数也有类似的结果.通过调和函数去分析解析函数，能够帮助学生更好地掌握解析函数的性质.

调和分析是一种极为复杂的数学分析理论，大部分复变函数书都只是对该方面进行简单介绍，关于该理论的详细情况，教师可以指导学生查看其他书目.

5.通过级数理论理解解析函数

级数也是研究解析函数的一个重要工具，把解析函数表示成级数不仅有理论意义，而且也有重要的实际意义.文献[2]中指出了，函数f（z）在区域D内解析的充要条件是：f（z）在区域D内任一点a可以展成z-a的泰勒级数.

利用泰勒定理，我们得到了级数与解析函数的关系，从而可以通过分析级数的性质去理解解析函数的概念.对于幂级数而言，只要求出其收敛半径，就可以断定它的和函数在收敛圆内处处解析.

参考文献：

[1]陆庆乐.工程数学：复变函数[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京：高等教育出版社，2010.

函数教学论文范文第9篇

【关键词】复变函数 教学方法 实变函数

【中图分类号】O174 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）06-0124-02

复变函数是高等院校工科专业的必修课，它对于培养学生的抽象思维，逻辑推理、空间想象和科学计算能力都起着重要的作用。其广泛涉及理论物理、自动控制、信号处理、流体力学、弹性力学等众多领域。复变函数的理论与方法是许多相关学科的重要解析工具，因此，学好复变函数这门课程是十分重要的，笔者结合多年教学经验，总结了一些复变函数的教学体会。

一、复变函数课程的特点

复变函数是在微积分的基础上形成发展起来的一门数学学科，它将数域由实数域扩充到复数域构建了新的数的表示形式x=x+iy，形成了特有的理论和计算技巧。定义了复变函数的初等函数，也由此建立三角函数和指数函数的关系，对欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ给出了很好的解释。由于数域的扩充使复变函数对应两个二元实函数w=f（z）=u（x，y）+iv（x+iy），这就将实变函数的极限、导数、微分、级数从基本定义到计算方法推广到复变函数，使得复变函数的理论更简洁，方法更巧妙。复变函数的积分是复变函数理论的重要部分，积分将复变函数的导数、微分，级数，留数联系到一个理论线索上。复变函数通过复平面建立了两个平面的点的对应关系，构成了平面到平面的二维映射，这是复变函数的一个重要贡献。

由于复变函数的很多概念理论和计算方法直接借助于高等数学知识，要求学生有很好的高等数学基础，同时也要求教师在教学中做到边复习高等数学边讲授复变函数，使学生的知识体系得以连贯，真正学到新的知识。随着高等教育改革的不断深入和多媒体的使用，复变函数课时相对减少， 如何才能让学生在有限的时间内高效的学好这门课，是复变函数教学的首要任务。

二、复变函数的教学体会

1.合理安排教学内容

复变函数课程的教材很多，西安交通大学高等数学教研室编写的工程数学《复变函数》，对于工科学生来讲，不失为一本很好的教材，教材内容充分，结构合理，理论应用相得益彰，但教师在教学中，还应对教材进行再加工，即要借重教材的优点，又要照顾学生。精心设计课程内容的引出、分析、解答等过程，通过抽象概念与具体实例结合，抽象思维与形象思维结合，渗透现代数学思想，提高学生兴趣，培养学生的数学思维能力和综合应用能力。

做为数学课程复变函数教材的章节是按着严格的逻辑顺序展开的，有着很强的系统性和整体性。对于一些重点知识、新知识可以安排较多课时，比如模函数，幅角函数的解析性，C-R方程、柯西-古萨基本定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等复变函数的几个重要定理需要多花精力比较使用方法，介绍应用技巧。有些知识象复数及复数的计算已经下放到了高中，所以可作为复习内容，安排较少课时。

2.采用适当的教学方法

在教学过程中，可以采用多种教学方法和教学手段，由于复变函数的许多性质、概念、定义与高等数学有着相似之处，又与高等数学在某些方面有着实质不同，比较教学法是最适用于复变函数教学的。 在复变函数教学过程中，应注意将复变函数的概念、定理以及处理问题的方法与高等数学进行对比，使学生在建构新的知识体系的同时能够区分两者之间的差异。

探索一套行之有效的考试考查方法，增加单元测验，加大平时成绩比重，把考试分为开卷和闭卷。利用单元测验检查学生对知识的掌握程度。 每章结束之后上习题课，采用对话式教学方法，提出问题，引导学生思考问题、解决问题，及时发现和纠正学生的错误，以补充和巩固复变函数的教学内容。

