微积分论文范文

微积分论文范文第1篇

【论文摘要】微积分是与应用联系发展起来的，它是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们学习各门学科的重要工具。

微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。以下将讲述一下定积分在计算图行面积和体积，初等数学中的一些应用。

一、在计算图形面积和立体图形体积上的应用

在学习和生活中，我们常常会遇到一些计算图形面积和体积的问题，而且这些图形大多是无规则的，对这些图形的计算，如果用我们中学的计算面积和体积的数学公式是无法解决，因为中学所学的这些公式都是对比较规则图形实用。但是我们应用了定积分，这样的问题就可迎韧而解。

1.计算平面图形的面积

例1.求抛物线y=x2与直线x+y=2所围的平面图形的面积。

分析：根据题目，我以在坐标系们可中画出y=x2和x+y=2所围的图形，即（图一）其中阴影部分就是所要求的平面图形的面积。

解：由于抛物线y=x2与直线x+y=2在A（-2，4）及B（1，1）相交，

所以S=f（x）dx，其中f（x）=（2﹣x）﹣x2（-2≤x≤1），于是有

S=[（2-x）-x2]dx=（2x--）]1-2=9/2

2.求立体图形的体积

用类似求图形面积的思想，我们也可以求一个立体图形的体积，例如求一个木块的体积，我们可以利用微元法，把木块划分成n份小块，其每一小块的体积厚度为xi，假设每一小块的横截面积为A（x）i则此小块的体积大约为A（xi）xi，从而将其所有的小块相加，我们可以得到其体积为V≈A（xi）xi，并且当其厚度xi趋于零时，由定积分定义有V=A（x）dx（其中a与b分别为计算体积时的起始值和终了值）。对于旋转体的体积，由于其平面截得旋转体的截面是一个圆，则设曲线y=f（x），其截面面积为A（x）=?仔[f（x）]2。于是，所求体积为V=A（x）dx=?仔[f（x）]2dx。

例2.一块由直线y=a和直线x=3a及弧y2=ax，（a>0a≤x≤3a）所共围成的区域，以x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？

分析：（图二）斜线区域即为题意所指的区域，其旋转积求法，可将区域ABQD的旋转体积减去区域ABCD的旋转体积，即为所求。

解：首先来求区域ABQD的旋转体积：

V1=?仔?琢xdx=?仔?琢|=4?仔?琢3

而区域ABCD的旋转体积为一个其半径为a，高为2a的圆柱体，则V2=?仔?琢2•；2?琢=2?仔?琢3

区域CDQ的旋转体积为：V=V1-V2=4?仔?琢3-2?仔?琢3=2?仔?琢3

二、在初等数学中的应用

近些年来，定积分还越来越多的被应用到初等数学中的一些问题上面来，下面就来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限方面的应用。

1.证明不等式和等式

在运用积分来证明不等式时，一般要利用到积分的如下性质：设f（x）与g（x）为定义在[a，b]上的两个可积函数，若f（x）≤g（x），x∈[a，b]，则有：f（x）dx≤g（x）dx.

例3.设n∈N，求证：1n（n+1）<1++……+<1+1nn

证明：设是i任意一自然数，则有：

dx=1n|=1n-1n=1n-1n

在区间（，）上显然有i<=idx从而得：1n-1n<………（1）

<1n-1n…………（2）

由（1）式得：[1n-1n]<，所以有1n<

由（2）式得：=1+<1+[1n-1n]=1+1n

于是，综上所述：1n<1++……+<1+1n

以上是应用定积分的性质证明不等式，下面再看关于等式的证明。（注意：在运用定积分证明等式时，要根据等式的特点，作辅助函数，然后再直接积分从而证明等式。）

例4.证明：c+++……+=

证明：设f（x）=c+cx+……+cx=（1+x）n

f（x）dx=cx+x2+……+x

同时又有：（1+x）ndx=

cx+x2+……+x=

当x=1时，可得：c+++……+=

此外，定积分还可用来求和式，根据微分与积分互为逆运算的关系，先对和式积分，利用已知数列的和式得到积分和，再求导数即可，这里就不在介绍了。

2.求数列和的极限

在实际的学习中，我们会发现在计算一些数列和的极限时，可以利用定积分的计算法来求某些可以看成是积分和式的数列极限，这样，我们可得出一种求极限的新方法：若f（x）在[a，b]上连续，将[a，b]等分为几个小区间，x=记分点为：?琢=x0于是：f（x0+ix）x=f（x）dx，并且有些数列的一般项?琢n总可以设法写成?琢n=f（x0+ix）x，因此，有些数列的极限问题，则可以转化为定积分的计算问题。

例5.求：（++……+）

解：原式=（++……+）•；＝•；

取f（x）=且在[0，1]上连续，将[0，1]分成n个小区间，则有x=，分点为：0<<<……<<=1，于是有：f（x0+ix）x=•；，由定积分的存在定理有：原式=•；=dx=1n（1+x）|=1n2。

总而言之，微积分是与应用联系发展起来的。微积分的应用推动了数学的发展，同时也极大的推动了天

文学，物理学，化学，工程学，经济学等自然科学，社会科学及应用科学各个分支中的发展，而且随着人类认识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

参考文献：

微积分论文范文第2篇

关键词多媒体微积分课堂教学课题板书教师

多媒体技术是电子时代得到广泛应用的现代科学技术手段之一，它以现代电子科学技术为依托，将各种绚丽多彩的形象、令人陶醉声音展示给人们，为我们的工作和学习带来了新的平台。

多媒体技术在教育领域，特别是中、小学教育中已经得到了较为广泛的应用，并取得了大量丰富的经验和许多喜人的成果。而在大学以高度抽象为其特点的高等数学的教学中怎样应用这一现代技术，我们通过“微积分”精品课程的建设，对它进行了较为系统与详实的实践与研究。我们对微积分第二学期的全部教学内容运用多媒体技术进行了试点，对这一方法有了更深的感悟与体会。在这里奉献给各位同仁，与大家共同进行探讨、研究。

数学是一门高度抽象的学科，离开了抽象思维、逻辑推理，就学不好数学。实际上，从开始学“1”，就已经在学习抽象思维，什么是“1”？它是从许许多多具体的“一本书、一块糖、一张床、一件物品、……”中抽象出其中共同的数量特征，赋予共同的记号“1”。在数学的学习过程中经常是只见抽象的“1”，而不见其具体是一本书、一块糖，一张床、还是一件物品、……。当然，在我们掌握了数量之间的客观规律以后，就可以回到实际问题中去，从而更好地解决具体事物的数量关系。不断地培养与提高学生的抽象思维能力正是数学学科教育的重要内容之一。

基于数学学科的这一特点，我们在设计、制作“微积分”多媒体课件的过程及实践中有以下几方面的考虑、研究、感悟及体会。

一、选择好课题

数学教学中要特别注意直观与抽象的关系，利用直观性是为了帮助学生更好地进行抽象，随着学生抽象思维能力的逐步提高，就应随之逐步减少直观性描述的方式。因此，高等数学的教学中完全没有必要每堂课都去追求用直观性、艺术性很强，但是留给学生进行抽象思维活动较少的多媒体课件组织教学工作。所以，必须认真选择多媒体课件的课题。如，在新概念引入、学生难以进行其抽象思维的教学内容，应该选用多媒体课件进行教学，以帮助学生尽快理解并掌握新知识，如数列极限的概念、导数的概念、定积分的概念等内容的教学可以采用多媒体教学。而在旧知识应用、纯数值计算等内容教学中，可以少用或不用多媒体组织教学，如求极限、求导数、求不定积分等内容的教学不适合采用多媒体教学，用传统的粉笔加黑板更便于教师和学生在课堂上进行交流。

二、多媒体课件的制作

多媒体教学的内容要以教材为基础，按照教学大纲的要求，以实现教学目标、完成教学任务的需要为目的，但又不能完全被课本所束缚。

可用于制作多媒体课件的软件很多，如PowerPoint,Authorware,Director,Flash,3DSMAX,Maya,Mathematics,Matlab,Mathcad,几何画板，课件大师，方正奥思，洪图多媒体编著系统，……，等等。可根据自己对各种软件掌握的熟练程度及教学内容表现形式的需要而选用相应的软件。由于各种软件各有其长短，为表现某些特殊演示技巧，也可以两种或多种软件搭配使用。

数学多媒体课件制作的样式可以多种多样，丰富多彩，以激发学生的学习兴趣，帮助学生理解所学知识、加深印象，促进其抽象思维能力的提高。

多媒体课件制作的一个基本出发点是以文字为基础，配合图画、声音、动画等手段，从多方面刺激学生的感官，调动学生的学习积极性，一个呆板的多媒体课件与一个形象生动的多媒体课件的教学效果显然是有着很大差别的。

课件制作过程中应注意：文字内容要简洁、突出重点；对于一屏资料，应该随着讲课内容的过程而逐步显示；文字的字体、大小、颜色的搭配要合理；文字和背景颜色搭配要醒目、易读，即使长时间注视也不易产生视觉疲劳。背景色宜用淡雅色（或直接就用白色），不宜用深色，深色背景下教室后排不易看清其文字内容。

