弹性函数的经济学意义范文
弹性函数的经济学意义范文第1篇
许凤娇（1989-），女，汉族，安徽池州人，金融硕士，单位：南京财经大学金融学院，研究方向：商业银行经营管理。
摘要：在宏观经济学和经济增长理论中， CES生产函数得到了越来越多的应用。本文对普遍运用的CES函数进行了标准化。Klump和Grandville提供了在可获得必要参数的情况下，对CES生产函数参数校准的一种简单方法。标准CES生产函数的运用存在一些误区，本文列举了正确的用法。
关键词：CES生产函数；替代弹性；标准化
1.引言
近年来，CES生产函数获得了宏观经济学和增长经济学更多的应用。CES函数是柯布-道格拉斯生产函数最为普遍的替代选项，并且可以处理比C-D函数应用范围更为广泛的问题。但是，并不总是能够明确确定特定选择的CES函数参数或者检验他们的含义。Klump和Grandville（2000）注意到了这个问题，并且概述了明确“标准化”这个生产函数的步骤。
尽管CES生产函数看起来简单明了，但是数学上的简单形式是具有欺骗性的。Klump和La Grandville强调过，应当小心对待CES生产函数的经济解释。他们特别指出对于分析理论结果为不同的替代弹性时使用“标准”CES函数，替代弹性的变化只能由标准化来分离出来。标准CES生产函数已经被多位学者应用于理论研究，而且这些理论研究成果已经被学者用来作为实证分析的框架。Klump对这项工作的大部分进行了研究，提供了进一步的资料并使得相关文献更为广泛的应用。这些论文发展或重新解释了标准化这一概念。
2.标准化
阐述基本问题的最简单方法就是设想两个公司的生产率比较，它们的生产函数分别是AF（K， L）和BG（K， L）。由于生产技术不同，直接比较A和B的相对大小的经济意义是有限的。两家公司规模的不同，使得采用数学的对称性会误导经济内容的比较。
如果允许替代弹性变化，就相当于把方程从F（K， L）变为另一个方程G（K， L）。这就引出了这样一个问题，其他技术参数是否保持和之前一样的经济解释，还有当保持其他参数不变时，变化的替代弹性在经济方面的含义是什么。
为简单起见，假定只有两个输入量资本和劳动，规模报酬不变的情况下进行讨论。
最简单的标准化解释是把资本和劳动输入量看作指数，那样可以与任意选择的基准价值进行比较。ACMS形式可以被视为函数的标准化，因此分布参数b就是资本-劳动比一致时的资本份额。从这个意义上，标准化是不可避免的。给定的参数使得标准化得以明确，在理论分析中，能帮助区分独立于其他参数变化的替代弹性的变化。默认假设能够进行这种区分的想法可能是不正确的。
分布参数不能用来独立定义资本和劳动的度量单位。如果想研究不同替代参数的影响，会遇到用任意基准资本-劳动比来标准化函数的问题，而且这样的任意选择会影响变化替代弹性如何改变生产面的表现形式。
在经济学中，“标准化”这个术语经常用于一个系统或者模型的特定参数或数量是不变的正式性质的情况下。基准资本-劳动比的选择将决定生产率如何随替代弹性的增加而变动。如果经济处在基准位置附近，弹性的变动对生产率的影响将很小。由于前面的原因，选择某一个标准化或基准资本-劳动比能被看作比其他的更缜密和自然，是毫无意义的。这意味着，无法确定替代弹性改变的影响程度，有时甚至连符号都不能确定。我们采用特定数量或参数的水平是任意的且能自由选择的观点。
3.标准化的使用
考虑这样一个问题，研究一个传统动态增长模型，其包含以ACMS形式写的CES生产函数。研究者该如何选择分布参数b？一般来说，这是被用来解释为当替代弹性不变时的资本份额。当资本-劳动比不变时，ACMS的分布参数可以解释为资本份额。
当研究者有多个要素份额和要素比率的观察值时，就可以用标准方法分析数据，估算出分布和替代参数。当分布和替代参数被视为数据估算的固定常量是，就不存在标准化问题。
在实证研究和政策模拟中，CES生产函数的标准化形式相对于其他形式有时候是有用的，尽管益处有时是适度的。标准化避免估计分布参数，而是需要用资本份额的观察值估计技术是一致的（至少是平均水平上）。在其最简单的形式中，这个过程需要额外假设边际生产率要素定价和利润最大化。从严格的计量经济学角度来看，学者建议的方法所获得的好处并不是主要来自标准化，而是来自强加一个参数而非去估计它，额外的假设能对参数加以限制。
Klump和La Grandville认为选择的替代弹性，TFP参数和分布参数最好看作相互依赖的。如果研究者模拟一个增长模型是改变了替代弹性，他也应该改变TFP和分布参数。他们的建议是把TFP参数和分布参数表达为替代弹性的函数，那样随着弹性的改变，生产函数在一个特定的资本-劳动比上总是服从相同的人均产量和边际技术替代率。换句话说，这个过程迫使不同替代弹性的生产面沿着特定线K=k0L相切，其中k0是资本-劳动比的基线。