3.充分利用多媒体教学

借助优质示范课教学平台制作《复变函数》课程的电子教案、多媒体课件，习题库、试题库，实施网络教学，实现师生互动，从而优化了学习过程、提高了学生的学习兴趣和学习效率。利用电子课件教学，使教学更生动、更立体，从而培养学生的理解力、洞察力、数学思维能力。同时将某些抽象的理论具体化，在很大程度上节约黑板书写时间，增加授课的信息量。

4.将数学实验引入课堂教学

利用MATLAB进行辅助教学可以进行复数基本运算包括计算复数的实部、虚部、模和幅角，也可以计算复变函数的导数、积分和留数，MATLAB绘制复变函数图象直观地展示复变函数的特殊映射规律。这样不但加强了学生对复变函数中的抽象概念的直观认识，而且还提高了学生运用数学和计算机解决实际问题的能力，激发了学生对复变函数的兴趣。

5.注重知识应用，培养学生应用能力

复变函数与其他学科如物理、数理方程、流体力学、电磁学等都有不同程度的联系，在教学中不仅要清晰地向学生讲述复变函数的基本知识，还应该帮助学生建立起该学科与学生专业的关系。为此，在复变函数的教学中要把握好知识应用的指导，了解学生的专业以及后续的基础课和专业课，在讲解复变函数理论的同时，向学生介绍复变函数在相应学科中的应用。如解析函数可以刻画流体流动的复势。留数和流量、环量的联系等。

总之，在复变函数的教学过程中要注意素质教育内容的融入，注重培养学生的创新能力，培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力和分析解决问题的能力。复变函数的教学不仅在于教授学生知识，更在于培养学生的数学思想，提高学生的综合素质，促进学生的全面发展。

参考文献：

[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2003

[2]张必山.试析复变函数课程教学改革[J].教育与职业，2010

[3]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].第四版，高等教育出版社，2005

函数教学论文范文第10篇

关键词:信息化教学;中学数学;函数

一、信息化教学的概述

信息化教学不仅是教师利用现代教育媒体进行的教学活动，也是以信息技术为基础在师生间举行的教学活动。信息化教学最明显的特点是有信息技术的支撑，但更深入，它是在当代教学理念的引导下，利用新兴教学方式进行教学［1］。在信息化教学中，形式多变的教学环境，大量的教学资源都是教师可以利用进行辅助教学。教师在现代教学理念的引导下组织教学重难点，开展多种多样的教学活动［2］。学生则在信息化环境中利用丰富的资源与工具展开协作学习，以往的接受式的学习方式将被改变，在教师的引导下，学生会对知识进行主动有意义建构，进一步促进个人的全面发展。信息化教学设计不是完全摈弃了传统教学模式，而是在此基础上学习了建构主义理论、多元智能理论，这样一来信息化教学设计相对于传统教学更适应社会的发展，表现出了许多与传统教学设计不一样的特点［3］。在相对自由的教学模式和教学环境下，考虑完整的教学过程，以改变传统教学设计相对局限、固定思维的特性，在轻松自由的学习环境下，让学生根据自己的学习需要，采用大量的信息资源自主学习，改变过去被动、封闭、灌输式的教学方式［4］。本文结合自身的教学实践，通过对初中数学函数概念变量、常量、函数、定义域、函数的解析式、函数的图像、一次函数和二次函数的理解，从变量开始的，通过对常量和变量的延伸引出函数的。利用信息化技术构建实验情境，利用现有知识引出一次函数、二次函数的特征，从而使学生理解函数概念。

二、传统教学与信息化教学之对比

在信息化教学中，教师要根据教学内容，设计一个或几个具体的有代表性的问题或任务进行教学，让学生能代入教师所设的问题或任务中，帮助学生对所学知识进行积极思考，使他们完成任务或解决问题的能力得到锻炼。从表1中可以看出，在传统教学中，主要的教学资源来自教师，学生对信息的获取收到教师的控制，而在信息化教学中，教师不再把作为自己资源库，而是帮助学生获取、分析大量的信息来使学生能自己解决问题。在学习过程中，学生就承担起主动学习的任务，通过自主的探索，或与教师同伴的沟通完成主动的认知建构。

三、信息化教学在中学数学课程中的应用案例

(一)信息化教学在初中数学函数概念教学中的应用

初中学生年龄在13－16岁之间，处于形式运算阶段，已经具有较强的抽象思维，能够运用逻辑来考虑现实的和可能的情境。初中数学函数概念包括变量、常量、函数、定义域、函数的解析式、函数的图像、一次函数和二次函数。初中函数部分的学习是从变量开始的，通过对常量和变量的延伸引出函数的。在这个过程中，可以利用信息化技术构建实验情境，利用现有知识引出一次函数、二次函数的特征，从而使学生理解函数概念。

