数理统计模糊度检查措施范文

1引言

准确快速解算整周模糊度，无论是对于缩短观测时间、保障定位精度，还是对于开拓高精度动态定位应用的新领域，都是非常重要的。当前，众多模糊度解算方法大都是基于整数最小二乘估计理论［1-4］，此类方法解算效率高，特别适用于高精度实时动态定位。但是，由于模糊度是一个未知整数，在实际应用中没有可供参照的客观真值用于检验其准确性，而错误的模糊度将直接延长定位的初始化时间，降低定位精度，因此，模糊度检验具有重要性和困难性，一直以来是国内外众多学者研究和关注的热点。目前，常规的模糊度可靠性检验过程归纳起来可分为模糊度浮点解及整数估值2部分可靠性检验。对于浮点解，一般采用统计学上假设检验理论进行判断和识别，如均方误差检验及方差验后检验，然而，在GPS快速定位过程中，对于仅观测几个或几十个历元的模糊度解算，由于观测量间具有较强的相关性，利用最小二乘估计未知数的法方程严重病态，在这种情况下，模糊度浮点解失去了其原有的统计特性，反应更多的是系统的不稳定信息，此时，若再采用常规方法，将无法保证模糊度浮点解的可靠性［5］。另一方面，在整数估值可靠性检验中，应用最广泛的是基于固定解中次小与最小后验方差比检验(Ratio值检验)，选择合理的阈值c是该方法的关键所在。目前常用经验数和F分布法。对于前者c值可取1．5～5［6-7］，由于Ratio检验会受到观测方程模型以及观测值质量的影响，因此在不同情况下很难给出一个固定的c值;F分布法则认为Ratio比值服从分子分母自由度相同的F分布，c取F分布的边界值［8-9］。然而，次小和最小残差二次型并不完全独立，其比值服从F分布仅是一种近似的做法，因此，F分布法也具有一定的局限性。荷兰Delft技术大学的Teunissen教授及其研究团队基于模糊度成功率理论提出了模拟仿真及查表2种确定阈值c的方法［10-12］，香港理工大学的ShengyueJi等人也在这方面进行了研究［13］，上述方法虽然未给出确定阈值c的具体函数表达式，但仍具有一定的理论意义。本文将基于Teunissen教授提出的模糊度成功率理论，针对Ratio检验法存在的缺陷，建立模糊度可靠性指标与Ratio检验阈值间的函数关系，从而改进Ratio检验模糊度方法。

2模糊度浮点解可靠性检验

由前述分析，在进行模糊度浮点解可靠性检验之前首先必须保证最小二乘估值受方程病态的影响小，即判断所求浮点解的稳定性。

2．1浮点解稳定性分析

从最小二乘估值的最终结果出发，通过估值最大变化率来度量和判断参数估计值的稳定性。估值变化率(estimationchangerate，ECR)可以客观地反映出最小二乘解在历元间的变化情况，即估值的稳定性。相邻历元间，待估参数xi的估值变化率表达式为:ECRi=x^(k+1)－x^(k)rate(1)式中:rate为观测值采样率。在方程病态的条件下，仰角不同的卫星观测误差大小不同，对应的最小二乘估值受干扰影响的程度不同，即各卫星模糊度浮点解的ECR也有所不同。为此，本文选取所有卫星浮点解估值中最大的ECR作为参数稳定性的指标，即:ECRmax=MAX(ECRi)(2)上述稳定性指标阈值太大，则无法保证估值的稳定性;过于保守，虽然可以得到与模糊度准确值很接近的浮点解，但解算中需要较多的历元数。鉴于在模糊度解算中，当各种综合误差引起的模糊度浮点解偏离整数解大于1/4波长时，将不利于模糊度搜索固定［14］。为此，可以近似认为因法方程病态引起浮点解的偏差等效于综合误差的影响，即将ECRmax阈值取为0．25周。

