数学原始概念范文

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第1篇

(上海市金汇高级中学，201103)

概念是事物的本质属性，合理准确地建立概念的重要性不言而喻。本文对椭圆第一定义教学的多种方式进行分析研究，以说明“实验型学习”在数学概念建立的必要性、合理性表达以及数学概念本质的意义揭示等方面的优越性。

一、教学案例

【案例1】

教师打开PPT课件，呈现出一幅天体运行图，同时说道：“大家对椭圆图形都不陌生，比如月球绕地球运行或地球绕太阳运行的轨道。那么什么是椭圆呢？”见学生没有什么明确的回应，教师立即开始板书：“椭圆定义：……”然后，教师解释定义中的“定点”“定长”等要素。

【案例2】

课前，教师在黑板上挂了一块KT板。课始，教师开门见山地说：“这节课我们学习椭圆，请大家先看我做一个实验。”然后，教师拿出一根细绳和两颗按钉，将细绳两端分别系上按钉。接着，教师一边操作，一边讲解：“这是一根没有弹性、固定长度的绳子，现在我把它两端的钉子分别插在KT板上，然后用笔尖拉紧绳子，此时笔尖所在点到两个钉子所在点的距离之和就是绳子的长度。我随意拉动绳子，笔尖落在另一点，这个点仍保持到两个钉子的距离之和为绳长（不变）。看我再不停地拉动……”随着教师的动作，KT板上出现了椭圆的痕迹。在学生观察椭圆的过程中，教师提问：“你能准确地说出什么叫椭圆吗？”在学生描述定义的过程中，教师一边纠正和简化学生的语言，一边标记两个定点的位置：分别标上字母F1、F2。随后，教师拔下其中一颗按钉，拉紧绳子，再把这颗按钉插在KT板上，同时问道：“你认为两个定点之间的距离和绳子的长度应该符合什么关系呢？”经过分析后，教师给出椭圆的定义，并再次解释定义中的各要素。

【案例3】

教师用手电筒从不同方向照射实物圆锥体模型，让学生观察其投影。由此，得到椭圆的“形象”。然后，教师通过案例2中的实验给椭圆下定义。

【案例4】

教师用几何画板课件演示：拖动图1中的点M，显示出平面截圆锥面所得截线的各种情形。当画面静止在图1中的情形时，教师提问：“请大家看，图中的截线是什么曲线？”学生回答：“椭圆。”教师表示肯定后，用课件出示图

【案例5】

教师打开几何画板课件，呈现出一个圆，如图3所示。教师提问：“这是什么图形？”学生齐答：“圆。”教师在课件中拖动“圆心”，图形发生变化：重叠在一起的两个点（焦点）分离，图形由圆变为椭圆，如图4所示。教师提问：“你发现圆变成了什么图形？”学生齐答：“椭圆。”教师追问：“那么什么是椭圆？如何下定义？”学生纷纷议论：“好像圆变成了椭圆，一个圆心变成了两个圆心。”“圆半径不变，但椭圆好像有两条半径。”“肯定不能叫圆心、半径，两个中心也不对，动点P到两个定点的连线是变化的。”“不过两条线段总长不变。”学生讨论，教师巡视，并对听到的简单问题当即予以回答。然后，教师在课件中将动点P到两个定点的距离测量出来，并将它们的和计算出来（界面如图5所示），同时说道：“有些同学认为动点到两个定点的距离之和不变，我们用计算机来验证一下吧。”接着，教师在课件中不断移动点P，同时说道：“果然不变。你能准确地给椭圆下定义了吗？”学生得出包含定点与定长的初步定义。此后，教师又在课件中拖动定点F1、F2，椭圆变得越来越扁平直到消失，并反复演示。学生很快明确了定长和定点之间距离的关系：F1F2≤PF1+PF2。最后，教师将椭圆的完整定义写在黑板上。

二、案例分类及评价或改进

以上7个案例，形式上都是做数学实验，但反映出执教者对数学概念形成的认知心理的研究水平以及对“实验型学习”的理解和态度是不同的。“实验型学习”所提倡的数学实验类型，主要是案例5、6、7所代表的“模拟实验”和案例2、3代表的“实物实验”两大类。