(二)信息化教学在初中数学函数应用的研究

初中生对信息技术有着浓厚的学习兴趣，已具备一定的发散思维和较强的交流沟通能力，为开展协作性学习提供了必要条件。学生思维比较活跃，具有强烈的好奇心，容易接受新知识和观点。初中数学的教学目标中明确提出要求学生理解函数的概念，培养学生对各类函数的实际应用能力。而鉴于函数的抽象性，单纯依靠课题上的传统教学肯定是行不通的，所以，在教学过程中，利用信息化教学在具体的初中教学中创设教学环境，通过学生自己想象，让更多的学生建立自信，培养学生学习初中数学函数的兴趣，引导学生利用现有的函数知识来运用在实际的生活中。

四、结论

本文通过信息化教学设计在中学数学中函数的应用实例探究，结合自身教学经历，通过对初中数学函数概念变量、常量、函数、定义域、函数的解析式、函数的图像、一次函数和二次函数的理解，从变量开始的，通过对常量和变量的延伸引出函数的，从而培养了学生的理论实践能力，并促进了教师教学资源整合的层次与水平的提升，为初中数学教师在信息化函数教学中提供借鉴意义。

参考文献:

［1］李曼．以学生为中心的信息化教学模式架构研究［J］．中国大学教学，2012(8)，32－34．

［2］吴华，丛洋，孙丽梅．初中数学翻转课堂教学研究［J］．中国教育技术装备，2014(18):136．

［3］刘群．信息化探究式教学模式在中学数学实验中的应用［J］．软件导刊，2008(9):26－27．

函数教学论文范文第11篇

【关键词】数学分析 概率论与数理统计 数值分析

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0155-01

数学是研究自然科学的基础工具之一，对科技领域和现代生产实践产生了巨大的推动作用。而《数学分析》作为信息与计算科学专业一门主要的专业基础必修课，其教学的成败对信息与计算科学专业的学生的数学素质的培养起着关键的作用。它是后续课程《常微分方程》，《概率论》，《数理统计》，《数值分析》等的基础。《数学分析》中的有些知识点在这些课程中得到了直接的应用，需要在《数学分析》教学中加以强调及重视。以下就本人的所知总结如下：

一、归结原则在《概率论》中的应用

定理1 若存在单调增（减）数列a■，满足

（i）■an=x■，

（ii）数列■f(an)=A，

则有■f(x)=A（■f(x)=A）。

这个定理在《概率论》中证明分布函数F(x)的右连续性时起到了关键的作用。在《数学分析》中强调这个定理，将为学生理解分布函数F(x)的右连续性奠定基础。

二、傅里叶变换的应用

《概率论》中分布的特征函数是研究随机变量分布的一个重要内容。连续分布的特征函数和其概率密度是一一对应的。第一，特征函数在求随机变量和中简化了计算过程。第二，有些多元随机变量的密度函数无法表示出来，但其特征函数是唯一确定的，例如多元正态分布，如果其方差矩阵非正定，其概率密度将无法写出，但是其特征函数是唯一确定的。因此特征函数在研究多元随机变量的分布中起到不可忽视的作业。而特征函数正是概率密度的傅里叶变换，在《数学分析》中强调傅里叶变换的定义，性质，对学生理解和运用特征函数奠定基础。

利用傅里叶积分变换的性质求线性微分方程和线性微分方程组的解也是一个重要内容。

三、多元函数极点存在必要性的应用

1.最大似然估计是《数理统计》的一个重要内容，而求似然函数的最大值点的依据就是多元函数极点存在的必要性。

2.线性回归分析中确定系数的最小二乘法的理论依据就是多元函数极点存在的充要条件。

3.条件极值是《数值分析》中求最优化解的主要方法,而拉格朗日函数正是求条件最优解的常用方法，在教学中可以联系《数值分析》，有针对性的加以讲解。

四、含参变量积分的应用

1.《概率论》中求边际概率密度及求分布的特征函数的依据是含参变量的积分和含参变量反常积分性质。

2.《概率论》中伽玛分布和贝塔分布是含参变量反常积分B函数和 函数的应用。B函数和г函数的定义，定义域，性质， B函数和г函数的关系在研究伽玛分布和贝塔分布中起到了很重要的作用。如《数学分析》中的如下例题：