2．2浮点解可靠性检验

在保证最小二乘估值受方程病态影响较小的前提下，可利用最小二乘估值的统计特性，通过检验验前和验后单位权方差估计的一致性，来评估浮点解的可靠性。构造统计量:χ2(f)=VTPVσ20或F=σ^20σ20(3)式中:V为一般的最小二乘残差向量，P为对应的权阵，f为自由度(多余观测数)，σ20为验前单位权中误差，验后单位权中误差σ^20=VTPV/f，给定一显著水平α，当满足式(4)条件，可以认为所求的浮点解具有一定的可靠性。否则，则说明观测系统中没有考虑一些几何或物理误差的影响，所求的浮点解存在较大偏差。χ21－α/2＜χ2(f)＜χ2α/2或F=σ^20/σ20＜Fα(f，∞)(4)

3模糊度整数估值正确性检验

利用给定的模糊度浮点解及方差求其整数估值的方法很多，如直接取整法、序贯整数估计法、最小二乘模糊度降相关法(leastsquareambiguitydecorrelationadjustment，LAMBDA算法)等，对于同一组浮点解及方差，不同的方法将可能得到不同的整数估值，因此如何确定模糊度整数估值的可靠性也是模糊度质量检验的重要任务之一。

3．1模糊度成功率

模糊度成功率是Teunissen教授(Teunissen1998)为评价所求模糊度整数解正确性及合理性而首先提出的一个较为严密的评价尺度。定义模糊度归整域(pull-inregion)Sz为［15］:Sz={x^∈Rn|z=F(x^)}，z∈Zn(5)映射函数F表示不同的整数估计方法，这个子空间包含了通过F投影到相同整数解z的所有模糊度浮点解的集合。假设模糊度浮点解向量x^满足正态分布，即有x^～N(a，D^x)，D^x为浮点解对应的协方差阵，模糊度整数估值z为真值a的概率:P(z=a)=∫Sa1槡|D^x|(2π)1/2nexp{－1/2‖x－a‖2Dx^}dx(6)式(6)称为模糊度的成功率，可以看出，模糊度成功率其实就是所求正确模糊度解的概率。该评价方法从模糊度解本身固有的统计规律特性出发，通过它能够知道求出的模糊度整数估值在多大程度上和正确的模糊度解一致，是一个非常重要而直观的诊断手段。