数学多媒体课件中，图像、画面的布局要恰当，图像、画面设计应尽可能大一些，图的主要内容最好处在屏幕的视觉中心，以便于学生观察。较复杂的图形要逐步显示，这样既便于教师逐步讲解，又不至于使学生分散注意力抓不住重点。

动画手段的运用要有美感。动画最好设计重放按钮，教师可根据教学实际，重复播放。

在数学多媒体课件中音乐和音响效果不能用得过多，音乐节奏要与教学内容相符。重点内容处可选择舒缓、节奏较慢的音乐，以增加感染力，过渡性内容可选择较轻快的音乐，不要选择节奏强烈、过分激昂的音乐。

课件的设计不能为了表演多媒体制作技巧而过于花俏，以至于喧宾夺主，使学生只去欣赏其艺术性而忽略了其学习的主要内容。

三、“板书搬家”的合理运用

“板书搬家”是指把本来在黑扳上面书写的内容写到幻灯片上，然后在多媒体演示屏幕上放出来的一种最简单的多媒体应用手段。目前，大家对这一简单方法的应用贬多褒少。我们觉得在微积分的课堂教学中，还是有它的用武之地，如在学生人数比较多的大教室上课时；在进行旧知识复习、习题课教学时；在课时内容量比较丰富，且没有太多的较难接受的抽象概念，为减少教师的板书时间，以增加单位课时教学信息量时，这种方法还是可取的。如果条件具备，每堂课都可以使用多媒体设备进行教学，“板书搬家”在大学数学教学中将会经常出现。这样一来，教师和学生都可以少吸入许多粉笔灰，对大家的身体健康也大有益处。当然，由于屏幕显示速度比教师板书速度快得多，以至于抢占了学生当堂进行思维活动的时间，必要时，可以采用模拟板书逐字显示等方式来增加显示时间，以降低屏幕显示速度，给学生留点思考问题的时间。

四、多媒体教学方法对教师的要求

多媒体课件是在一定的学习理论指导下，根据教学目标设计的、反映某种教学策略和教学内容的计算机软件。一般来说，课件都是由授课教师自行设计的。而一堂比较成功的数学多媒体课件的制作是相当费时、费力的，对教师的要求很高。除了要有丰富的数学教学经验外，还要有一定的计算机能力，至少要熟练掌握两、三种多媒体制作软件；要具备一定的美术能力；要有一定的音乐素质。

五、一些思考

如何提高多媒体课件的质量和制作效率是一个比较迫切的现实问题。目前，教师队伍中计算机能力强，教学经验又丰富的专业教师不是很多，教学、科研工作都很忙，认真制作某些重点内容的多媒体课件已属不易。要在短期内，以个人的时间和力量制作出成套教材的高质量的多媒体课件几乎是无法完成的事情。在目前的条件下，可以组织专业集体群策群力、分工协作，每位教师承担部分多媒体课件的制作任务。在具体制作过程中要尽量减少重复性的劳动，要充分利用已有的软件素材和工具，充分利用互联网上的信息资源，一方面搜集了有关的信息素材，另一方面通过浏览也可以使我们开阔眼界，提高相应的业务水平与能力。当然，最好能有较高层次的权威部门专门组织开发的模块式、开放型、多功能的多媒体教学课件，供教师自由组合、增添、删减，以适应各种教学风格的需要。

教师的思维模式及教学方法如何去适应与利用多媒体工具。当前，以计算机多媒体为代表的现代教育手段正得到越来越广泛的应用，社会的发展要求教师必须跟上时代的步伐，要深入理解“现代教育手段”的应用给教育、教学带来的变革，在教学思维模式及教学方法上也必须有所创新。

微积分论文范文第3篇

关键词：极限思想；辨证哲学；对立统一

0引言。

微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。

1极限思想与辩证哲学的联系。

1.1极限思想是变与不变的对立统一。

“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。例如，平面内一条曲线C上某一点P的切线斜率为kp。除P点外曲线上点的斜率k是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率K，斜率k不可能等于kp，k与kp是变与不变的对立关系；同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。当曲线上的点无限接近P点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近。当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不变的统一关系。

1.2极限思想是过程与结果的对立统一。

过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。在上例中，当曲线上的点无限接近点P的变化过程中，k是变化过程，kp是变化结果。一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P重合，同样曲线上变化点的斜率k也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k越来越接近kp，二者之间有紧密的联系，无限接近的变化结果使得斜率k转化为kp，这体现了过程与结果的统一性。所以，通过研究曲线上点斜率k的变化过程得到P点的斜率kp就是过程与结果的对立统一。

1.3极限思想是有限与无限的对立统一。

在辨证法中，有限与极限是对立统一的。无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展，同时借助极限法，从有限认识无限[2]。例如，在极限式limn∞xn=a中xn对应数列中的每一项，这些不同的数值xn既有相对静止性，又有绝对的运动性。数列中的每一项xn和a都是确定不变的量，是有限数；随着n无限增大，有限数xn向a无限接进，正是这些有限数xn的无限变化，体现了无限运动的变化过程，这种无限运动变化结果是数值。因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，他们既是对立又是统一的。

1.4极限思想是近似与精确的对立统一。

近似与精确是对立统一的关系，在一定条件下可相互转化，这种转化是理解数学运算的重要方法[2]。

在极限抽象的概念中，引入实例如“圆内接正多边形面积”，其内结多边形面积是该圆面积的近似值，当多边形的边数无限增大时，内结多变形面积无限接近圆面积，取极限后就可得到圆面积的精确值，这就是借助极限法，从近似认识精确。又如在极限式limn∞xn=a中，当n无限增大时，数列的项x1，x2，…，xn反映变量xn无限的变化过程，而a反映了变量xn无限变化的结果，每个xn都是a的近似值，并且当n越大，精确度越高；当n趋于无穷时，近似值xn转化为精确值a。虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念，但是通过极限法，建立两者之间的联系，在一定条件下可以相互转化。因此近似与精确既是对立又是统一的。

1.5极限思想是量变与质变的对立统一。

在唯物辨证法中，任何事物都具有质和量两个方面，都是质和量的统一体。质是指事物成为它自身并区别于其他事物的内在规定性，量是指事物存在的规模、发展程度和速度，以及它的构成成分在空间上的排列组合等可以用数量来表示的规定性[3]。量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系。量变是质变的准备，量的变化达到一定的度，就不可避免地引起质变，只有质的变化才是事物根本性质的变化，量变质变规律在数学研究工作中起重要作用[4]。对任何一个单位圆的内接正多边形，事物的质是圆的内接多边形，量是内接多边形的边数，当边数无限增加，得到的仍是圆内接正多边形，是量变，不是质变，量变体现事物发展的连续性，在事物量变过程中，保持事物本身质的稳定性。但当边数增加的无限过程中，由于量的动态变化，多边形越来越接近圆，为质变创造条件，多边形面积就变转化为圆面积，促进量质转化，达到矛盾统一。

1.6极限思想是否定与肯定的对立统一。

任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的对立统一。单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面，内接正多边形是事物对自身的肯定，其中也包含着否定，这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形边数的改变而体现的。随着圆内接正多边形的边数逐渐增加至无穷时，内接多边形的面积转化为该单位圆的面积，促使该事物转化为自己的对立面，由肯定达到自身的否定，这体现了否定与肯定的对立；圆的内接正多边形和圆虽是两个对立的事物，但是二者之间有紧密的联系，圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积，而单位圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的，从而建立了这二者的联系，体现了否定与肯定的统一。超级秘书网

2极限思想与辨证哲学的研究意义。

在唯物辩证法中，客观事物之间相互影响、相互制约和相互作用的关系无处不在，即使是性质完全不同、矛盾对立的两个事物，也都有其相互联系的一面。所以，在微积分的学习过程中，不容忽视唯物辩证法普遍联系思想的渗透。辩证思维在数学思维中的渗透和理解，其实质就是按照唯物辩证法的原则，在联系和发展中把握认识对象，在对立统一中认识事物。通过上述分析，极限思想贯穿唯物辨证哲学的范畴，它揭示了变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变的对立统一[4]。我们在理解极限思想时必须把单一、封闭、静态的形式逻辑思维提高到多维、开放、动静态相结合的辩证逻辑思维。数学思维与哲学思想的融合是学好数学的高层次要求，领悟数学思维中的哲学思想和在哲学思想的指导下进行数学思维，是提高学生数学素养、理解数学知识，培养学生数学能力的重要方法和手段[5]。

参考文献：

[1]沈长华：《微积分概念的发展及其哲学解析》[D]；《兰州大学硕士学位论文》2007:10－15。

[2]吴振英、陈湛本：《论极限的思想方法》[J]；《广州大学学报》2003（10）：410－412。

[3]王娟：《微积分教学中哲学思想的渗透》[J]；《高等函授学报》2007（12）：8－10。

微积分论文范文第4篇

关键词：模式方法，极限，微分，积分，分段函数

 