4.结论
最近发表的各种论文已经注意到了CES技术的潜在重要性。他们的研究也表明，当研究者用CES技术研究或校准模型时，保持分布参数固定，同时改变替代弹性是有负面影响的。以这种方式进行，意味着资本份额的变化适用于特定的资本产出比。当特定资本产出比上的资本份额数据是可得的，用和数据保持一致的方式校准CES生产函数是有意义的，因为替代弹性是变化的。特别是，Klump和La Grandville建议的方法，能以最自然的方式校准分布参数。他们的步骤也承认，如果一个技术参数改变，其他参数的意义也会改变。这些对我们理解CES技术都是有用的，对未来的文献应该会有显著的影响。（作者单位：南京财经大学）
参考文献：
弹性函数的经济学意义范文第2篇
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大，L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［M］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）.
［2］顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［J］.职业圈，2007,（4）.
弹性函数的经济学意义范文第3篇
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大，L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］?@聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［M］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）.
［2］?@顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［J］.职业圈，2007,（4）.
弹性函数的经济学意义范文第4篇
［关键词］需求函数需求弹性偏弹性
一、需求函数
在商品市场中，影响消费者对该商品的需求因素有价格、人均收入、供给、成本等，其中商品的价格是影响消费者对该商品的需求的主要因素，如果忽略如人均收入、供给、成本变化等其他因素，仅把需求量看成是价格的函数：Q=f(p)，Q表示需求量，p表示价格，称为价格需求函数（简称需求函数）。在正常情况下，商品的价格下降，需求量增加，反之商品价格上涨，需求量减少。因此，需求函数一般为单调函数。
二、需求弹性
在商品市场经济中，经营者要提高经济效益，不仅要提高质量，降低成本而且要做好市场预测，掌握商品的供求信息。在销售时，经营者应根据市场信息，常常对某些商品采取降价措施，使销售量增加，薄利多销，增加经济收益，而有的商品，同样采用降级销售，但销售量增加却不多，经营者未能增加经济收益，这时我们不仅要研究商品的绝对改变量，而且常常需要研究其相对改变量。例如:商品甲原每单位10元，现涨价2元，商品乙原每单位价格为1000元，现涨价2元，两种商品价格的绝对改变量都是两元，但与其原价相比，两者涨价的幅度却有很大的差异，商品甲涨价了20%，商品乙涨价了0.2%，即商品甲的价格相对改变量为20%，商品甲的价格相对改变量仅为0.2%，但其需求量Q的变化也明显不一样，其原因取决于该商品的需求量对价格变动的敏感程度，即商品的价格需求弹性。
设函数y=F(x)在点x可导，当自变量在点x取改变量x时，函数相应的改变量y=f(x+x)-f(x)，则x,分别表示自变量在点X取得的绝对改变量和相对改变量，y,分别表示函数在点x相应取得的绝对改变量和相对改变量，相对改变量通常用百分数表示，函数的相对改变量与自变量的相对改变量的比值表示函数y=f(x)从x到x+x两点间的相对变化率，即当时x0时
表示函数y=f(x)在点x的相对变化率（也称相对导数），在经济学中称函数y=f(x)在点x的弹性，记做，即因为，因此函数的弹性也表示边际函数在平均函数之比。需求函数Q=f(p)在点P的弹性表示商品的社会需求量关于价格的相对变化率，称为需求的价格弹性。简称为需求弹性，其经济意义表示价格在P的基础上改变了1%，需求量相应地在Q的基础上改变的百分数。
由于需求函Q=f(p)数一般为单调减少函数。f’(p)＜0，因此需求弹性为负值，负号表示需求量的变化方向与价格的变化方向相反。
三、需求弹性的应用
设需求函数为Q=f(p)，当需求弹性分别为＜－1，＝－1或-1＜＜0时，需求量变动的百分数分别大于，等于和小于价格变动的百分数，分别称为需求有弹性，需求有单位弹性或需求是低弹性的。