例：计算积分■e■dx

解：令t=x■，则■e■dx=■■e■t■dt=■г（■），

利用B函数和г函数的关系得到

B(■,■)=■г(■)■，

再利用B函数的另一表达式，得到

B(■,■)=2■dθ=π，

所以得到结论г(■)=■,■e■dx=■■e■t■dt=■г（■）=■。证毕。

在这个问题的证明过程中用到了B函数和г函数的关系，B函数的性质，而结论

г(■)=■, ■e■dx=■

更是《概率论》研究正态分布，伽玛分布和贝塔分布数的关键。这个例子的证明及结论有针对性加以强调，对后续的《概率论》有重要的作用。

五、黎曼积分的应用

黎曼积分在物理和工程上有重要的应用，其定义和计算方法是《数学分析》的重要内容。在《概率论》，《数值分析》，《常微分方程》，《泛函分析》等后续课程中，黎曼积分的计算和性质是学生面对的一个难点.在《数学分析》教学中，可将后续课程的内容，有针对性加以强调。

六、《数值分析》的几个知识点

误差估计和近似计算是《数值分析》的两个主要教学内容。

微分中值定理是误差估计的主要理论依据。

函数项级数是近似计算的主要依据。

例如：计算■cost■dt。

解：因为cost■=■■其收敛域为t∈R。由幂级数性质，可知

■cost■dt=■■■dt=■■■t■dt=■■。

当k充分大是，可得到■cost■dt的近似值，而且可以估计近似值的误差。

梯度方向是函数变化率最大的方向，在近似计算中可以加速近似计算的收敛速度,降低计算量。

了解后续课程的教学内容，在《数学分析》中有针对性的加以强调，或将后续课程的内容作为例题来讲，可以激发学生的求知欲和好奇心，为后续课程的教学奠定基础。

本人学识有限，关于《数学分析》在后续课程中的应用，还有待相关任课教师进一步完善。

参考文献：

[1]《数学分析》（第三版），复旦大学数学系，欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋编，高等教育出版社

[2]《概率论与数理统计教程》（第二版），茆诗松，程依明，濮晓龙编，高等教育出版社

函数教学论文范文第12篇

关键词：MATLAB 复变函数 泰勒级数 洛朗级数

中图分类号：O174.55 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）11（b）-0121-03

“复变函数”课程是通信工程、电子工程、自动化等工科专业必修的专业基础课，该课程理论性强、内容抽象，工科学生普遍感到学习困难。为了解决这个问题，我们在复变函数的教学中引入MATLAB实践内容，使得复变函数的教学理论与实验相结合，教与学相结合，引导学生利用软件对教学内容进行仿真，激发其学习积极性与主动性，提高其对于复变函数内容的理解。该文就MATLAB在复变函数中的几点应用加以分析。通过计算机实现对复变函数主要计算问题的实验，达到传统理论教学无法实现的效果。

1 利用MATLAB进行复变函数的简单运算

复数的表示式突出三角表示法和指数表示法，而这两种表示法中辐角的计算公式较复杂，利用MATLAB可以把复数的实部，虚部，共轭复数，辐角，模等利用简单的命令求出。

例1、计算，，，，的值及实部，虚部，共轭复数，辐角，模。

解：在MATLAB工具窗输入以下矩阵

A=[（（1+i）*（2-i）^2*（3-i）^3）/（（3+4）^4*（2+i）^5） i^i i^（2^1/2） （-8）^（1/3） log（1+i）]

A= -0.0016+0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000+1.0000i 1.0000+1.7321i 0.3466+ 0.7854i

>>real（A）

-0.0016 0.2079

0 1.0000 0.3466

>> imag（A）

ans = 0.0005

0 1.0000 1.7321 0.7854

>> angle（A）

ans = 2.8578

0 1.5708 1.0472 1.1552

>> abs（A）

ans = 0.0017 0.2079 1.0000

2.0000 0.8585

>> conj（A）

ans=-0.0016-0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000-1.0000i 1.0000-1.7321i 0.3466-0.7854i

用MATLAB可直接计算出复数的四则运算和初等函数的值。但对数函数和幂函数的运算仅得出其主值，其多值函数的特性必须从理论推导得出。

例2、计算，，，，，。

解：在MATLAB工具窗键入

A=[sin（i） sin（i+2*pi） cos（i） cos（i+2*pi） exp（i） exp（i+2*pi*i）]