每年在教学过程中都会遇到许多同学学习微积分感觉困难的问题，其中一个主要原因就是同学们没有顺利完成从初等数学到高等数学的相应转变，而这里面学习方法的转变又是一个关键。对于初次接触大学数学--微积分的大一新生而言，在微积分学习过程中，掌握相关的几个重要“模式”就显得尤其重要了。下面就在一元函数微积分学习过程中所遇到的几种“模式方法”进行探讨。

一、关于极限

众所周知，函数是微积分的研究对象，极限是微积分的研究工具，它贯穿微积分的始终，掌握好函数的极限这一工具，对微积分的学习有着举足轻重的意义。

1．有理函数极限模式

当自变量时，比如对有理函数极限（其中分子和分母均为多项式）而言，该“模式”的特点为：若分母的极限， 则；若分母的极限，而，则；若，则分子分母定可找到相同公因式，约分化简后再按上述两步继续讨论。即，

另外当自变量时，极限取决于分子分母的最高次项的次数，当次数相等时，极限为分子分母最高次项的系数比；当分母的次数高于分子的次数时，极限；当分母的次数低于分子的次数时，极限。论文参考，微分。

2、两个重要极限模式；

第一重要极限模式有两个显著特点：作为分子的正弦函数所包含的表达式要和分母的表达式完全一样；该一样的表达式为在某一变化过程中的无穷小量；结论：该极限为1，即。论文参考，微分。此处需要注意的是，不论自变量是在在何种变化过程下，只需保证表达式即可。论文参考，微分。

第二重要极限亦具有两个类似的特点：底数一定要是1加上某个表达式，而指数是底数所加表达式的倒数；指数部分的表达式要为无穷大。结论：该极限值等于。即。对第二重要极限需要注意的是，在幂指函数的极限中，若底数可分离出1加某个表达式，且该表达式为无穷小，则其一般可以凑出第二个重要极限的模式。

3、无穷小等价替换模式

等价无穷小是一个非常有用的知识点，既然等价，我们就可以替换，从而就有了“无穷小等价替换模式”。该模式一般应用于分时极限，是仅在乘除法时使用，即若，（其中）。

二、关于微分

微分是微积分这门课程的重要构成部分，微分最核心的部分可用微分模式来概括，即函数的微分等于该函数的导数乘以自变量的微分。比如，函数的微分。这里需要强调的是微分一定等于导数乘以自变量的微分，而自变量的微分一般是初学微积分者易于忽略掉的地方

另外，即便是复合函数的微分也遵循这一模式：例如，复合函数的微分

三、关于积分

积分这部分有两个模式是非常重要的

1、奇零偶倍模式，完整的描述为奇函数在对称区间的积分为零，偶函数在对称区间的积分等于2倍的的积分。即

该模式对于计算对称区间上的定积分非常有用，可以节省诸多时间。

例：，其实该积分是不需要利用区间可加性去讨论去掉积分符号的。

2.积分上限函数模式（变上限定积分模式）

这里其实是只讨论积分上限函数的导数的求法，该模式的内容为积分上限函数的导数等于把积分上限带入被积函数后再乘以积分上限的导数。

例：

四、关于分段函数

微积分还有一个能够令初学者非常困惑挠头的地方，那就是讨论分段函数在分段点的极限、连续性、可导性的问题，此处由于都与分段函数有关，从而可归纳为“分段函数模式”。

“分段函数模式”的特点：一定要利用相应的定义（或相应的充要条件）去研究函数在其分段点处的极限、连续性与可导性。论文参考，微分。

分段函数在分段点处的极限左、右极限存在且相等；

分段函数在分段点处连续左、右连续；

分段函数在分段点处可导左、右导数存在且相等。论文参考，微分。

其中，左右极限，左右连续，左右导数一定要用相应的定义去求解或判断。论文参考，微分。

例：讨论函数在处的的连续性。

解：错误解法，，所以函数在处连续。错在忽略 函数在处左右两侧的表达式不一样这个问题。而利用“分段函数模式”解法：，右连续；

，不左连续，从而函数在处不连续。

例：讨论函数在处的导数。

解： 从而。

这种方法显然是错误的，而一旦我们应用“分段函数模式”，这种错误就可以避免。

，

。

显然在处不可导。

参考文献

[1]同济大学数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2007。

[2]赵树嫄，微积分[M]，北京：中国人民大学出版社，2007。

微积分论文范文第5篇

关键词：模式方法，极限，微分，积分，分段函数

 

每年在教学过程中都会遇到许多同学学习微积分感觉困难的问题，其中一个主要原因就是同学们没有顺利完成从初等数学到高等数学的相应转变，而这里面学习方法的转变又是一个关键。对于初次接触大学数学--微积分的大一新生而言，在微积分学习过程中，掌握相关的几个重要“模式”就显得尤其重要了。下面就在一元函数微积分学习过程中所遇到的几种“模式方法”进行探讨。

一、关于极限

众所周知，函数是微积分的研究对象，极限是微积分的研究工具，它贯穿微积分的始终，掌握好函数的极限这一工具，对微积分的学习有着举足轻重的意义。

1．有理函数极限模式

当自变量时，比如对有理函数极限（其中分子和分母均为多项式）而言，该“模式”的特点为：若分母的极限， 则；若分母的极限，而，则；若，则分子分母定可找到相同公因式，约分化简后再按上述两步继续讨论。即，

另外当自变量时，极限取决于分子分母的最高次项的次数，当次数相等时，极限为分子分母最高次项的系数比；当分母的次数高于分子的次数时，极限；当分母的次数低于分子的次数时，极限。论文参考，微分。

2、两个重要极限模式；

第一重要极限模式有两个显著特点：作为分子的正弦函数所包含的表达式要和分母的表达式完全一样；该一样的表达式为在某一变化过程中的无穷小量；结论：该极限为1，即。论文参考，微分。此处需要注意的是，不论自变量是在在何种变化过程下，只需保证表达式即可。论文参考，微分。

第二重要极限亦具有两个类似的特点：底数一定要是1加上某个表达式，而指数是底数所加表达式的倒数；指数部分的表达式要为无穷大。结论：该极限值等于。即。对第二重要极限需要注意的是，在幂指函数的极限中，若底数可分离出1加某个表达式，且该表达式为无穷小，则其一般可以凑出第二个重要极限的模式。

3、无穷小等价替换模式

等价无穷小是一个非常有用的知识点，既然等价，我们就可以替换，从而就有了“无穷小等价替换模式”。该模式一般应用于分时极限，是仅在乘除法时使用，即若，（其中）。

二、关于微分

微分是微积分这门课程的重要构成部分，微分最核心的部分可用微分模式来概括，即函数的微分等于该函数的导数乘以自变量的微分。比如，函数的微分。这里需要强调的是微分一定等于导数乘以自变量的微分，而自变量的微分一般是初学微积分者易于忽略掉的地方

另外，即便是复合函数的微分也遵循这一模式：例如，复合函数的微分

三、关于积分

积分这部分有两个模式是非常重要的

1、奇零偶倍模式，完整的描述为奇函数在对称区间的积分为零，偶函数在对称区间的积分等于2倍的的积分。即

该模式对于计算对称区间上的定积分非常有用，可以节省诸多时间。

例：，其实该积分是不需要利用区间可加性去讨论去掉积分符号的。

2.积分上限函数模式（变上限定积分模式）

这里其实是只讨论积分上限函数的导数的求法，该模式的内容为积分上限函数的导数等于把积分上限带入被积函数后再乘以积分上限的导数。

例：

四、关于分段函数

微积分还有一个能够令初学者非常困惑挠头的地方，那就是讨论分段函数在分段点的极限、连续性、可导性的问题，此处由于都与分段函数有关，从而可归纳为“分段函数模式”。

“分段函数模式”的特点：一定要利用相应的定义（或相应的充要条件）去研究函数在其分段点处的极限、连续性与可导性。论文参考，微分。

分段函数在分段点处的极限左、右极限存在且相等；

分段函数在分段点处连续左、右连续；

分段函数在分段点处可导左、右导数存在且相等。论文参考，微分。

其中，左右极限，左右连续，左右导数一定要用相应的定义去求解或判断。论文参考，微分。

例：讨论函数在处的的连续性。

解：错误解法，，所以函数在处连续。错在忽略 函数在处左右两侧的表达式不一样这个问题。而利用“分段函数模式”解法：，右连续；

，不左连续，从而函数在处不连续。

例：讨论函数在处的导数。

解： 从而。

这种方法显然是错误的，而一旦我们应用“分段函数模式”，这种错误就可以避免。

，

。

显然在处不可导。

参考文献

[1]同济大学数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2007。

[2]赵树嫄，微积分[M]，北京：中国人民大学出版社，2007。

微积分论文范文第6篇

关键词：集合 函数 随机变量 分布函数 积分 微分

中图分类号：TS1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）03（a）-0242-02

微积分与概率论是两门非常重要的数学学科，均是高等学校理工专业的必修课程，为后续专业课提供必要的数学工具。虽然两者发展路径不太一样，但两者间确有着密切的关系，可以说微积分是概率论的地基，概率论是微积分的延续，大学课程里也是先开设微积分，后开设概率论，所以进一步揭示微积分在概率论中的渗透，并将微积分的思想与方法巧妙的应用到概率论的中去，是我们值得关注的问题，本文将从几个方面阐述微积分在概率论中的应用。