根据需求弹性的经济意义，当商品需求有较高弹性时，商品的需求量对价格变动的反应较为敏感，经营者如采用降价销售，能促进消费者消费，较大地增加销售量，薄利多销，可明显增加经济收益，当商品需求低弹性时，商品的需求量对价格变动的反应迟钝，经营者若提高商品的价格，销售量减少不大，经营者不会因销售量减少而影响总的经济收益。
根据有关统计表明，日常生活必需品如米、油、盐等商品的需求弹性较低，高档消费品、奢侈品如轿车等商品的需求弹性较高。
例1根据市场调查，某种商品的需求函数为Q=f(p)=1000e-0.2p
（1)求商品的需求弹性；
（2)现在市场上销售价格为10元，当价格提高1%时，该商品的需求量如何变化。
解 （1)商品的需求弹性为，
（2)=-0.2×10=-2
因此，销售价格在10元的基础上提高1%，则商品的需求弹性约减少2%。
四、偏弹性
设二元函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，当自变量x在点(x,y)取得绝对改变量x,y保持。自变量x的相对改变量，z/x表示函数z关于x的偏相对改变量，比值表示函数z=f(x,y)在(x,y)与(x+x,y)两点间关于x的相对变化率，当x0，表示函数z=f(x,y)在(x,y)关于x的相对变化率，称为函数z=f(x,y)在(x,y)关于x的偏弹性，它表示在点(x,y)处，当自变量x的改变1%（自变量y不变）时，函数z相应改变的百分数，类似，称为函数z=f(x,y)在(x,y)与(x,y+y)关于y的偏弹性。
例2根据资料统计，某种商品的综合需求函数为Q=0.51・p-1.6，M0.92其中Q为商品需求量，p为商品的价格，M为人均收入，求需求量关于价格和人均收入的偏弹性，并说明其经济意义。
解需求量关于价格的偏弹性为
＝-1.6它表示当商品价格上涨1%时，商品的需求量大约下降1.6%。
需求量关于人均收入的偏弹性为
弹性函数的经济学意义范文第5篇
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大，L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
弹性函数的经济学意义范文第6篇
关键词：微积分；边际 分析 ；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1 导数在经济分析中的应用
1.1 边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1 边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3 边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4 边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2 弹性在经济分析中的应用
1.2.1 弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2 需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
1.2.3 收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3 最大值与最小值在 经济 问题 中的 应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1 最低成本问题
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2 最大利润问题
例4 设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2 积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
解:总成本函数为
总收益函数为R(x)=500x
在这里我们应用了定积分, 分析 出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对 企业 经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析 方法 ，从而为 科学 的经营决策提供可靠依据。
参考 文献
［2］顾霞芳.浅谈导数在 经济 中的 应用 ［J］.职业圈，2007,（4）.