3．2Ratio检验法的概率特性分析

Ratio检验也称后验方差比检验法，是以固定解中次小和最小残差二次型之比作为检验量，即:K=‖x^－(asec‖Dx^‖x^－(amin‖Dx^≥c(7)式中:(amin、(asec分别为最小和次小残差对应的模糊度固定解，c为限值。当备选模糊度满足式(7)条件，则认为(amin为模糊度正确整数解。选择合理的阈值c是应用Ratio检验进行模糊度质量检验的关键所在，由于常规确定阈值c的方法均具有一定的局限性，如第1节所述，为此，以下将结合模糊度成功率理论，采用一种基于模糊度可靠性指标的Ratio检验模糊度质量方法。根据式(7)可以确定满足Ratio检验条件的所有模糊度浮点解集合，类似于模糊度整数估计，这些浮点解集构成了Ratio检验的归整区间ΩR，可表示为:ΩR={x^∈Rn|‖x^－(asec‖2Dx^≥c‖x^－(amin‖2Dx^，c≥1}(8)以下将进一步分析归整区间ΩR的特性。假设某一确定的模糊度整数估值z，令与之对应的实数空间即归整域为Ωz，R，当zi∈Zn遍历整个整数空间时，对应的实数空间将被划分为无穷多个归整空间Ωzi，R，各空间互不重叠，之间可存在空洞，即∪z∈ZnΩz，R=ΩRRn。以一维实数空间为例，如图1所示，整个实数空间被分为无穷多个归整区间，各区间之间不重叠，但之间存在一定的空隙。图1一维实数空间Ratio检验法归整域分布情况Fig．1Thepull-inregiondistributionofratio-testinonedimensionalspace也就是说Ratio检验的归整区间ΩR有如下特性:Ω0，R={x^∈Rn|‖x^－t‖2D^x≥c‖x^‖2D^x，c≥1，t∈Zn\{0}}Ωz，R=Ω0，R+z，z∈ZnΩR=∪z∈ZnΩz，?????R(9)Ω0，R为当模糊度准确值a=0时的归整域。对于归整域Ωz，R，特别的，当确定某一整数(这里假设0)为模糊度准确值时，该整数对应的归整区间Ω0，R为正确归整域，其他归整区间则为错误归整域。此时，实数空间可分为3种情况:正确归整域、错误归整域以及不确定区域，如图1所示。因此，对于Ratio检验法，同样可以利用模糊度成功率来衡量其可靠性，具体表示为［11，16］:Ps，R=∫Ωaf^x(x)dxPf，R=∑z∈Zn\{a}∫ΩZf^x(x)dxPu，R=1－Ps，R－Pf，???????R(10)式中:Ps，R、Pf，R及Pu，R分别为模糊度整数估值的成功率、失败率以及不确定域的概率，f^x(x)为模糊度浮点解对应的概率密度函数。Ω0，R={x^∈Rn|x^TD－1^xx^≤1c(x^－z)TD－1^x(x^－z)，z∈Zn}(11)可以看出，Ps，R及Pf，R主要受两大因素影响:模糊度浮点解的概率密度f^x(x)以及归整域Ω0，R的形状和大小。其中概率密度f^x(x)主要由浮点解对应的方差决定，归整域Ω0，R的形状由Ratio检验方法本身确定，其大小可通过阈值c进行调节。因此，对于给定的一组浮点解及方差，在计算Ratio检验方法所得模糊度整数估值的成功率时，唯一可变的参数就是c值，也就是说，可以通过调节c的取值控制模糊度获得正确解的概率。同样，也可以根据需要事先给定的模糊度成功率或失败率，利用其值反算出阈值c，确定可靠性较高的模糊度值。这一方法能够有效解决Ratio检验法中阈值c难以确定的问题，同时还可以根据实际需求灵活给定成功率或失败率，控制模糊度整数解的可靠性，以满足解算要求。