案例1是比较普遍的“PPT图片展示”。但这种方式不属于“实验型学习”，因为对于高中学生来说，看到椭圆图片与听到椭圆描述没有什么区别，都没有实质性的实验功能，不能说明任何“原理”，不能有效地调动思维活动。实际上，用PPT、flash等非数学教学专业软件演示的“实验”，都不是真正意义上的数学实验，反而具有更强的灌输、说教性质。

案例2是多数教材都采用，多数教师都用过而且仍在运用的“实物实验”。但有人认为这种方式过时了，没有必要了，因为用多媒体动画制作软件可以制作出那种效果。另外，案例2的引入不自然，可以用案例3的“实物投影”作为铺垫。

案例3是在案例2的“实物演示”之前，先用“实物实验”呈现椭圆的形象。这里暗含了人类发现椭圆的“历史事实”，即人类是从自然的光学现象中发现椭圆的。这种设计有让学生经历初始状态和发现过程的意图。不过，这里可以将用作投影的实物改为圆形硬质纸片（或瓶盖之类的圆形物件），因为这比圆锥体模型更容易获得，产生的现象更明显，而且更符合认识发生的原始状态。

对案例2和案例3的手工画图，要注意用动作展示思维。教师演示时，可先将两颗按钉固定在一起，将细绳两端分别系在按钉上，将笔套入细绳中，拉直画图，一边画，一边让学生描述画图的法则，说出圆的定义。这样可以让椭圆概念出现得更自然、直观，学生体验得更深刻、透彻，也能更有效地调动学生思维的主动参与。

案例4、5、6、7都是运用几何画板进行“模拟实验”（不依靠实物，而用计算机处理数学模型的实验）来帮助学生建立概念，但对几何画板的作用和用法有不同的理解。

案例4的课件制作太难，技术要求和时间投入过高，不具有推广价值。不仅如此，用不同的平面去截圆锥，是已经抽象概括并数学化了的想法，不可能是学生的自然想法；而且教师按这一顺序引出椭圆概念，很难避免概念循环的错误，即用椭圆解释椭圆。

案例5的优点是直观，演示效果好，适合学习能力水平较弱的学生。但这种做法需要事先制作课件，使得两个焦点可以自由移动，而且已经用到了椭圆的性质，只是玄机暗藏在画面背后，学生不知道而已。因此，对资质好、能力强的学生，这种方式就会显得“真实性不够”，看不到现象的源头，不如改进过的案例2，用实物演示圆变为椭圆的过程。

案例6是对圆上一个动点作一个变换（横坐标不变，纵坐标按一定比例压缩），实验从学生已知的圆开始，过程明白无疑，现象真实可信，而且解析思想表现得简洁深刻。但缺陷是，两个焦点是“构造”出来的，教学过程中若处理不好，会出现因果倒置的逻辑问题。

案例7与案例6-样，初始问题、条件都很明白，定长线段和定点（焦点）都是现场作出来的，因而后面基于此的各种构造都不会有疑义。优点是几何本质突出、探究空间大、开放性强（如由“和为定值”很容易联想“差为定值”“积、商为定值”等等，并很容易做类同的实验），适合资质好、能力强的学生。但同时这也是缺点，若面对的学生能力不够，依赖性较强，采用这种方式就很可能出现启而不发的场面，也可能因部分特别“好事”的学生提出一些教师预料不到的问题或进行想当然的操作尝试，使得课堂很难把控（当然，把控课堂是一种“中国特色”）。

案例5、6、7的优缺点都是相对而言的，没有固定的标准。教学中要根据学生的实际情况进行选择、借鉴、改造，即因材施教是基本的原则。由此也说明，“实验型数学学习”是能从实践上打破“一个模子的教育”的有效方式。

三、案例中的关键问题研究

教学情境的创设，是教学中常谈的问题，而信息技术往往能在这方面发挥作用。因为多种媒体的综合运用，可以具体地制造视觉、听觉甚至触觉和嗅觉信息，创设出设计者想象中的“真实”情境。但教学这一内容时，首先要考虑的是，情境是为建立椭圆的概念服务的，因此，要在学生的视野内，先呈现椭圆的形象，再分析它的特征属性，根据特征属性下定义。案例1并没有在视觉上呈现椭圆，而只是用概念“卫星的椭圆轨道”来描述椭圆，对学生观察、认识椭圆图形的特征属性没有作用；案例4则刻意追求了实验的形式，而忽视了实验的目的，操作复杂，理解困难。其余5个案例都注意了概念形成的基本过程，即首先呈现具象，然后动态观察规律，抽象出本质属性，最后将其形式化、符号化。