弹性函数的经济学意义范文第7篇
关键词：文科微积分；边际函数；弹性
作者简介：王新利（1975-），女，河南偃师人，上海理工大学理学院数学系，讲师。（上海 200093）
中图分类号：G642.0?????文献标识码：A?????文章编号：1007-0079（2012）34-0075-02
微积分课程是高等教育中一门重要的基础课程，理工科专业历来都非常重视微积分的教学工作。近年来，为了提高综合素质，越来越多的文科专业学生也开始选修微积分。微积分具有逻辑性强、抽象性高的特点，对于数学基础较为薄弱的文科生来说，学起来难免感到枯燥和困难，往往是兴冲冲地选了课，可越上越没有兴趣和信心。因此，在文科微积分教学中增加一些来源于生活的例子，对提高学生的学习兴趣是非常有帮助的。经济学是一门与微积分有紧密联系的学科，也是多数文科类的后续专业课程。因此，在文科微积分教学中引入经济学引例，一方面可以提高学生学习微积分的兴趣，另一方面也为后续学习经济类课程打下了一定的基础。
笔者在近几年文科微积分的教学中主要引入了以下几个方面的应用例子，明显提高了学生学习的兴趣，收到了良好的效果。
一、经济学引例在微分学教学中的应用
1.边际函数
在微分学的教学中，主要介绍导数的概念、求导方法、导数的应用、微分等内容。导数的应用主要讲三类问题，一类是求即时速度问题，第二类是求曲线的切线问题，第三类是求函数的最大值与最小值问题。但对于文科专业的学生来说，即时速度是物理学上的概念，曲线的切线是几何概念，和他们的专业联系不是太大。因此，讲课时就把这两方面的例子减少，而增加了边际函数的例子。
在经济学上，有边际成本、边际收益、边际利润等所对应的边际函数，它们是经济学上非常重要的概念。所谓边际成本，是指当企业多生产一个单位产出而增加的成本。边际收益和边际利润类似定义，它们用来衡量当自变量的改变为一个单位时相应函数值的改变量的大小。由导数的定义，。
因此，求某个量处的边际成本只要先求出成本函数的导数，即边际成本函数，然后把这个量代入边际成本函数即求出了边际成本的近似值。求边际收益、边际利润的方法是一样的。
那么，这时就提醒学生思考，利用边际成本函数的定义可以算出边际成本的精确值，为什么反而去求一个近似值呢？这样的疑问就为下面学习求最值的内容埋下了伏笔。
在经济学上，企业要追求的是成本最小化或者利润最大化的经营模式，反映在数学上就是求最大最小值问题。下面通过例子来看边际函数与最值的关系。
某空调公司生产空调的成本函数是，其中x表示每周生产的空调台数，表示公司花费的成本（以百元为单位）。该空调的价格需求函数为。问：每周生产多少台冰箱，公司的利润最大？
因为利润是收益和成本之差，而收益为价格和产量之积，所以可以先求出利润函数，那么边际利润函数是。在某个点处当导数大于0时，边际利润是大于0的，说明再多生产一台，利润是增加的，而导数小于0时，正好相反。因此只有当导数等于0时，利润最大。显然，当时，x等于100，即每周生产量为100台时利润是最大的。这样通过联系实际的讲解，非常直观地让学生了解到导数和边际函数的联系以及它们在求最值时所起的作用。
2.相对变化率与弹性
在微分学中，相对变化率是一个重要的概念。它表示函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比，又被称为弹性。在授课时，经常会举物理学上的例子，但对于文科生来说，用经济学上的例子更为合适。在经济学上，有需求的价格弹性、供给弹性等概念，内容非常丰富。简单地说，需求价格弹性是用来衡量需求对价格变动的敏感程度。在实际生活中，像观光旅游这类消费对于价格的变动十分敏感，而食品、电力等必需品的消费则对价格的变动影响不大。许多企业，不管是航空公司、肯德基餐厅还是期刊出版社等都需要判断提高价格还是降低价格或者维持价格不变，企业的利润才能最大。这些问题的解决与弹性关系密切。
用表示价格需求函数，p表示价格，q表示需求量，则价格需求弹性的公式为：
该公式被称为区间价格弹性公式。一般地，当价格上升时，需求量下降，因此始终有>0。根据导数的定义，对区间价格弹性公式两边取极限，得到点价格弹性公式：
可以看到，当>1或>1时，表示价格变动一个百分点引起需求量的变动超过一个百分点，则称此需求是富有弹性的。反之，当
因此，当需求是富有弹性（>1）时，