3．3基于模糊度失败率的Ratio模糊度质量检验

上述方法可行性的关键在于建立阈值c与模糊度整数估值成功率或失败率的函数关系。以下将从Ratio检验对应的模糊度归整域区间函数出发，充分利用归整域所具有的特性，推导出该检验方法模糊度估值失败率的近似表达式，建立阈值c与模糊失败率的函数关系。由于模糊度的成功率与未知模糊度的真值无关，因此，为研究方便，以模糊度真值为零的归整域Ω0，R为研究对象。Ω0，R可进行如下等价变换［10］:Ω0，R:c‖x^‖2D^x≤‖x^－t‖2D^x，c≥1，t∈Zn\{0}‖(c－1)x^+t‖2Dx^≤c‖t‖2Dx^，t∈Zn\{0}‖x^+1c－1t‖2D^x≤c(c－1)2‖t‖2D^x，t∈Zn\{0}(12)式(12)表明归整域Ω0，R是一个以－1c－1t为中心，大小为槡cc－1‖t‖Dx^的n维超椭球体。对于给定的模糊度浮点解及其方差，经LAMBDA算法搜索变换后，可以获得该组模糊度的最小方差及次小方差对应的模糊度整数估值。因此，式(12)中次小残差二次型‖t‖2Dx^是可以确定的。唯一可变参数即阈值c，这也证明了可以通过控制阈值c的大小来调节归整区间的范围，从而确定整数估值的可靠性。假设模糊度向量维数为n，则整数估值成功率可表示为:PS=∫Ω0，Rf^x(x1，x2，…，xn)dx1dx2，…，dxn(13)等价变换后的归整域已经表现出较明确的几何意义，但其表达式仍较为复杂，且联合概率密度无法求取，因此仍无法通过对其积分而求得对应的整数估值成功率。进一步对原始模糊度向量及其方差进行降相关的可容许整数变换:(x=T*x^，D(x=TD^xTT，T为变换矩阵，(x、D(x分别为降相关变换后的模糊度浮点解及其方差，对应的变化后整数估值及正确解分别表示为(z、(a。此时，P(z=a)P((z=(a)，即模糊度成功率可由变换后的模糊度浮点解方差及相应的归整域来确定。式(12)归整域Ω0，R可近似展开为:(Ω0，R:(x1+1c－1((z)12(σ21+((x2+1c－1(z2)2(σ22+…+((xn+1c－1(zn)2(σ2n≤c(c－1)2‖(z‖2D(x(14)式中:(σ2i为矩阵D(x对角线元素，(zi为经整数变换后的次小方差对应整数估值。由于降相关变换后，近似认为各模糊度间相互独立，此外，各模糊度浮点解服从(xi～N(0，(σ2i)分布，因此模糊度成功率进一步表示为:PS=∫(Ω0，Rf(x((x1，(x2，…，(xn)d(x1d(x2，…，d(xn=∫(Ω0，Rf(x((x1)f(x((x2)，…，f(x((xn)d(x1d(x2，…，d(xn=∫(Ω0，R1(槡2π)n(σiexp－12(x21(σ21+(x22(σ22+…+(x2n(σ2(())nd(x1•d(x2，…，d(xn(15)(Ω0，R为模糊度真值为零向量的正确归整域，但相对于PS中的被积函数，仍不易于积分求解。为了便于计算，构造归整域(Ω(z，R:(Ω(z，R:(x21(σ21+(x22(σ22+…+(x2n(σ2n≤c(c－1)2‖(z‖2D(x(16)(Ω(z，R则为当模糊度真值为零向量时对应的一个错误归整域，该归整域表达式与被积函数较为接近，通过对该归整域积分，可以获得该区间对应的模糊度整数估值的概率值，即失败率Pf，z(i)。由概率分布特性可知:正态分布的随机变量离真值越近其概率越大。由于归整域(Ω(z，R与正确归整域最为接近，因此相对其他错误归整域，其所占概率也最大。当模糊度向量维数为n时，与正确归整域最为接近的错误归整域Ω(z，R有2n个，除这2n个错误归整域外，其他错误归整域远离正确归整域，所占概率小，这里将其忽略，而取上述2n个最为接近的错误归整域对应的整数估值概率作为模糊度真值为零向量时的失败率，即Pf≈2nPf，z(i)。结合模糊度成功率表达式(15与错误归整域式(16)，Ratio检验法模糊度整数估值失败率Pf表达式为:Pf=2n(2π)－n/2•2πm(m－1)!∫R0rn－1e－r2/2dr，n=2m2n(2π)－n/2•2(2m－1)!(2π)m∫R0rn－1e－r2/2dr，n=2m+?????1(17式中:R2=c(c－1)2‖(z‖2D(x，该式建立了Ratio检验法整数估计失败率与阈值c的函数关系。利用给定失败率即可确定对应的c值，再通过c值进行模糊度整数解有效性判断。如此，可以根据实际解算需求，通过调节模糊度失败率指标，以获得可靠性高的模糊度整数估值，有效解决了Ratio检验阈值c难以选取的问题。