A=0.0000+1.1752i -0.0000+1.1752i 1.5431+0.0000i 1.5431+0.0000i

0.5403+ 0.8415i 0.5403+0.8415i

借助于MATLAB易验证复变函数的正弦、余弦函数，指数函数均具有周期性。在复变函数中不成立。在教学中使得学生更易理解和接受这些复变函数的理论。

2 用MATLAB求方程的根

用MATLAB可以求出复杂的复方程的根，还可通过其图形分析根的特性。

例3、解方程。

在MATLAB工具窗键入

S=solve（'z^3=-8'）；

>> s=eval（S）；

s=[s（1）；s（2）；s（3）]

s = -2.0000 + 0.0000i 1.0000 + 1.7321i 1.0000 - 1.7321i

x=2^（1/8）*（1：-0.01：-1）；

x=2*（1：-0.01：-1）；

y1=sqrt（4-x.^2）；y2=-sqrt（4-x.^2）；

plot（x，y1，'r-'，'LineWidth'，3）；hold on；grid on；

plot（x，y2，'r-'，'LineWidth'，3）；axis equal；

plot（s，'o'）；

axis（[-2.5 2.5 -2.5 2.5]）；

用解方程的方法可以求出-8的3次方根，有效的解决直接计算仅能计算主值的问题。而且从图1中可以直观的观察出3个根是半径为2的圆上的3个等分点。

例4、求解方程。

在MATLAB中键入

solve（'log（z^4+z^3+z^2+z+1）=i'）

ans =

0.36521623295345235866005943774426 + 0.64240444029684120856950031509163*i

0.19822799851622204112882959650434 - 1.130167947608232755068528868445*i

- 0.48211258491386994549037517293678 + 0.86253684186617047083403309081309*i

- 1.0813316465558044542985138613118 - 0.37477333455477892433500453745974*i

从以上运算可以看出，借助MATLAB强大的运算功能可以解决许多复杂的计算问题。

3 用MATLAB将函数展开成泰勒和洛朗级数

例5、将函数在展开为泰勒和洛朗级数。

解：复变函数是级数展开中常用的一个函数，且在处不解析。若将该函数在展开成泰勒级数和洛朗级数，分析如下。

当时，它的泰勒展开式是。

当时，它的洛朗展开式是。

在MATLAB中工具窗输入

m=30；r=（0：2*m）'/m；

theta=pi*（-m：m）/m；

z=r*exp（i*theta）；

z（find（z==1））=NaN；

figure（1）

cplxmap（z，1./z）；title（'原函数'）；

由原函数图，易得函数在处不解析。

在MATLAB工具窗键入

z1=z-1；

z1（abs（z1-1）>=1）=NaN；

f1=1；u1=1；

for k=1：100

u1=u1.*（z1-1）；

f1=f1+u1；

end

figure（2）

subplot（1，2，1）；cplxmap（（z1-1），f1）；title（'泰勒展开'）；

z2=z；

z2（abs（z2-1）

f2=1./（z2-1）；u2=1./（z2-1）；

for k=1：100

u2=u2./（z2-1）；

f2=f2+u2；

end

figure（2）

subplot（1，2，2）；cplxmap（（z2-1），-f2）；title（'洛朗展开’）

得在处的泰勒展开式及洛朗展开式。

从图3中可以看出，泰勒级数展开图形和洛朗级数展开图形的结合就是对原函数的图形拟合，图形直观的展示了函数的泰勒和洛朗展开的区分，为复变函数的理论教学提供了很好的直观的解释。

4 结语

除了以上设计的一些应用，Matlab还可以深入复变函数教学的很多方面。在教与学的过程中，利用MATLAB软件，学生将所学习的理论进行模拟实验，提高了学生学习兴趣，增强了学生的编程动手能力，从而提高了复变函数课程的教学效果。

参考文献

[1] 庞学诚，梁金荣，柴俊.复变函数[M].北京：科学出版社，2003.

[2] 刘建亚.大学数学教程―复变函数与积分变换（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3] 彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[M].北京：清华大学出版社 2004.

[4] 常巍，谢光军，黄朝峰.MATLAB R2007基础与提高[M].北京：电子工业出版社，2007.

函数教学论文范文第13篇

【关键词】初中数学；教学方法；二次函数

数学是一门非常重要和基础的学科，而初中数学更是整个数学学习中的基础阶段，与其他学科有着紧密的联系，尤其是后期学习的物理、化学、生物等理科学科.在初中数学的教学大纲中，二次函数是教学的重点和难点，同时也是考试的常考题型，许多初中数学中的二次函数教学都存在一些困难，不仅给教师的教学过程增添了许多困难，同时教学效果也无法达到令人满意的要求.本文结合对当前初中数学中二次函数概念和用法的理解，对初中二次函数的教学方法和思路进行了分析和研究.