从以上的分析可知，无论是导数的定义还是导数的应用，都在这些经济学引例中有很好的体现，同时也让学生明确了经济学分析的数理基础和数学背景，这样的教学方式有助于激发学生学习数学的兴趣，也对相关经济学科知识的学习打下了一个良好的基础，非常符合现代大学复合型人才培养的方向。
二、经济学引例在积分学教学中的应用
积分学的内容主要包括不定积分及其计算、定积分、定积分的应用等几个部分。笔者在讲授微积分的过程中尽可以引入一些经济学上的例子，使得本来抽象、枯燥的定理公式变得具体形象，从而提高学生的学习兴趣。
首先，在不定积分部分，因为积分和微分是一对互逆运算，对边际成本函数或者边际利润函数求不定积分可以得到相应的成本函数和利润函数。
其次，在定积分的应用部分定积分可以表示平面图形的面积。这又可以用来计算经济学上的消费者剩余或生产者剩余。
消费者剩余（consumer surplus）是指一种物品的总效用与其市场价值之间的差额。之所以会产生剩余，是因为“我们所得到的大于我们所支付的”。这种额外的好处根源于递减的边际效用。假设有个人愿意以275元的价格买一辆自行车，但最后的成交价格是200元，“节约”的75元即为消费者剩余。下面的例子说明积分在求消费者剩余时的作用。
某自行车零售商处一款自行车的价格需求函数为，其中x表示每个月的需求量，p表示每辆自行车的价格。当以210元的价格购买该款自行车时，求所产生的消费者剩余。
首先可以根据价格需求函数计算出当价格为210元时的需求为400元，此时的总效用为元，其市场价值为84000元，因此消费者剩余为24000元。也可以用一个式子计算消费者剩余：。
消费者剩余的概念对于评估许多政府决策是极其有用的。例如，政府如何决定新建一条公路的价值。假设一条新公路的修建正在考虑之中，由于公路对所有人免费，它并不能带来任何收入。使用公路的人所得到的价值在于时间的节省或旅行的安全，建设公路的成本能用个人消费者剩余的加总来衡量。
综上，经济学中的函数和微积分联系非常紧密。在文科微积分教学中采用大量经济学上的引例可以紧密联系社会经济现实，把单调枯燥的数学概念和推理形象化，有效提高微积分教学的趣味性，同时为以后经济学科的学习打下良好基础。
参考文献：
[1]阿姆斯特朗，等.简明微积分及其应用（影印本）[M].北京：高等教育出版社，2004.
弹性函数的经济学意义范文第8篇
关键词数学知识 经济应用 极限 弹性
中图分类号:G423文献标识码:A
随着社会的发展,应用数学已经越来越深入、广泛地渗入到科学技术、经济生活以及现实世界的各个领域,尤其在现代经济领域中的应用更加广泛,很多数学知识,在现代经济发展、经济分析中起着举足轻重的作用。许多经济学的概念、理论都与数学密切相关。
传统的数学教学内容体系上要求面面俱到,理论上追求严谨,不能适应当今科技快速发展、知识日新月异的时代要求,财经类的学生往往觉得“数学学了没用”,认为高等数学脱离了他们的生活,从而产生厌学情绪;而老师虽然知道数学在人才培养中的重要作用,但却苦于无法用实例说服学生,找不到合适的案例,自然也就无法解决学生对数学的厌学问题,那么高等数学到底有什么用呢,下面就数学在经济领域中的应用简单举例说明。
1 复合函数在经济方面的应用
兑换货币值是日常生活中常见问题,把这种推算过程用复合函数来表示,思路则很清楚。
例如:某人准备从中国去韩国旅游,将10000人民币以1:170的比率换成韩元,但临时因故去不了, 只好又将换好的韩元以1:0.0059的比率换回人民币。问此次人民币再换成人民币的过程损失多少?
分析:如果首先以人民币数X作为变量, 韩元数Y作因变量,则人民币换成韩元的公式是:;又以韩元数Y作自变量,人民币Z作因变量,则韩元换成人民币的公式是: ,则从拿出人民币到收回人民币的过程是一个复合函数,所以此人约损失了元。
2 极限值在经济方面的应用
在投资经营某活动中,是按连续复利的方法来计算利息,能比较全面地反映资金的时间价值。
设本金为,年利率,按复利计息,第n年末本利和为:,若一年按t期计息,当时,于是得到连续复利计算公式:。
3 微分的近似计算在经济方面的应用
在自变量的改变量较小的条件下求函数的增量可近似地用函数的微分来代替,以简化问题的计算。
例如某公司生产某种产品,月产量为,月收入(元),若每月产量从200件增加到250件时,收入改变多少?