1 集合在概率论中的应用

勒贝格积分建立了测度论与集合论之间的关系，从而有了概率论，而集合论与微积分之间是源和流的关系，可以说是微积分加速推动了概率论的形成。

概率论的主要研究对象是随机试验，随机试验的结果不唯一，把其所有结果组合在一起就构成了一个集合，也就是样本空间，我们关注的随机事件便成了这个集合的子集，本质上还是集合，后面便顺理成章的用集合间的关系与运算来处理事件间的关系与运算，早期数学家们研究的古典概型也是有限集合的应用，集合论的渗透使得概率论得到了突飞猛进的发展。

2 函数在概率论中的作用

概率论中无处不渗透着微积分中的函数思想。

（1）随机事件。是一个集合，事件发生的概率就是定义在事件集上的一个集函数。

（2）随机变量是定义在样本空间上的一个集函数，是概率论最重要的概念之一，它实现了从样本空间到实数的一个过渡，从某种程度上结束了概率的古典概型时代，把概率论推上了更加宽广的道路。

（3）为一个随机变量，为一个实数，函数称为的分布函数，此函数也是概率论的又一重要概念，它描述了的取值规律性，并且具有非常好的函数性质：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导等，因此微积分中的很多函数方法便可以顺利的进入概率论领域，此外连续型随机变量的概率密度也是概率论引入的另一重要函数。

概率，随机变量，分布函数与概率密度都是函数，在这些对应关系下，概率论的研究道路越走越顺畅，这也是微积分对概率论起到的至关重要的作用。

3 积分、微分在概率论中的作用

连续型随机变量最大的亮点就是引入了概率密度函数，建立了概率与的关系，此关系的也可用分布函数与同时来表示：，在的连续点上，对上述表达式求导，即得：。

因此，概率论中连续型随机变量的相关问题从某种程度上转为了微积分问题，比如，连续型随机变量的概率，数学期望，方差等定义及其计算全部用微积分解决。

4 微积分的计算方法在概率论中的作用

概率论的很多问题均转化为微积分问题，所以一些微积分计算方法便在概率论中得到了应用，现举例说明。

例1：设服从参数为的poisson分布，求其数学期望。

解：法一 利用微积分殊函数的展开式。

5 微积分在概率论中的其它一些应用

（1）分布函数的性质： 看似两个简单的结论，其实严格证明还得用到微积分的极限问题；概率论中的大数定律与中心极限定理用到的也是微积分中的极限。

（2）概率论中多维连续型随机变量的函数的概率分布是一个难点，但引入合适的雅可比行列式可以将复杂的问题简单化。

（3）微积分中的一些特殊函数在概率论中也有着广泛应用，如函数，借用它，我们定义了概率论中的两个重要分布：分布与分布。

微积分有着几百年的历史，已经非常完善，也许这也是为什么数学家们用微积分解决概率论问题的原因之一，微积分确实推动了概率论这门学科的快速发展。反之，概率论的很多思想也可以用于解决复杂的微积分问题，希望我们可以发现更多的方法，用于两者的共同发展。

参考文献

[1] 王大胄.例谈概率论与微积分的联系及相互间的应用[J].沈阳工程学院学报：自然科学版，2008，4（3）：283-286.

[2] 刘淼.概率论与数学分析知识的相互作用[J].伊犁师范学院学报，2006，9（3）：5-9.

微积分论文范文第7篇

[关键词]概率论；微积分；应用

[中图分类号]O172[文献标志码]A[文章编号]2096-0603（2017）36-0182-02

概率论主要是在高等数学教学后开设的数学课程之一，不属于高等数学的后續，在一定程度上属于微积分思想的一种延伸，这也进一步形成了新数学研究项目与内容。概率论知识在发展过程中与微积分有较大差距，概率论主要是对数学中随机变量方式进行深入研究，并逐渐成为随机数学知识的主要体现与代表，与微积分知识有相同的重要位置与作用，较好地提高了数学研究的生命力，促进数学研究的不断发展与完善。

根据这一问题我们可以得知机械设备在t0时间段正常进行工作，进一步可知其相应的初始条件为P（0）=1，在将相应的条件进行带出，可得知c=1，解得P（t）=e-at，因此该机械设备在t0至t0+t时间段中，机械设备正常运行的概率为e-at。

这一问题主要属于概率论中对概率求解的问题，在求解过程中，对微积分理论中极限思维知识进行了充分运用，在一定程度上较好地证明了概率论知识与微积分知识之间具有较为密切的联系。与此同时，在对概率论中期望值与方差进行充分计算期间，也对微分方法进行了科学与灵活的使用。

综上所述，对概率论中微积分思想的应用进行深入研究期间，主要对概率论中微增量知识的使用、概率论中数量级的使用、概率论中Γ（α）函数指数的运用等概率论问题进行了充分分析，证明了微积分思想与概率论之间的密切联系。同时微积分思想在概率论中的应用还有较大的空间范围，对概率空间的创建也有较大的作用。其中，微积分知识也属于概率论形成的主要基础，对概率论知识的使用也可将微积分思想进行丰富。

参考文献： 

[1]宋殿霞.基于概率论与微积分的知识关联的教学研究[J].现代商贸工业，2016（34）：368-369. 

微积分论文范文第8篇

关键词：微分方程积分因子 充要条件

【中图分类号】G642

求解一阶常微分方程有常数变易法，积分因子法，积分变换法，幂级数法。由于后两种方法运用起来比较复杂，大多数教材对后面两种方法仅有简单的介绍。常数变易法从给定方程对应的齐次方程得到通解从而得到原方程的解，思想巧妙，运用简便，但就其原理理解起来觉得突兀。而积分因子法从微分方程基本原理出发，从给定方程本身就可以得到微分方程的解。

一：基本知识

1、全微分方程

求解一阶微分方程

其中 是单连通区域内 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。若存在某个二元连续可微函数 ，使得方程 的左端为 的全微分，则称方程 为全微分方程。

定理1称微分方程 为全微分方程当且仅当方程满足条件 。

此时存在二元连续可微函数 ，使得 ，方程通解为 。

2、积分因子

当 ，在该区域寻找一个可微的非零函数 使得方程 为全微分方程，即 ，则称 为方程 的积分因子。

二、积分因子的性质及形式

定理2方程 的积分因子存在，且不唯一。设 为方程 的积分因子，则对任何可微函数 ，函数 也是方程 的积分因子。

证明： 是方程 的积分因子，所以

，

定理3 为方程 的积分因子充要条件为 。

证明： 为方程 的积分因子，即满足条件 ，展开即得 。

定理4方程 具有形如 积分因子充要条件是

，

其中 仅是 的函数，且

证明：由定理3知方程 具有形如 积分因子充要条件是，

即 ，

记 ，则 ，即 （其中 ，取 ，即得公式 ）

三:讨论几种特殊类型的积分因子存在的充要条件

结论1一阶微分方程 具有形如 的积分因子的充要条件

注：1、当 仅与 相关，即当 ， 时，由定理4知充要条件是 。当 仅与 相关时同理可得相应结论。

2、当积分因子形如 时的充要条件

结论3一阶微分方程 具有形如 的积分因子的充要条件

注：当 时，则 。

结论4一阶微分方程 具有形如 的积分因子的充要条件

注：形为 的积分因子充要条件是

结论5 一阶微分方程 具有一种乘积形式积分因子 存在的充要条件是 ＋ ，其中 ， 。

注：形如 的积分因子的充要条件是

结语

积分因子法是求解一阶线性微分方程的重要方法，应用上没有局限性，解题目的明确，而且建立在已学的数学知识之上。本文在给出积分因子法的一般结论之后，针对一些特殊类型的积分因子形式存在的充要条件进行概括，并将这些理论应用推广到一些常见的积分因子形式，对积分因子法做了有效的归纳总结，对初学者将有很大帮助。

参考文献

[1]丁同仁,李承治. 常微分方程教程(第二版)[M]. 高等教育出版社. 2004

[2]韩祥林,陈星海. 一类积分因子的存在条件及应用[J]. 高等数学研究. 2012(05)

[3]徐彬. 一阶微分方程具有一种乘积形式积分因子的求解[J]. 黄冈师范学院学报. 2009(06)