一、对二次函数概念的理解

概念的理解是学习任何知识点的基础，对二次函数也一样，如果要取得良好的教学效果，需要学生对二次函数的概念具有深层次的理解.在二次函数的教学过程中，教师首先要让学生对概念学习的重要性有着深刻的认识，其次，通过对二次函数概念的学习来完成对二次函数的判断.教师在进行二次函数概念的讲解过程中，可以先进行二次函数的展示，列举二次函数的一般表达式y=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c均为常数），形如上式的方程式均为二次函数，首先让学生们对二次函数具有一定的认识，实现二次函数与方程式之间的转换；再次，通过各种的已知条件转变向学生介绍二次函数的一些基本性质，例如，在介绍二次函数图像时，可以通过实际例子画图来进行教学，这里要注意的是，一般二次函数的图像成抛物线状，但并不是所有的抛物线全是二次函数，开口向上或向下的抛物线才是二次函数，另外，可以让学生们自己进行讨论分析，当二次函数的三个常数分别满足什么条件时，函数图像是开口向上的；满足什么条件时，二次函数图像开口是向下的；满足什么条件时，二次函数会与x轴有交点，是一个点还是两个点；又满足什么条件时，二次函数与x轴没有交点，通过学生们的自由讨论引出二次函数根的性质.教师在进行二次函数讲解的过程中，要让学生明确：如果赋予x任意的值，那么y就会产生不同的值，这样的情况就说明y是x的二次函数，另外，教师还应该让学生明白二次函数的公式并不是简单的等式计算问题，而是用一个未知数x来表示另一个未知数y的变化情况，不能简单地认为是等式计算，要将学生从解方程式的思维转换到函数的理解上.

二、二次函数的教学方法

（一）培养兴趣

众所周知，数学是一门系统的、抽象的、需要较强逻辑思维的学科，它的这些特点也要求了学习该学科的学生需要有较强的逻辑思维.但是，数学又是我们初中学习中三门主要课程之一，不可否认，数学是其中最重要的学科，是每名学生的必学课程，同时也是初中考试的必考科目.教师可以通过培养学生对二次函数的学习兴趣，来提高初中数学二次函数的教学效果，通过学生对学次函数课程的高积极性，使其在课堂教学时积极地配合教师的教学，集中精力跟随教师的上课进度，积极思考教师上课时提出的问题.在初中数学二次函数的教学过程中，经常会出现教师在讲台上侃侃而谈，下面的学生却昏昏欲睡，像二次函数这样涉及大量计算和分析的科目，对于学生的接受能力来说是较难的，因此，许多学校在对二次函数进行教学讲解时出现了严重的两极化现象，有些成绩好、理解能力好的学生，上课认真听讲，认为二次函数的学习是极具挑战性的，但是对于有些本身成绩差、接受能力较弱的学生来说，二次函数是他们根本听不懂的内容，根本没有学习的必要，反正他们也听不懂.

然而，二次函数的教学绝不是要学生简单地理解它的概念和知识内容，而是要让学生学会使用它去解决问题.造成学生对二次函数的学习不积极的原因主要有以下两点：第一，是因为学生自身对其不感兴趣，学习能力、逻辑思维能力不强，找不到适合自己的学习方法，因此，上课听讲不理想；第二，二次函数的教学本身是一个枯燥、沉闷的教学过程，教师采用何种课堂教学方式是能否取得良好教学效果的关键.

（二）二次函数形象化

二次函数的学习过程是一个非常抽象的教学过程，正因其抽象性和逻辑性，使得学生在二次函数的学习上很难接受和掌握，为了学生能够很好地学习和掌握二次函数，二次函数教学形象化是一个很重要的教学方式.数学教师在进行二次函数教学过程中可以充分利用二次函数的图像讲解其基本性质，将抽象化的理论知识用实际图像来表述，便于学生的理解和想象.同时，在对二次函数进行教学时，我们还要合理地利用图像教学的优势，将其具体化，每当遇到二次函数求解时，首先根据函数方程式画一个简易的草图，培养学生画图的好习惯，通过自己所画的二次图像真正地了解二次函数，并利用其解决问题.

（三）深入了解概念

二次函数在中学三年级时开始进入学生的视野，教学目的是为了让学生懂得利用二次函数解决生活和学习中所遇到的实际问题.教师在二次函数的讲解过程中，可以列举很多实际生活中的例子，贴近学生的生活问题，让学生了解到原来二次函数在实际生活中的作用是如此之大.例如，某一杂志社要出版一本杂志，每本杂志的单价为25元，预计出版5万本.如果现在将每本杂志的单价提升百分之五，那么出版量就会减少1000本，那么杂志社要把单价设定为多少能获得较大的收益？通过这样的例子帮助学生加深对二次函数的理解.