教师与学生的经验背景不同，建立概念的基础方式也不同。学生在没学过椭圆之前，对椭圆确切的几何特征是不清楚的，根本不会想到“距离和为定长”之类，简单的印象就是“压扁的圆”。案例5、6就是出于对学生经验背景和认知心理的思考，由圆说起，过渡到椭圆。案例5不仅是话题过渡，而且通过拖动圆心，使圆变为椭圆的过程自然地表现出圆与椭圆的关系；案例6还同时表现出了代数变换与几何现象之间的关系。这种顺应学生心理的做法，能促进学生新认识的有效建构。而案例4用平面截圆锥面得到椭圆的形象，则是在对椭圆的本质属性十分清楚的情况下，为了此后与其他圆锥曲线的定义形式保持一致，运用“思维返溯”去构造椭圆和其焦点，然后再解释这样构造出来的图形符合椭圆的定义。这样是不可能帮助学生形成概念的，弄不好就只能硬灌，而且是“反灌”。

课件的优劣是相对于具体上课的需要和用法而言的，概念课应特别重视概念从直观到抽象的形成过程的表现。因此，课件应在概念的形成过程和变抽象为直观上下功夫，千万不可“怎样巧妙怎样做”，甚至“怎么困难怎么做”。有不少教师的潜意识中存在求难、求巧的倾向，觉得问题太简单、太直接了，就没有价值，不够刺激了。其实，按一般审美心理分析，“难”导致的心理反应首先是“烦”，其次是“玄”；只有当主体真切感受到“明白无疑，简洁而深刻”时，心理反应才能是“美”“妙”。案例4的设计者之所以犯这样的错误，很可能是因为想把一个做得很成功的课件（平面动态截圆锥面）用到课堂上。这个课件所要求的制作技术的确很高，用于解释圆锥曲线的统一性很好，但却不适合用于椭圆概念的教学。

四、通过“实验型学习”建立数学概念的意义探讨

造成数学概念教学困难的原因是多方面的。首先，在应试的功利性动机的驱使下，师生对解题教学的重视远远超过概念教学，用于解题训练的时间与精力远远多于用于剖析概念形成的过程。其次，生存环境的快速变化，使得大量无序的信息蜂拥而至，学生已经习惯于用眼睛而不是用头脑处理信息，追求数量大和速度快，不求理性，也无暇思索。因此，数学概念几乎成为了“差不多”“有印象”的同义词，而追根溯源、求本究理的心理机制的淡化，则是数学概念学习的最主要障碍。事实上，数学概念涉及数学的本质，理应给予更多的重视。

对于建立数学概念是否需要运用实验的方法，一般有以下不同的看法：

1．数学概念离不开抽象思维以及严谨的数学语言表述，而抽象与严谨正是学生疏远数学的原因。实验能将复杂、抽象的原理和计算结果，通过信息技术表达得生动、直观，甚至借助实物调动触觉、嗅觉等多种感官。

2．借助信息技术进行的数学实验，只能表现“描述式”的数学内容，而对于表现需要深层思考的数学概念，恐怕是无能为力的。

3．概念是事物本身属性的规定，并没有什么道理可说，基本上不存在什么需要尝试、猜想、探究的东西，所以在数学概念教学中，无需做实验。

4．把一些需要用抽象形式表达的数学对象表达得太形象，本身就破坏了数学的严谨性，这种形象化的做法不利于学生（尤其是“学优生”）学会真正的数学。

第2篇

“中国文化里的个体人，是内省的、让与的、利他的、与人谐和的道德主体，不是外制的、索取的、利己的、与人争斗的利益主体。这种个体容易成为普遍的义务主体，不大可能成为普遍的权利主体。”（《人权概念起源》P185）

这类似的表达，书中无处不在。夏勇先生是非常明确的措辞似乎明白了什么是人权的西方的概念，并且在其他的事情，我知道西方古典中国的人权状况，准确，完全不同。两个完全不同的东西都不需要，需要进行比较，既似是而非的东西。稍微熟悉历史的西方人权的读者会很清楚的西方人权，所谓的自然权利，直接关系到人的品德。