[4]李荣江. 一阶对称形非恰当方程的分组积分因子法[J]. 数理医药杂志. 2009

[5]汤光荣,易其国. 对常微分方程积分因子问题的推广[J]. 抚州师专学报. 2000（12）

微积分论文范文第9篇

关键词： 微积分 特点 教学方法

一、微积分的特点

1.可以使状态与过程统一。

微积分是十七世纪数学所达到的最高成就。微积分出现以后，逐渐显示出它非凡的威力，过去许多数学家束手无策的问题，至此迎刃而解。恩格斯指出:“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明过程:运动。”然而，在十九世纪以前，微积分理论历史发展始终包含着矛盾:一方面纯粹分析及其应用领域中呈现出一个接一个的伟大发现与成就，另一方面则是基础理论的含糊性。事实上，无论是牛顿还是莱布尼兹，他们对微积分所作的论证都是不十分严谨的和清楚的。在欧洲大陆方面，莱布尼兹的含糊也招致了尼文，荷兰哲学家的反对。荷兰的物理学家和几何学家纽文也就一系列问题公开提出质问:无限小量与零怎样区别?无限个无限小量之和为什么能够是有限量?在推理过程中为什么能舍弃无限小量?包括一大批数学家也群起而攻之。尽管他们承认微积分的效用，欣赏微积分的美学价值，但却不能容忍这种方法的理论本身如此含糊甚至令人感到荒谬。法国数学家罗尔微积分为:“巧妙的谬论的汇集。”法国思想家伏尔泰则说微积分是一种“精确的计算和度量其存在无从想象的东西的艺术”。贝克莱和尼文太对微积分的攻击纯粹是消极的，他们虽然没有给微积分以严格的基础，但他们的论点都有一定道理，在一定程度上它激励了微积分进一步的建设性工作。例如突变函数论、非线性泛函分析等学科的建立。因此，人们追求数学美，以达到精神上的愉悦，而这一点正是通过数学家经由数学的“神秘美”、“奇异美”和“朦胧美”，而最终达到完备的“统一美”和“和谐美”。

2.可以使分析与几何统一。

微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在还是产生于纯思维的问题。唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。唯心主义认为纯数学产生于纯思维。全部纯数学可以先验地，不需利用外部世界给我们提供的经验，而从头脑中构思出来。杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是这种观点的代表。牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。他们分别在研究质点运动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学，各自独立地创立了微积分。这个功劳是应该肯定的。但是，他们没有很好地注意到微积分同现实世界的亲缘关系。其运算出发点是先验的。所以，马克思把牛、莱的微积分称为“神秘的微分学”唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学。恩格斯指出：“数学是从人的需要中产生的。”微积分是从生产斗争和科学实验的需要中产生的。生产实践对微积分的创立起着决定性作用。从十五世纪开始，资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。到十七世纪，资本主义生产方式有了巨大发展。随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。它们跑出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。微积分的创立就是为了处理十六、十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。

3.可以是极限理论成熟。

中国《庄子・天下篇》中“一尺之棰”、Zeno悖论、Endoxus的“穷竭法”、刘微的“割圆术”等和极限思想有直接关系，但这些都只能说是对极限有些模糊认识而已。十八世纪，许多数学家为维护微积分的应用价值和美学价值，在回击来自数学界内外的攻击同时，竭尽所能使微积分在理论上严密化、逻辑化，在形式上更趋完美。在十八世纪前期，许多数学家，尤其是英国数学家总是企图使微积分与欧几里得几何结合起来，他们试图借助于几何学中论证之严谨体系去完善微积分。但这一努力是失败的，打破这一僵局的大数学家欧拉，他以代数方式研究微积分，力图用形式演算方式代替累赘的几何语言，使微积分建立在算术和代数基础上。达朗贝尔把牛顿的“最终比”发展为一种极限概念，并试图用极限加以定义和说明。他认为应以极限理论作为微积分的理论基础，这一思想在数学界产生了极其深远的影响。直到1821年以后，柯西出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中应用》这几部具有划时代意义的名著之后，微积分一系列基础概念及定理正式地确定下来。自此以后，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和概念也建立较坚实的理论基础之上――极限理论。我们现在所谓的极限的柯西定义经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西把整个极限过程用不等式来刻画，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。维尔斯特拉斯将柯西的不等式进行了整理，形成了微积分的严谨之美。

二、微积分教学的方法

1.不断加强变量概念的教学，树立以变量为思维对象的数学观。

由于学生在长期的数学学习中接触的均为常量，即使在学习阶段系统学习函数、自变量，并研究了一些基本函数的性质和图像，但其思维和认识方式仍然比较习惯于常量，常量数学在头脑中已根深蒂固。所以在组织教学时，需加强变量概念的教学，让学生逐步熟悉和适应变量，并能思考变化过程。当然，这就需要我们在教学中要特别注意将变量及其变化讲解清楚。

2.要以直观描述为主，鼓励“合情推理”和“合情猜想”。

这也是我认为的微积分在中学教学中较为合理的定位。对此部分的教学应当以直观性的描述为主，以掌握方法、计算为主，对理论上的严谨性不宜要求过高，更无须严格的证明。涉及的一些概念和结论，既要使学生正确地理解和掌握，又要适可而止。例如，极限中最基本的一个结论，学生通过作图很容易从孤立点的变化趋势得到此结论。

3.防止微积分教学退化成仅让学生记住一些公式和结论。

考虑到学生的实际水平，不需要在理论上过分要求严格。但无论是用直观图形引入还是给予一定的推理，都应让学生主动地参与，引导学生观察和发现图形的“变化趋势”或亲自动手进行推导。这样才有利于培养学生的“变量思维”，感受微积分的内涵和与初等数学的差异。否则，如果为了“体贴”学生或纯粹的“应试心理”，微积分教学变成了让学生在不理解的状况下死记一些公式和结论，那么微积分教学就失去了意义和价值，学生的能力也不会得到提高。

微积分有着鲜明的本原问题，是十分深奥的，如何能精准地理解微积分，并能把他们应用到教学中，教师应该不断学习，不断深化地去理解、领会。

参考文献：

微积分论文范文第10篇

【关键词】微积分；发展；高等数学

微积分对于高等数学的意义非常重大.一方面，微积分是所有高等数学知识的基础，如学习线性代数和概率，学生都要掌握微积分知识.另一方面，微积分是前人为了解决实际生活中的难题而发明的，所以微积分与实际生活密不可分.对于科技的发展，知识是前提，微积分涉及生活中的各个学科领域，所以，高等学校的学生要想更好地适应科技发展，就必须学习和掌握微积分知识.

一、微积分的发展

微积分主要包括极限、微分学、积分学.早在古希腊时期，学者阿基米德在研究有关球的问题时就已经涉及了积分学.至于极限学，作为微积分研究的基础，早在我国古代就已经开始应用，只不过那时人们没有将它单独规范为一门学科.

微积分的发展历史就是一部人类对自然认知的过程史.17世纪，人类的知识体系还不是很完善，对于一些计算问题束手无策，这就要求人类找到一种科学方法来解决这些疑问，于是科学家们开始研究微积分.困扰当时人类的难题主要为四类，第一类问题出现在物体运动中，即速度问题.第二类问题出现在曲线中，即曲线的切线问题.第三类问题出现在函数中，即函数的极值问题.第四类问题出现在力学中，即两个物体之间的作用力问题.人类的求知欲引导着科学家进行漫长的探索.

17世纪，各个领域的科学家在微积分领域开始了研究，他们的国度不同，语言不通，信仰不同，但对于研究的目标是一致的，那就是解决问题，虽然没有最终总结出完整的理论，但他们的探索为后世的研究奠定了道路，也为微积分学说的提出作出了不小的贡献.

17世纪中叶，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨经过总结前人成果和自己的不断探索终于提出了微积分学说，但还只是初步.直到1671年牛顿写了《流数法和无穷级数》，提出了微积分的主要思想.1684年莱布尼茨发表了《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，这本书提出了精确的数学符号，也规范了微积分学说.

19世纪初，以柯西为首的法国科学家，开始整理前人的微积分理论，并建立了极限理论.后来维尔斯特拉斯又经过深入研究，最后终于完善了微积分理论.

从微积分漫长的发展史可以看出，微积分的发展过程就是人类对自然认知的过程，人类解决任何问题都是从直观的认识开始的，运用抽象思维，最终将问题由感性认识成功转化为理性结论.其实，高等数学的教学也是这样，下面从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点教学建议.

二、从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点建议

（一）教导学生认识微积分的重要性

微积分是高等数学教育的基础，是每个大学都会开设的一门基础学科.然而，学生们学习微积分，往往是为了应付考试，根本就无法将其应用到实际生活中.针对这一点，微积分教学时，教师首先应该帮助学生端正自己的学习态度，只有持有一个端正明确的学习态度，学生们才能真正用心地去学习微积分.微积分课程一般被安排在大学一年级，而一年级正是学生们刚刚步入大学的时期，对于微积分这类复杂的数学知识学生们还没有太合理的数学思维去适应并掌握它，且微积分理论不仅难于理解还很枯燥乏味，对于学生们和老师来说都感觉“食之无味，弃之可惜”，最后的结果就是为了应对考试而只能硬着头皮死记硬背.教师应该让学生明白微积分并不仅仅是一个数学知识，它还是解决很多实际问题的金钥匙，学生们要想做一个对社会有用的人，就要端正学习态度，绝对不能知难而退，要打好高等数学的基础，就要认真学习微积分.