分析与解答:公司月产量增加件, 用来估计收入的增加量(元),即公司以后每月的收入大约增加1000 元。
4 利用导数求解经济函数最优值
经济的核心问题是增加利润,降低成本。成本利润、收入需求、价格等经济量,是经济问题中必须考虑的因素。为了达到利润最大、成本最小,就要把握最合适价格、最佳销售量,而这常用到求函数的最大、最小值问题,线性规划、非线性规划问题等经济学中最常见的最优化问题。其实质就是求能够使目标函数达到极值的选择变量的值。
例如一房地产公司有50套公寓要出租.当租金定为每月180元时,公寓会全部租出去,当租金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20元的维修费,问房租定为多少时可获得最大收入?
分析:可设租金每月元,租出去的公寓有,总收入为,又,令,则得,由于=,因此是函数的唯一极大值点,所以是函数的最大值点,即房租定为每月350元可获得最大收入,最大收入为(元)。
5 边际分析
边际概念是研究经济学核心命题的基本概念,通常指经济变量的变化率。边际是当在某一给定值的附近发生微小变化时的变化情况,它反映了的瞬间变化。利用导数研究经济变量的边际变化的方法, 称为边际分析。利用导数研究经济变量的边际变化的方法是经济理论中的一个重要方法,有极为重要的意义。
例如已知生产某产品的总成本函数(元),求生产1200个单位产品时的边际成本值,并解释其经济意义。
边际成本函数为;时的边际成本为(元)。
边际成本的经济意义是当生产达到1200个单位产品时,如果再多生产1个产品所追加的成本为3元。
6 弹性分析
弹性分析也是经济分析中常用的一种方法,主要用于对生产、供给、需求等问题的研究。弹性概念用来定量描述一个经济变量对另一个经济变量的变化的相对反应速度。
例如已知某商品的需求函数为,求时的需求弹性,并说明其经济意义;
分析:需求弹性函数:。
当时的需求弹性:。
这说明,在时,价格每上涨1%,则需求减少0.54%;而价格若下降1%,则需求增加0.54%。
弹性函数的经济学意义范文第9篇
关键词：高职数学 导数 应用能力 思考
中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）09（a）-0140-02
在高职数学教学过程中，作为重要的解题工具，导数的运用不仅能够有效解决函数问题，还能够分析函数中的极限值和单调性问题，为函数的解决问题手段提供有效帮助，在目前的高职数学教学过程中，函数的极值问题和单调性问题都能够为函数提供有效解决手段，这也是运用导数能够解决的函数问题，可以说函数的重点在于教学过程，这也是为何导数成为高职数学教学中的重要解题方式，并且能够在高职数学教学中得到广泛应用。
1 导数能够解Q的函数问题
1.1 导数能够有效解决高职数学中的函数问题
在高职数学中，函数是重要的知识点，如果不能正确掌握函数知识，将会影响高职学生数学的最终学习效果。而函数的解题是一个难点，如何保证函数解题有效性成为了高职数学的研究重点。而导数的出现，为函数解题提供了新的方法。
1.2 导数能够对高职数学问题的解决起着重要作用
利用导数解题，目前已经成为解决高职数学问题的有效手段，在导数解题的过程中，学者们不但要学会导数解题的具体方法，同时还要培养导数解题的意识，认识到导数解题对解决高职数学问题起到的重要作用。
1.3 导数能够有效解决高职数学问题
在高职数学中导数知识具有重要地位，导数知识不但本身属于高职数学的重要组成部分，同时还成为了解决高职数学问题的有力手段，因此，要正确认识导数知识在解决高职数学问题中的促进作用。
2 导数在高职数学中的应用
2.1 导数在经济分析中的应用
（1）边际与边际分析。
如果在处可导，那么它在处的变化率为，即函数在点的导数，在经济分析中称它为在点处的边际函数值。设在点处，从改变一个单位时，的增量的准确值为，由于实际的经济问题中，一般是一个比较大的量，而与相比就可以看作是一个相对较小的量，由微分学可知，的近似值可表示为。这说明在点处，当改变一个单位时，近似的改变个单位。在实际应用中，通常略去“近似”二字，来解释边际函数的定义。于是，就有以下定义：设函数可导，则称导数为边际函数，称为在点处的边际函数值。