但夏勇先生在东方和西方之间的差异，准确地表示说：“我认为中国文化在其自己独特的方式来弘扬人的主体精神。成就功德，神圣的境界涅磐，由于个人的道德努力，本身反映了作为一个人的尊严和价值的人。（《人权概念的起源》P185）夏勇先生也知道，此人是根据抽象的道义上的个人，或者是抽象的伦理道德的个人主义日下跌，倒挂对人权和个人的权利，在西方是两个不同的东西。

在这方面，夏勇先生缺陷不能说，相反，夏勇先生故意。故意的目的，就是探索西方人权概念的名称，解决真正的问题。不幸的是，西方的概念虽然在中国的土地上广为传播人权的西方差异，但地球不能扎根。夏勇先生也很无奈，他是多么希望能够“一桥飞架南北，但事实摆在面前。所以，10年后，夏勇先生还寻找权力的概念，在过去一百年的空前繁荣，特别是在革命期间，1911年“宪法”，“共和”后，为什么中国人民在面对权力，那么的无助，软弱和无助吗？他们怎么能在实际的社会生活中真正享受公法意义上的权利吗？他们是如何看待权利？社会变化所带来的1978年改革开放以来公民权利这是什么意思？为什么过去党和政府的利益保护好，但现在他们已经侵犯。在过去一百年来，在中国的权利已成为一个流行的名词。

和谐这个词，成为核心词汇的时刻之一。夏勇先生一旦这个词表达了他的愿望，来仔细比较夏勇先生的和谐与和谐的相似性和差异目前的主流。我读夏勇先生是最早表示的和谐理论，同时也基于对人权的和谐。

夏勇先生的博士论文《人权概念起源》提出了和谐的理念。夏勇先生探讨人权的概念，尾部的“人权和人的和谐”。长尾理论的起源，似乎是顺便说一下，顺带讨论，但事实上，这是夏勇先生目的地先生夏勇讨论花费大量的空间，人权的概念要弄清楚来龙去脉，只是一种手段，真正的意图是要弄清楚人权概念的目的。，夏勇先生直言不讳介绍：“我们应该通过对人权的历史事实为基础的研究，总结了历史上的人权和发展的规律，这将传递和发扬了中华民族的文化传统，尤其是在追求和谐精神，根据社会的进步，中国的人权理论和人权制度的建立和发展的需要。这是本书的意图所在。

夏勇先生继续讨论人权，我们已经知道，人人享有人权的概念的起源，还是应该的权利，它通常是在这个意义上的道德权利，普遍权利和反对的权利，这三个用这三个属性，直接关系到人权的内在精神与人权精神，人权三义，这是道德和法治的法律，公正和代名词。（《人权的概念的起源》P169）大同不仅如此，每个人都是平等的，相互承认的意思，其实质在于全人类的和谐。另一方面，笔者试图跳出人权概念起源，而试图与西方的直接对话。“倡导人权，法治兴，像今年的仪式音乐，遇险救援，应该同情国籍的国情，把握根本的原因，发扬整体而言，自然，和谐的精神，善于从现实生活中演绎着外遇没有被借用从西方的神，借借来的二元对立，极端个人主义，利己主义。”（《中国民权哲学》P160）

第3篇

【关键词】高中数学 六何三线 教学原则

引言

在现阶段的教学中，很多教师依然未能摆脱缺头少尾满堂灌的老招式。对于概念的教学，忽视概念产生的背景、形成过程，缺少对概念的本质理解，淡化概念中所反映的思想方法，提问形式单调，提问策略方法缺乏，教学高负低效，从而导致学生不能深刻地理解概念，只能按照固定的模式解决问题，缺乏问题意识，不能做到举一反三。因此，数学课堂教学应该是基于“问题”的教学，这些问题是基于概念的产生和发展的逻辑性。

一、六何三线概述

周堂教授提出的优化问题的“六何”教学策略，从问题意识的角度创建了一种认识方法论，把知识的来龙去脉问题化、精致化、操作化和完整化。从何？一是何？一与何？―如何？一若何？一有何？即学习的知识和其本质特征是什么？知识是从哪里来？新知与旧知有何同异及其联系？如何学以致用？知行合一？若些属性和条件发生变化问题会怎么样？学完了有哪些收获、困惑和反思，以及如何去改善？这“六何”具有思考的根基和层次性，逐次生长、提升和拓展，贯穿学习和思考的全过程，有利于建立良好的认知结构。根据美国学者梅克（Maker）和斯克维（Schiever）等人提出的一种问题分类方式“问题类型连续体”（Maker-Schiever Continuum of Problem Types），“从何”、“是何”、“与何”为事实水平的问题，有着单一正确的答案；“如何”、“若何”、“有何”为开放的、探究的、反思的问题，答案是系列的或者是开放的。笔者在“六何”认识方法论基础上，结合课堂教学的师生互动，提出了“六何三线”，其中“三线”指课堂以学法为主线，教导为辅线，问题为明线。课堂“三线”围绕“六何”教学脉络循序渐进，交融贯通。