（二）理论联系实际，具体地教授学生微积分知识

抽象的理论很难被学生接受，尤其是微积分这种生涩的知识，更是不易掌握.针对这一点，应该多借鉴微积分的发展史，科学家开始也只是借鉴了生活中的实例，高等教学也可以这样做，可以引进一些恰当的教学模型，如讲解极限时，可以借助球体.这样不仅让学生听到讲解，也要学生看到讲解的过程，便于学生全

面的掌握知识.如在高等数学微积分的教学中曾出现这样一个问题：已知圆柱体的侧面和底面的厚度相同，而顶部厚度为侧面厚度的2倍，容积为V=3π，求这个圆柱体的高和底面的直径的比？传统的教学中，教师直接运用公式解答，最后学生们听得一头雾水；而按照本文所说的教学模式，教师可以先找一个易拉罐来当模型，然后让学生们实际接触并加以研究，理论结合实际，一定会有助于学生建立良好的数学模型.

结束语

人们总是善于从生活中发现并提取知识，并从感性认知成功地过渡到总结并提出理性观念，微积分学说的成功提出正是验证了这一点，我们在做任何事时都是重复着这一过程.高等数学微积分教学是一个艰巨的任务，不仅考验学生的认知能力，也考验教师的传授方式，只有提高学生对微积分的认识，再将理论与实际有机地结合起来，才能帮助学生掌握微积分理论.

【参考文献】

微积分论文范文第11篇

关键词：微积分 教学内容 教学方法 教学改革

中图分类号：G642 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.13.098

随着社会经济的发展，社会对财会金融专业的人才需求量不断增大的同时，对这类人才的能力要求也进一步提高。除了要求他们具有丰富的专业知识分析金融现象外，更希望他们能够通过数学建模，理论分析，数值计算找到金融现象的内在规律，从而更好地指导实践操作。为了适应社会的这一发展需要，各大高校也通过扩大财会金融专业招生规模。本文根据金融专业微积分课程的教学实践，总结传统微积分教学的特点，分析了教学过程中出现的问题，结合金融投资、融资、收益与风险、项目评价等过程中如何运用微积分知识，针对金融专业学生的教学带来一点思考。

1 财会金融专业对微积分需求的特性

在各高校财会金融专业的课程设置中，微积分是必修课，其中财会金融专业与其他专业学生有着明显的不同，财会金融专业学生更加愿意关注社会经济现状，对于国内外经济走势、重要经济现象、热点新闻特别关注。财会金融专业的学生希望通过对微积分系统的学习和严格的训练，充分掌握微积分的理论体系，提高逻辑思维能力，增强推理论证能力，从而为今后分析金融问题，建立金融数学模型打下基坚实的基础。

2 传统微积分教学过程存在的问题

2.1 重理论轻实践

传统的微积分教材作为数学类课程的基础教材，为了体现教材体系的完整性和结构的严谨性，呈现出体系庞大，结构复杂，概念抽象，计算多样，推理论证难的特点。从教材本身来看，教材内容和学生专业实际情况缺乏联系，注重数学逻辑思维的培养而忽略了与现实财会金融知识的结合，片面强调解题技巧，而没有把现实经济现象与微积分教学联系起来，学生不懂得背后知识的原理，更不能把现在所学与工作应用进行关联，学生会产生“学习微积分无用论”的观点。

2.2 重教授轻启发

由于微积分教学中存在大量的公式推导和定理证明，信息量大、课程紧张，传统的教学过程中，教师往往采用填鸭式的教学，在教学过程中往往采取一言堂的形式，以教为先，先教后学，老师忙于写板书，学生忙于抄笔记，学生只能复制教师教授内容，缺乏自主性和参与性，长期下来便会渐渐丧失对于微积分学习的兴趣。微积分在财务金融领域有着广泛的应用，如果不能让学生发挥主观能动性，积极参与讨论，很难达到想要的教学效果。

3 微积分教学改革的探索

3.1 微积分专业知识与财务金融重点进行耦合式教学

微积分的主要内容包括函数的极限运算，函数的连续性，函数的微分学和积分学。财务金融知识的重点在于资本资产定价、投资项目分析、风险与收益、投资组合等。针对财务金融专业学生的特点，对教学内容进行针对性整合，在尽量保留原有微积分体系的基础上，对具体内容进行详略处理。

3.1.1 弱化公式推导，摒弃纯数学思维

传统数学教学中教师擅长公式推导，习惯运用纯数学思维教授，但针对财会金融专业的特点，本文建议进行优化，比如，在函数极限的部分可以保留极限的直观定义，极限的严格数学定义可以不必讲解，压缩理论与复杂公式的推导，杜绝纯数学思维，抛弃类似于“因概念而介绍概念”的内容。

3.1.2 从金融知识入手引入微积分知识

从学生所学的相关专业的实际问题引入数学概念，比如在讲极限时可以引入复利的计算公式，从与我们息息相关的存款、贷款出发，结合货币的时间价值，就本利、利息之间的关系展开讲解，通过计算复利终值、复利累积终值、复利现值、复利累积现值，最终引导学生理解极限的概念和应用；在导数部分可引入经济最优化问题，增加函数与导数在经济方面的应用，如成本、收益、利润、边际、弹性的概念，与经济学中的帕累托最优知识结合。通过这样，使同学们知道微积分与所学专业具有强相关的关系，并且能够最终应用到工作生活中，从而激发他们的学习兴趣。

3.2 变“填鸭式”为主动参与，结合案例探讨、实践分析实现寓教于乐

在教学方法上应摒弃传统的填鸭式教学，采用启发引导式的教学方法。教师在教学过程中以问题的提出为出发点，进而引导学生对问题进行讨论和探究，从而利用所学内容解决新的问题，通过这样的过程来激发学生的求知欲和自主意识，培养学生良好的思考习惯和创新意识。例如，为了进一步巩固课堂中学习的内容，在课程之外，安排学生就本专业的案例进行分析和研讨，针对案例中运用到的微积分知识进行点评，鼓励学生用数学方法分析金融现象，通过数学模型，进行定量分析，激发他们学习中的主观性和能动性。

4 实践中需要注意的问题

4.1 基础性作用不可忽略

微积分之所以成为金融专业的基础课，是由其结构的严谨性和论证的严密性所决定的。所以，我们对教材内容进行改革，既要适应金融专业的内容需求，同时不能破坏微积分本身的体系，忽略微积分的基础性作用。

4.2 工具性作用不可强求

微积分在解决一些经济金融问题中发挥了重要的工具性作用。教师在教学内容的补充和讲解中可适当地引用经济金融案例，从而让学生更好地理解微积分所学的内容，也可以让学生有学以致用和学有用武之地的感觉。但教师在引入经济金融问题时不能强求，不能为了应用而编造题目，在引入具体的例子时，应有一定的经济学依据。

总之，对于金融专业微积分课程的教学，教师应立足学生实际，专业特色，多方面多角度地创造性教学，既结合学生认知又结合社会实际，把理论知识和实践运用结合起来，把学生培养成为适应经济发展和学科发展的优秀人才。

参考文献：

[1]黄燕平.经济管理专业微积分教学渗透专业思想探究[J].湖南科技学院学报，2009，（8）.

[2]何光.金融数学专业数学分析课程教学探索与实践[J].理工，2011，（4）.

微积分论文范文第12篇

【关键词】大学数学教学方法绪论课

随着我国教育体制改革的不断进行，众多高校都在不断的探索和改革以适应当代中国的发展趋势和要求。高校教育成为国家发展和富强的有力保障。大学数学是大学工科专业必修的基础课程之一。是培养学生数学思维能力的一门重要课程。如何有效地提高大学数学教学效果一直是高等教育的研究热点[1-3]。爱因斯坦曾说：“兴趣是最好的老师。”中国学者说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”大学数学的课堂应从抓住学生的兴趣点，引发学生的好奇心和求知欲开始。而精彩的绪论课不仅让学生对大学数学建立一个整体认识，了解大学数学对大学其它专业课程的重要意义，而且让学生直观地领略数学的魅力和博大精深。

1 初等数学与高等数学的衔接

随着中学数学教学改革的进行，很多高等数学知识渗透到中学数学当中。内容除多项式、初等数论外，还有组合数学、不等式与向量代数等。讲授这些内容时注意与中学数学教材相结合，既能提高学生对高等数学的亲切感，又能提高学习兴趣，有助于实现中学初等数学与大学数学的平稳过渡。如对于函数的单调性，中学通过图像观察判断，或者通过计算函数的导数符号来判断。但对于导数的判断方法并没有给出理论性的证明。高等数学不仅严格论证原理，又将该方法应用到图形的凹凸性判断、不等式证明、极值问题等问题当中。学生不仅学习该方法，更重要的是活学活用，举一反三。再如中学数学中给出的各种几何图形的面积公式、空间立体的体积公式，高等数学将以最基本的极限方法严格推导，并将利用微元法讨论不规则图形的面积或体积。让学生切实地体会到数学的思维之美，能力之强大。