（2）弹性与弹性分析。
弹性也是高职数学中重要的概念之一，它反映了一个经济变量变化对另一个经济变量变化的影响程度。弹性常用于对需求、供给、生产收益等问题的讨论。弹性的计算有两种：点弹性和弧弹性。这里我们只介绍函数的点弹性。下面将给出一般函数的弹性定义。设函数，和分别为自变量和函数的绝对改变量，和分别称为自变量的相对改变量和函数的相对改变量，而称为函数从到两点间的弹性，若在点处可导，则称为在点处的弹性，记作。对于一般的，是的函数，称为的弹性函数。在点处的值记为，当很小时，在点的弹性。这说明，表示在点处，当相对改变量为1%时，近似改变了%（在应用中常常略去“近似”），也就是说，反映随的变化而变化的幅度，即对变化反应的灵敏度。
（3）优化分析。
高职数学中经常遇到的优化问题，例如：最大产出分析、最大收入分析、最大利润分析、资源合理利用的优化分析等，数学的最优化求解方法是这类问题的主要解决方法。进行优化分析可以帮助企业管理者以最低的生产成本获得最大化收益，意义非常深远。这里考虑运用边际函数求最大利润。利润等于收入减去成本，边际利润为边际收入减去边际成本，即ML=MR-MC。
当MR-MC>0时，每增加一个单位的产品，所增加的收益大于所增加的成本，因而总利润增加，但没能达到获得最大收益的规模，此时，企业应该扩大生产规模。
当MR-MC
当MR-MC=0时，即MR=MC，企业达到最优的产量规模。即L（x）取得最大值的必要条件是：边际收益与边际成本相等。另外，如果要保证利润取得最大值，利润对产量的二阶导数必须小于零，即：
通过以上分析，学者发现，在达到某一点之前，增加产量会使企业获利增加；过了这一点，产量增加反而会使利润减少。
2.2 导数在高职数学解题中的应用
导数在求极限方面的应用。求一个分式函数的极限时，若分子、分母的极限分别都为0，这种类型的极限有可能存在也有可能不存在，称为型未定式极限，不能直接利用极限的四则运算法则，可以考虑利用导数是求未定式极限，也就是洛必达法则，这是一种有效的方法。
3 高职院校培养学生导数应用的思考及重要性
导数在高职数学中对学生的培养具有重要作用，不仅能够提高学生的解题能力，还能够结合实际将解题中遇到的问题应用到实际中，因此，笔者认为高职院校培养学生导数的应用能力是十分重要的。主要体现在以下几点：首先，高职院校培养学生应用导数解题可以提高学生的实际解题能力考虑到导数在解题过程中的重要作用，高职院校在数学教学中应积极培养学生应用导数解题的意识，并将导数解题作为重要的解题手段来开展，使学生能够更好掌握导数解题技巧。其次，高职院校培养学生应用导数解题可以提高数学教学实效性由于高职院校主要是以培养学生的实践能力为主，因此，导数解题这一重要的数学手段可以对高职院校的数学教学实效性的提高产生重要促进作用。因此，要正确认识到导数解题意识对高职院校的重要影响。最后，高职院校培养学生应用导数解题可以拓展学生的知识面，使学生具备全面发展的素质。
4 结语
综上所述，高职院校的数学教学中应注重的是导数的解题过程和技巧，重点培养学生应用导数的解题能力和解题意识，从根本上将学生综合运用和应用导数的能力提高起来，让高职院校的学生有应用导数解题的能力，通过以上可以发现，目前我国高职院校数学教学中对学生导数的应用教学还不够成熟，但是从目前的整体教学体系来看，应用导数解题是十分必要的，这也是在高职院校中积极培养学生应用导数解题的意识，这种意识的培养不仅能够有效促进高职院校数学教学的开展，同时也是对高职院校数学教学的促进，对发展我国高职数学教育教学具有重要意义。
参考文献
[1] 魏悦姿，傅洪波.关于提高学生数学素质的几点思考[J]. 高等教育研究（成都），2015（4）：53-54.
[2] 张晓蓉，崔周进.职业教育背景下学生数学素质的培养[J].新课程（下），2016（6）：11-12.