【参考文献】

函数教学论文范文第14篇

（长江师范学院数学与统计学院，中国 重庆 408100）

【摘　要】柱函数是数学物理方法中的一个重要内容，它包括贝赛尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数。这些函数表达复杂、性质众多、计算过程繁琐，学生在学习过程中感到很困惑。特别是柱函数积分计算比微积分中的积分要困难得多，通常使用洛梅尔积分教学计算。它的特点是只涉及同类柱函数乘积的积分。而在同轴谐振腔和同轴波导教学中，我们经常要涉及不同种类柱函数乘积的积分。因此，对这类积分进行研究，得到一般公式并应用于教学。

关键词 柱函数；洛梅尔公式；积分

Discussion on Cylindrical Function Teaching

HOU Shen－yong　ZHAO Bo

(Institute of mathematical statistics, Yangtze Normal University, Chongqing 408100, China)

【Abstract】Cylindrical function is an important content of methods of mathematical physics. It includes Bessel function, Neumann function and Hankel function. Since these functions have complex expressions, lot of properties and the complicated process of calculation, students feel difficult to master them. In particular, the integral of cylindrical function by Lomel integral is more difficult than it in higher mathematics, which is usually the integral of same kind cylindrical function. However, the integral of different kind cylindrical function will appears in the teaching process of coaxial resonator and coaxial waveguide. Hence, this integral will be studied in teaching process.

【Key words】Column; Function; Lommel formula; Integration

作者简介：侯慎勇（1964.03—），男，汉族，重庆人，博士，长江师范学院，副教授，研究方向为高功率微波器件，在国内外公开刊物上发表了20余篇论文。

赵博（1979.05—），男，汉族，重庆人，硕士，长江师范学院，讲师，研究方向为数学教育，在国内外公开刊物上发表了10余篇论文。

0　引言

在柱坐标系里对拉普拉斯方程进行分离变量，人们得到了贝塞尔方程。它的解可由贝塞尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数表示[1-2]。在一般的数学物理方法的教材都给对它们的许多性质进行了详细的介绍。通过教师的讲解，学生都能够有效的掌握这些函数的性质和并且灵活的应用它们。但是，数学物理方法对柱函数的积分讲解不多，一般只介绍了贝塞尔函数的有关的积分，这对学生的后继课程的学习会带来不利的影响。因为在电动力学、电磁场与电磁波、微波工程课程中，经常会出现柱函数的积分，因此，在数学物理方法的教学中介绍一些柱函数的积分方法有助于学生对该课程学习。

本文针对这一问题，在柱函数积分的计算方面进行一些探讨。

1　柱函数的性质

在电动力学、电磁场与电磁波、微波工程的教学中，常常会出现在如图1所示的同轴圆。

Tmn（x）=AmnJm（x）+BmnYm（x）（4）

Jm（x）和Ym（x）分别是贝赛尔函数和诺伊曼函数，Amn和Bmn是与x无关的常数，Tmn（x）是贝赛尔函数和诺伊曼函数的线性组合。通常称Tmn（x）是同轴波导的柱函数。在以下的讨论中，我们介绍柱函数Tmn（x）的一些性质：

通过matlab软件画出Tmn（x）与Jm（x）和Ym（x）随x变化的图形，如图2。图中m=3，A=B=1。

从图2中，可以看到Tmn（x）与Jm（x）和Ym（x）和一样都是准周期振荡函数，而且Tmn（x）的零点在Jm（x）和Ym（x）的零点之间。这样可以帮助学生了解柱函数零点的性质。

在贝塞尔方程的教学过程中，学生都知道贝赛尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数都有以下的公式：

然而，柱函数Tmn（x）是否具有相似的性质? 在教学中引导学生证明了Tmn（x）对（5）~（7）也同样成立。

关于贝赛尔函数的积分，经常应用到的积分是洛梅尔积分公式[4]：

它主要出现在于圆波导中的相关计算中。但是，在同轴圆波导中，由于电磁场是通过（1）~（3）表示，因此，在电磁场的功率和不同模式的耦合的计算中，往往需要计算。但是，（8）~（9）式不能有效的解决这一积分的计算。为此，我们引导学生推导该积分公式：

式（10）~（11）是对洛梅尔积分公式的推广。

从式（6）~（11），我们可以发现贝塞尔函数、诺伊曼函数、汉克尔函数和柱函数Tmn（x）存在相似的性质，这些关系能够加深学生对贝赛尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数的认识，提高他们在后继课程对这些积分的计算能力。