2 微积分的发展史

微积分是大学数学的主要分支，不止局限在解决力学中的变速问题，在近代和现代科学技术领域也建立了数之不清的丰功伟绩。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了，牛顿用一个公式来描述太阳对行星的作用，地球对它附近问题的作用。微积分的发现是世界近代科学的开端。

微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。17世纪学术界出现四类问题亟待解决：一、瞬时速度问题；二、曲线的切线问题；三、函数的最值问题；四、求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心以及一个体积巨大的物体作用于另一物体上的引力。17世纪下半叶建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。

莱布尼茨和牛顿最大的功绩是明确地找到微分和积分是互逆的两种运算。这是微积分建立的关键所在，才能在此基础上构建系统的微积分学。然而关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。 牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大影响。

牛顿和莱布尼兹的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量问题上说法不一，十分含糊。这些缺陷最终导致第二次数学危机的产生。直到19世纪初，以柯西为首的法国科学家对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论。后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步严格化，才使极限理论成为微积分的坚定基础，才使微积分进一步发展开来。

微积分的发展史使学生看到数学是随着社会生产而自然发展的，它有着强大的生命力和生产力， 避免学生感到微积分是种呆板的理论，微积分具有强大的生命力。如海王星称为“笔尖上的发现”，它是1846年剑桥大学的学生伽勒由天文计算而发现的行星；英国天文学家Edmond Hallcy通过数学计算推断并发现了“哈雷彗星”；英国物理学家James Clark Maxwell利用Maxwell数学方程组表达电磁现象，从而发现了电磁波；再如芝诺悖论等。 我们的生活离不开数学。数学可以提高一个人的推理能力、判断力和逻辑思维能力。培养个人的数学素养是学习数学的一个主要目的。

3 大学数学的学习方法

大学数学作为一门重要基础课程，很多工科专业课程都与大学数学有关，这体现出数学具有广泛的应用价值。如何学学数学？有效的学习方法至关重要。一、课前预习，对将要学习内容心中有数，以便上课有针对性学习。二、注意听懂理解基本概念、基本理论，学会模仿使用重要公式和方法，并有选择性的记录课堂内容。三、做好课后复习。“温故而知新”，通过多做习题反复加深数学概念的理解及数学方法的应用。四、合理选择参考书。好的参考书是对课堂教学的补充，除了加深课堂的重点、难点的理解外，还可对老师没有提到的解题技巧及知识点作以很好的补充，更高效地完成大学数学的学习。

4 结语

绪论课对大学数学的学习起到提纲挈领的作用。一堂精彩的绪论课可以在督促学生学好数学上起到事半功倍的作用，引导学生正确的学习方法和心态学学数学，引领在学习中体会数学的魅力和强大，感受数学的思维之美、逻辑之美。绪论课还可以迅速拉近师生间的距离，促进师生良好沟通，以便及时掌握学生的思想状况和学习情况。将“教”与“学”有机结合，以期达到更好的学习效果。

参考文献：

[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社.2006.

[2]宋代清，马辉.反例剖析在数学教学中的应用研究[J].东北电力大学学报. 2013，33（3）：81-83.

微积分论文范文第13篇

关键词：极限思想；发展；符号表达

极限是高等数学中起着基础作用的概念，在某程度上可以说高等数学的整个体系都建立在这一概念的基础之上. 而极限思想则是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想作为一种数学思想，从其远古的思想萌芽，发展到现在完整的极限理论，其发展道路上布满了历代数学家们的严谨务实、孜孜以求的奋斗足迹。也是数千年来人类认识世界和改造世界的过程中的一个侧面反应，亦是人类追求真理、追求理想、创新求实的生动写照。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。

极限思想是微积分学的基本思想，数学中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都需要借助于极限来加以定义。 微积分则是现代数学的基础，要学好微积分，就应该了解极限思想，学会用极限思想来理解这些概念，进而把微积分学知识应用于日常生活和生产实践中，体会数学源于生产实践，服务于生产实践的事实。但是，极限思想较为晦涩，一向被视为是一难于理解的数学概念，若在教学中，加入一些涉及极限思想的故事及发展历程，则会有利于学生了解极限思想与微积分学之间的关系，从而加深对其概念的理解。

极限思想的发展，总数起来可认为有三个阶段：

阶段一，小荷才露尖尖角，朴素极限思想的出现。与所有的科学思想方法相同，极限思想同样是社会生产实践的产物。追溯到古代，战国时庄子与其弟子所著的《庄子》一书中的《庄子·天下篇》中，提到：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 即：若取一根一尺长的棍子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，此后每天都截取剩余的一半，如此永远也不能取尽。此说法认为物质是可以无限分割的，其中蕴含了朴实的极限思想，具有很高的学术价值，但却偏重于哲学的角度，与数学的联系还没有建立。而三世纪的刘徽的 “割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，公元五世纪祖冲之计算圆周率的方法、公元前五世纪希腊学者德漠克利特为解决不可公度问题创立的“原子论”、公元前三世纪古希腊诡辩学家安提丰在求圆面积过程中提出的“穷竭法”等等问题中，在蕴含了最原始的朴素的极限思想的同时，开始从数学角度思考问题。

16世纪时，荷兰的数学家斯泰文在三角形重心的研究中，改进了由欧道克斯提出的“穷竭法”，借助几何图形的直观性，利用极限思想考虑问题，并在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”，但却没有脱离当时的社会实际。

阶段二，极限思想在数学上的正式提出，改善和发展阶段。极限思想的进一步发展与微积分的建立紧密相联。16世纪的欧洲，资本主义正处于萌芽时期，生产力得到极大的发展。随着生产力的发展，生产和技术中出现了大量的问题，只用初等数学的方法根本无法解决，例如描述和研究变速直线的过程、曲边梯形的面积等等。这些问题的解决需要数学突破只研究常量的传统范围，这些是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

当牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分时，遇到了逻辑困难。牛顿在描述作变速运动的物体在某一时刻t时的瞬时速率时，用路程的改变量S与时间的改变量Δt的比值ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，当Δt无限趋近于零，该比值无限趋近于一与Δt无关的常数，该常数即物体在时刻t时的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学的基本理论。在叙述瞬时速率时，他已意识到了极限概念的重要性，也想以极限概念作为微积分的基础，初步提出了极限的直观性定义：“如果当n 无限增大时，如果an无限接近于常数A，那么就说an以A为极限。”但牛顿给出的极限观念与荷兰斯泰文同样也是建立在几何直观上的，这种直观的定性解释并没有给出极限的严格表述，也没有解决当时的数学危机，因此在此基础上，同时代及后起许多数学家对极限的概念进行了完善。

也是因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才会在那个时代受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果说是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，却又不能把包含着Δt的项去掉。这就是数学史上所说的无穷小悖论。在攻击微积分学的大家中，英国哲学家、大主教贝克莱的攻击最为激烈，他认为微积分的推导是“分明的诡辩”。

贝克莱激烈攻击微积分的原因有两个，首先他要为宗教服务，其次也是因为当时的微积分缺乏牢固的理论基础，即使牛顿自己也无法清楚地解释极限概念中的混乱。事实证明，严格极限的概念，建立严格的微积分理论基础，既是数学本身发展的需求，也有认识论上的重大意义。

阶段三，极限概念的定量化和数学符号表达阶段。这阶段主要指由柯西精确定义，维尔斯特拉斯用符号精确表达极限的阶段。

19世纪，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。尽管这个定义是建筑在前人工作的基础上，但还是相对完整地阐述了极限概念及其理论。但是这个定义仍然欠粗糙，说用语句中的“无限接近”、“要多小就有多小”等都只能给人一种模糊的直觉，并没有彻底摆脱残存在头脑中的几何直观印象。

19世纪后半叶，德国的维尔特拉斯则提出了关于极限的纯算数定义，并给出了沿用至今所用的极限的符号。

极限的定义经过几代人的不断完善、严格，最终解决了微积分理论发展期所面临的强大逻辑质疑，给微积分学提供了严格的理论基础。也正是如此，数学由常量数学正式进入变量数学的时代，极限的数学定义，沿用至今，成了微积分发展的重要里程碑。

极限思想在现代数学和物理学、天文学、化学甚至经济学、建筑学等学科中都有着广泛的应用，这也是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。极限又是微积分的基本概念，是微积分学的直接基础，也是微积分学区别于常量数学的重要工具，二者是相辅相成、密不可分的。极限思想扩展了数学能够分析研究的范围，促进了微积分的发展和完善，而微积分学在各个学科中的应用也是源于极限思想这个坚实理论基础。

参考文献

[1]白淑珍：《对极限思想的辨证理解》[J]；《中国校外教育》2008（02）：39-40

[2]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社，2000：255

[3]钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999：319

微积分论文范文第14篇

【关键词】微积分教学 数学 建模思想

微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。微积分学是微分学和积分学的总称。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