4算例分析

选取天津CORS中宝坻BD、蓟县JX以及大港DG个参考站，组成一个三角形解算单元，参考站概略分布如图2所示，三边基线长为39km、98km以及135km，利用10min的观测数据分别求解模糊度整数值，并通过上述方法检验模糊度可靠性。在所选的10min观测数据中，三参考站共视卫星共有9颗，其中仰角最高的PRN04为参考卫星，通过双频线性组合法解算双差模糊度。在宽巷模糊度准确解算的基础上，采用无电离层组合，将天顶对流层延迟设为参数，整体解算L1载波双差模糊度，解算方法可参阅文献［1-4］。图3中(b)～(d)为三条基线L1载波双差模糊度固定情况，其中实线表示各卫星每个历元解算模糊度整数值，虚线分别为Ratio值及阈值c。图3(a)为各卫星仰角变化情况，从图3(b)～(d)中可以看出，短基线BD-JX中各卫星模糊度在几个历元之内均快速固定，而对于基线DG-BD及JX-DG除前几个历元模糊度整数解波动较大外，两基线均存在两组相对稳定的模糊度整数解，以下将进一步判断整数解的准确性。首先利用参数估值最大变化率ECRmax判断模糊度浮点解稳定性，在此基础上通过方差验后检验法检验浮点解的可靠性。图4为各基线模糊度浮点解最大变化率的波动情况，图中可以看出从第100个历元左右开始模糊度浮点解趋于稳定，经方差验后检验法检验，可以认为3条基线从100个历元开始模糊度浮点解具有较高的可靠性。将模糊度失败率指标控制在5%，根据式(17)可以确定在采用Ratio检验中各个历元所对应的阈值c。图3分别给出了各基线Ratio值以及阈值c随历元的变化情况，当Ratio值大于阈值c时，满足Ratio法检验模糊度质量的检验条件，此时可认为对应的模糊度整数解向量是正确的。图3(b)，在短基线BD-JX中，很明显，Ratio值远大于阈值c的取值，即该组模糊度整数解是正确的。在图3(c)、(d)中，基线DG-BD、JX-DG都存在两部分时间段满足Ratio＞c这一条件，但是对照图4模糊度浮点解稳定性情况进一步分析，在初始时间段，由于其对应的浮点解最大变化率波动较大，稳定性差，因此，在检验过程中，首先无法满足模糊度浮点解可靠性要求，将被舍弃。随着历元数的增多，在近200个历元左右，模糊度浮点解及整数值都满足了检验条件，可以认为，两基线最终确定的模糊度整数值可靠性高，是准确的。同时，该结果与第三方软件解算模糊度值是一致的。从图3不同基线Ratio值的变化情况也可以看出，不同长度基线在不同历元下Ratio值的变化范围是不同的。若采用常规经验值法取c为1．5～5［6-7］，则很难通过某一固定c值有效获得可靠的模糊度固定解。因为，一方面c值过小，检核条件低，则容易产生错误的模糊度固定解;而另一方面，c值越大，则检核条件越难以满足，如对于基线JX-DG，图3(d)中，取c=2，那么将需要300多个历元，才能满足Ratio＞c，相比阈值c的动态取值，无形中延长了模糊度固定的时间。而本文提出的阈值c动态取值法能够适用于各种情况下Ratio值的检验，因此，具有一定的实际意义。

5结论

基于最小二乘理论的模糊度求解中，模糊度浮点解及整数估值的可靠性检验是保证模糊度准确性的重要内容。对于模糊度浮点解，鉴于其受法方程病态影响而失去统计特性，提出了通过参数估值最大变化率ECRmax判断浮点解稳定性，在此基础上采用方差验后检验法进一步检验浮点解可靠性;在模糊度整数估值可靠性方面，针对传统Ratio检验法中阈值c难以确定的问题，基于模糊度成功率检验理论，成功建立了模糊度失败率与Ratio检验阈值间的函数关系，使得能够根据实际需求给定的失败率，确定阈值c，从而保证所得模糊度固定解的可靠性。算例表明，相对常规经验值确定阈值c方法，阈值c的动态取值可避免因c值选取不恰当而获得错误模糊度固定解，有效保证了模糊度准确快速获取的可靠性。该方法可适用于不同长度基线模糊度可靠性检验，具有一定的实际意义。