2　柱函数的应用

在这里，通过事例说明（10）~（11）的应用。

例1　计算

解: 这个积分在同轴圆柱波导的教学中经常出现，无法使用公式（8）~（9）计算，而使用（10）~（11）可以方便的计算出个积分：

例2　在同轴圆波导和同轴谐振腔计算电磁场的功率时，会出现计算的两个积分

其中：vmn、R0是常数。

解：如果不采用公式（8）和（9），这两个积分是很困难的，而采用公式（10）和（11）时，过程就显得很简单。我们可以直接得到该积分

通过以上的推导，发现使用公式（10）和（11）能够贝塞尔函数与诺伊曼函数的乘积的积分和柱函数的积分变得容易简单。这给教学带来极大的方便，在学生后继课程的学习中对它们的学习提供一定的帮助。

3　结论

本文对柱函数的性质进行了研究，发现它与贝塞尔函数、诺伊曼函数、汉克尔函数存在相似的性质。这将有助于提高学生学习积极性，增加它们对贝塞尔函数的认识，有助于学生的后继课程的学习。

参考文献

［1］梁昆淼.数学物理方法[M].3版.北京:高等教育出版社,1998.

［2］胡崇斌.数学物理方法[M].2版.北京:高等教育出版社,北京大学出版社,2002.

［3］刘盛纲.相对论电子学[M].北京:高等教育出版社,2006.

函数教学论文范文第15篇

关键词:连续;偏导数;可微分

中图分类号:O172

文献标识码:A

文章编号:1672-3198(2010)09-0211-01

1 问题的提出

多元函数是一元函数的推广,学习多元函数微分学,一定要弄清连续、偏导数、全微分之间的关系,才能更好地掌握和使用这些基本概念。本文通过作者几年的教学实践经验,以二元函数为例,总结和完善了多元微分学几个概念间的关系和实例说明,以便给广大教师提供更有价值的参考,同时若能给正在学习的新生和正在考研的学生以点拨,将会起到很大的效果。

2 几个重要概念间的相互关系及其反例

本节首先对教材中的结果,以定理的形式加以总结,使结论更加简洁明了。并以推论的形式给出了二元函数在点(x0,y0)处连续、偏导数、可微间的关系,并给出具有代表性的例子以验证推论的正确性,使结果更加具有说服力。

定理1若函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微,则函数z=f(x,y)在点(x,y)处

(1)连续;

(2)偏导数存在,且dz=zxdx+zydy

说明:这个定理给出了全微分存在的必要条件,作为教材上的结果,本文不再加以证明。与一元函数不同,这些条件都不是充分条件。由此得到以下七个推论:

推论1:对多元函数,连续未必偏导数存在,从而也未必可微。

反例:函数f(x,y)=|x|,在(0,0)点显然连续,但fx(0,0)却不存在。

推论2:对多元函数,偏导数存在未必连续。

例如:函数

f(x,y)=xyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=0

依定义知在(0,0)处,fx(0,0)=fy(0,0)=0但函数在该点处并不连续.

推论3:偏导数存在未必可微。

例如:函数

f(x,y)=xyx2+y2 x2+y2≠00 x2+y2=0

依定义知在(0,0)处,fx(0,0)=fy(0,0)=0但函数在该点处并不可微。说明如下:

Δz-[fx(0,0)•Δx+fy(0,0)•Δy]=Δx•Δy(Δx)2+(Δy)2),

P′(Δx,Δy)如果考虑点沿着直线y=x趋近于(0,0),则

Δx•Δy(Δx)2+(Δy)2ρ=Δx•Δx(Δx)2+(Δx)2=12,

说明它不能随着ρ0而趋于0,当ρ0时

Δz-[fx(0,0)•Δx+fy(0,0)•Δy]≠O(ρ),

因此函数在点(0,0)处不可微。

尽管偏导数存在未必可微,但在偏导数都存在且连续的时候函数一定可微。即

定理2:若函数z=f(x,y)在点(x,y)处偏导数存在且偏导数连续,则函数z=f(x,y)在点(x,y)处一定可微。

推论4:函数f(x,y0)在点x=x0连续,函数f(x0,y)在点y=y0也连续,但函数f(x,y)在点(x0,y0)不一定连续。

例如:f(x,y)=0 xy≠01 xy=0.在原点就是这样。

3 结束语

正是因为由函数在某个方向上的极限存在性,并不能推出其二重极限的存在性,导致了二元函数诸多关系的复杂性。事实上,关于二元函数在点(x0,y0)处极限、连续、偏导数、可微、方向导数间的关系,可以看到反例的讨论基本都在转折点(特殊点)处。这与我们所学知识是依存的,在学习每个概念的初始阶段,我们都在强调,对于特殊点处的性质,只能按照定义去进行讨论,因特殊点处是最容易出现以外的地方。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]何鹏,俞文辉,雷敏剑.二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究[J].南昌高专学报,2005,(6).