二、六何三线模式的高中数学教学原则

1问题为主线原则

人们对于“问题”的探索是一种本能，也是一种主动求索的过程。“问题”在教学中的功能主要有：定向功能，组织的功能，激发的功能，评价功能。学生的思维发展是从具体到抽象、从简单到复杂的建构过程，而“问题”是学生自主探索的出发点和动力，是学生思维的“启发剂”，它能促使学生的求知欲从潜伏状态转入活跃状态。因此要通过“问题”引导学生围绕概念的发生与发展来展学习。高中数学“六何三线”概念教学模式中，“六何”是从问题意识的角度创建的一种认识方法论，把知识的来龙去脉问题化、精致化、操作化和完整化。从何？一是何？一与何？―如何？一若何？一有何？即学习的知识和其本质特征是什么？知识是从哪里来？新知与旧知有何同异及其联系？如何学以致用？知行合一？若一些属性和条件发生变化问题会怎么样？学完了有哪些收获、困惑和反思，以及如何去改善？这“六何”具有思考的根基和层次性，逐次生长、提升和拓展，贯穿学习和思考的全过程。基于“六何”而设置的问题是“六何”的具体表现形式，是教学的一条明晰的教学路线。“问题”从概念的产生出发，环环相扣，逐步推进，实现知识的连续建构。这一过程以问题引入，以问题归结，又以新的问题引入新的学习。问题合乎学生的认知规律和发展需要，正确把握学生的“最近发展区”，更能训练其思维的严密性和逻辑性。

2变式为主策原则

变式在中国由来已久，主要用于概念的教学。对“教学变式”词条的解释是：“在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一，即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。”

传统意义上的概念教学变式可以分为概念变式和非概念变式，它们可以帮助学生对概念进行多角度的理解。在教学中，教师可以通过直观或具体的变式来建立感性经验和抽象概念之间的联系；或者通过非概念变式使概念的内涵清晰和外延明确。因此，数学概念教学要突出概念的本质特征，控制无关特征，促进学生建构自己的概念，从而更深刻地理解概念。高中数学“六何三线”概念教学模式中，“变式”是教学过程的一个主要策略，"若何”即为变式，也是“六何”的部分。在概念形成过程中，变式训练可以进一步揭示概念的本质属性，打破学生套用固定的解题模式，培养学生多角度地思考问题，进而提高他们的思维层次。

3学生为主体原则

学生是教育的目的，也是教育的中心，是教育的出发点，也是教育的归宿。处于青春初期的高中生认知能力不断地完善，辩证思维和创造性思维有了很大的发展，抽象思维占优势。他们的认知自觉性、观察力和识记能力有了进一步发展，且学习的目的性和方向性更明确，自我评价和自我控制的能力也都明显增强。因此，我们的教育是要以学生为主体，尊重学生的主体地位和人格，不断挖掘、提高学生的主体性，实现学生由“学会”向“会学”转变。高中数学“六何三线”概念教学模式中，始终是以生为本，让学生通过自主探究、合作交流、展示分享和小结反思来理解和掌握概念。教师设置的问题符合学生的智力水平，学生有足够的时间独立思考，并在探究、发现、讨论和解决问题的过程中训练和提高。

4教师为主导原则

教师是教学活动的组织者、引导者。教师的人生阅历、认知结构、知识储备等决定了师生交流、互动中的主动和主导地位。教师要有目的、有意识地诱导设疑，激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习热情，使学生始终处于积极的思维状态，主动参与整个学习过程。教师引导的方式主要是通过问题的设置和提问，引导的特点是“含而不露，指而不明，开而不达，引而不发”，导在知识关键点上，导在学生思维的“最近发展区”，导在学生的兴趣点上，把学生的好奇心转变为求知欲，形成稳定的数学学习兴趣和信心。

三、结束语

高中数学“六何三线”概念教学模式可以提高学生的主体地位，让他们学生提出和思考问题，全面提高他们的综合素质。

【参考文献】