1、 例题分析

笔者所探讨的主要问题中涉及的是n个朋友随机地围绕圆桌就坐，则其中有两个人一定要坐在一起（即座位相邻）的概率为多少？或是将编号为1、2、3的三本书随意地排列在书架上，则至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同的概率。从5个数字1,2,3,4,5中等可能地，有放回的连续抽取3个数字，试求下列事件的概率：“3个数字完全不同”“3个数字不含1和5”“3个数字中5恰好出现两次”“3个数字中至少有一次出现5”

2、讨论

上面只是为说明问题而假设的一个例子,在教学过程中，可以根据讲解的具体内容适当的引进一些小模型,引导学生进行较为深入的分析,例如，在讲解闭区间上连续函数的三个定理的相关内容时，就可以相应的介绍一些数学模型，以使看似抽象复杂的问题更加容易被学生理解。通过解决问题的讲解，使学生深刻体会到到数学在实际问题解决当中所发挥的重要作用。根据课本中相关的数学理论,结合现实生活中的具体问题,开展数学建模教学,可以使学生对于新数学概念接受变得更加轻松。社会在进步,时代在发展,在素质教育备受关注的当今，作为数学老师,有责任也有义务对现行的数学教学方式开展深入的探讨和研究。

例如在微积分中我们常常会用到评价模型，教师可以举例来说明情况，由于我们运用的主要是专家的隐性知识对系统要素进行相对重要性判断，不同的评审人员对不同影响因素的度量值是有差异的，为了得到各个评审人员所给出的w的相似性和关联性，我们对其中的相似的程度进行矩阵计算，设相似系数为r，多层次之间的个别相似值分别为和，则与组成的相似系数之间的矩阵为：（4.4），其计算的公式为：（4.5），从式（4.4）和式（4.5）得到：为第i位专家的意见与最后计算出的权重结果之间的相关程度，越大，就表示其相关系数越大，很明显得：=1，并且=。

虽然不同的项目其影响因素的层次并不相同，但是由于进行估计的矩阵模型是相似的并且原理都是一致的，因此其输出的评价集合都是，

在前面步骤的基础上，得到评估与分值之间的模糊评价模型：。

由式得到综合评判的集合，设为j，，可以推出：

由此可以对建设项目的影响因素进行确定：

，

将数学建模思想引入到微积分教学单元尚处于试点阶段，比较常用的基本方式是，教师先进行建模任务的布置，之后进行相应的点评和示范，经实践证明采取这种模式可以取得令人满意的效果。此种做法具有背景清晰确定、与现实生活的联系十分密切等特点，尽管存在多种建模角度，但在具体的研究方法方面却具有较大的相似性。对于初次接触的学生而言，比较容易接受和掌握，并且自从将那些与学生的实际生活具有密切联系的问题引人到建模当中后，广大的教师及学生表现出极大的兴趣。微分方程是数学分析的关键，一定要根据学生的实际知识结构情况以及所具有的学习能力，安排一个适宜的数学建模融入的教学单元，如果时间比较紧张，制作出ppt，在一边示范的同时加以讲解的方法是个不错的选择。中国论文联盟-

参考文献

[1] 邵东生.中学数学建模教学研究与实践。

[2] 孙宝法,王圣东,汪峻萍.微积分、数学模型及其它。

微积分论文范文第15篇

关键词：变量分离方程；一阶线性方程；伯努利方程； 积分因子；恰当方程

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2012）07-0173-02

通过《常微分方程》这门课的教学实践，我们知道大部分教材在讲述初等积分法这一章时，先讲述变量分离方程，其次再讲述齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程和恰当方程的求解，最后讲述了如果不是恰当方程，给出了求几种积分因子的方法（参见文献[1，2，3]）。为此先回顾恰当方程和积分因子的有关结论：[定理1.1] 如果M（x，y），N（x，y）在所定义的区间有连续的偏导数，则微分方程：M（x，y）dx+N（x，y）dy=0为恰当方程的充要条件是My=Nx，并且■M（x，y）dx+■[N-■■M（x，y）dx]=C就是恰当方程的通解，其中C为任意常数。[定理1.2] 如果函数M（x，y），N（x，y）和?滋（x，y）都是连续可微的，则?滋（x，y）为上述方程的一个积分因子的充要条件是（My-Nx）?滋=N?滋x-M?滋y。此等式是一个以?滋为未知函数的一阶线性偏微分方程，要求出?滋是很困难的，但在某些特殊情形下，可以利用定理1.2求出某些特殊形式的积分因子。在下文我们将求解几种典型的常微分方程，如变量分离方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程的积分因子。

一、变量分离方程的积分因子

[定义2.1] 形如■=h（x）g（y）的方程称为变量分离方程，其中函数h（x）和g（y）均假定在相应区间上连续。下面来讨论变量分离方程，如果存在y=y0使得g（y0）=0则y=y0是变量分离方程的一个特解。如果对任意y都有g（y）≠0在此种情况下，先假定g∈C1变量分离写为微分形式：h（x）g（y）dx-dy=0。令M（x，y）=h（x）g（y），N（x，y）=-1。则■=■=-■。所以变量分离方程有积分因子?滋（y）=e■=-■。如果g?埸C1可用光滑函数逼近g（y）同样求出相同的积分因子。应用定理1.1可求得其通解。总结上面的讨论可得：[定理2.1] 若函数h（x），g（y）在相应区间上连续且对任意y都有g（y）≠0，则变量分离方程有积分因子?滋（y）=-■。[推论2.1] 变量分离方程有如下形式的隐式通解-■h（x）dx+■■dy=C，其中C是任意常数。

二、齐次方程的积分因子

[定义3.1] 形如■=g（■）的方程称为齐次方程，其中g是连续函数。如果g（■）≠■，在此种情况下，先假定g∈C1，齐次方程写为微分形式g（■）dx-dy=0。 两边同乘以■，则得■dx-■dt=0。令M（x，y）=■，N（x，y）=-■则My=■=Nx。所以上述方程为恰当方程，因此根据定理1.1和定理1.2知方程有积分因子?滋（x，y）=■，其通解就是■■dx-■■-■■■■dxdy=C。如果g?埸C1，可用光滑函数逼近，同样求出相同的积分因子。如果g（■）=■，在此种情况下，齐次方程变为ydx-xdy=0易证明上述方程有积分因子?滋（y）=y-2或?滋（x）=x-2，其通解就是x-1y=C。总结上面的讨论可得：[定理2.1] 若g是连续函数，则（1）当g（■）≠■时，齐次方程有积分因子?滋（x，y）=■；（2）当g（■）=■时，齐次方程有积分因子?滋（y）=y-2或?滋（x）=x-2。[推论2.1] （1）当g（■）≠■时，齐次方程有通解■■dx-■■-■■■■dxdy=C。（2）当g（■）=■时，齐次方程有通解x-1y=C。

三、一阶线性方程的积分因子

[定义4.1] 形如■+p（x）y=q（x）的方程称为一阶线性方程，其中函数p（x）和在q（x）区间I连续。上述方程写为微分形式（p（x）y-q（x））dx+dy=0.令M（x，y）=p（x）y-q（x），N（x，y）=1。则■=p（x）所以有积分因子?滋（x）=e■，在微分形式两边同乘以?滋（x），则得e■（p（x）y-q（x））dx+e■dy=0上述方程为恰当方程，因此根据定理1.1知上述方程的通解为y=e■[C+■e■q（x）dx]，其中C是任意常数。[定理4.1] 若函数p（x）和q（x）在相应区间上连续，则一阶线性方程有积分因子?滋（x）=e■。[推论4.1] 一阶线性方程有形式为 y=e■[C+■e■q（x）dx]的通解。

四、伯努利方程的积分因子

[定义5.1] 形如■+p（x）y=q（x）yn的方程称为伯努利方程，其中n≠0，1， 函数p（x）和q（x）在相应区间上连续，q（x）≠0。其微分形式（p（x）y-q（x）yn）dx+dy=0，在这里假定y≠0，在微分形式两边同乘以y-n，则得（p（x）y1-n-q（x））dx+y-ndy=0，令M（x，y）=p（x）y1-n-q（x），N（x，y）=y-n则■=（1-n）p（x）所以方程有积分因子?滋1（x）=e■。因此有积分因子?滋（x，y）=y-ne■，在微分形式的方程两边同乘以y-ne■，则得（p（x）y-q（x）yn）y-ne■dx+y-ne■dy=0，上述方程为恰当方程，再令M（x，y）=（p（x）y1-n-q（x））e■，N（x，y）=y-ne■。因此根据定理1.1知此方程的通解为y={[C+■q（x）e■dx]（1-n）}■e■。[定理5.1] 若函数p（x）和q（x）在相应区间上连续，q（x）≠0，则伯努利方程有积分因子?滋（x，y）=y-ne■。[推论5.1] 伯努利方程有形式为y={[C+■q（x）e■dx]（1-n）}■e■的通解。

参考文献：

[1]伍卓群，李勇.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2004.