弹性函数的经济学意义范文第10篇
关键词：导数 应用
导数是微积分学的基本概念之一。函数的许多性质如单调性，函数图象的凹凸性与拐点的研究，过曲线上点的切线斜率的计算，函数极大值、极小值和最大值最小值的计算，函数的可微性、函数的积分以及经济活动分析与预决策等都离不开导数。事实上，导数的产生和不断发展过程可以说就是一个将导数不断应用于科学研究和生产实践的过程，正确理解和认识导数及其应用，可以帮助我们更好地利用导数这个数学工具进行数学理论研究和解决经济管理决策中的许多实际问题。
追溯数学发展的历程，我们发现，到了十七世纪，虽然数学学科发展取得了辉煌的成就，但也遭遇到发展瓶颈――有许多科学问题急需解决，这些问题也就成了促使数学分支微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。对这些问题的探索和解决，正是微积分的重要应用领域。本文着重讨论微分学中的导数的应用。
一、导数的概念
导数是一个建立在极限基础上的重要概念：设函数y=f（x）在点x0及其邻域内有定义，当自变量在点x0取得增量x（x≠0），相应地函数y=f（x）有一个增量y=f（x0+x）-f（x0），如果极限y/x=[f（x0+x）-f（x0）]/x或[f（x）-f（x0）]/（x- x0）存在，则称函数f（x）在点x0处可导，并称此极限值为f（x）在点x0处的导数，记作f′（x0）或y′x= x0或dy/dxx=x0。
此处必须说明的是，y/x=f′（x0）成立的充分必要条件是f（x）在x0处满足：y/x=y/x，即该点处的左、右导数存在且相等。
另外，如果函数f（x）在[a，b]上任一点可导，则其导数f′（x）是x的函数，称为导函数（简称导数），且f′（x）= [f（x+x）-f（x）]/ x（求极限时，x视为常数）。
根据导数的定义，可以推导出导数的四则运算法则和基本求导公式，为导数的运算和利用导数分析问题提供了重要工具。
二、导数的应用
（一）导数在几何上的应用
1.计算过曲线上任一点的切线斜率
根据导数的几何意义，导数f′（x0）=[f（x0+x）-f（x0）]/x =k，这里k为曲线上过点M（x0，y0）的切线的斜率。由此还可求该点的切线方程：y-y0= f′（x0）（x-x0）。
函数y=f（x）在点M（x0，y0）的法线方程为：y-y0=-（x- x0）。（f′（x0）≠0）
2、判断函数图象的凹、凸性和拐点
（1）判断函数图象的凹、凸性
如果曲线弧AB在其任一点切线之上，则称其为凹弧，如果曲线弧AB在其任一点切线之下，则称其为凸弧。曲线凹、凸性的判断可以根据导数符号来进行。
设f（x）在（a，b）上二阶可导，f（x）曲线弧AB为凹弧的充分必要条件就是：对x∈（a，b），都有f（x）≥0。反之，f（x）图象弧AB为凸弧的充分必要条件为：对x∈（a，b），都有f（x）≤0。
（2）判断函数曲线上的拐点
曲线的拐点是曲线上凹弧与凸弧的分界点。如果f（x0）=0（或f（x）在点x0处可导），在点x0两侧f（x）异号，则点（x0，f（x0））是图形的拐点；如果在点x0两侧f（x）同号，则点（x0，f（x0））不是图形的拐点。
（二）导数在函数性质研究上的应用
1、判断函数的单调性
函数的单调性是指函数在定义域内的一个确定的区间内，函数值y随自变量x的增大而增大（或减小）的性质，这种性质被称为函数在该区间单调递增（或单调减少），通过图象来理解通常表现为函数图象的上升或下降（假定x增加的情形下）。但是，这种对单调性的判断方法是比较粗略的。
事实上，我们可以用导数来理解函数的单调性。若函数f（x）在（a，b）内可导，则f（x）单调增（减）的充要条件是： x∈（a，b），f′（x）≥0（≤0）。
利用导数判断函数单调性的一般方法是：（1）求出函数的定义域。（2）求出函数的导数f′（x）。（3）令f′（x）=0，求出函数的驻点。（4）用驻点将函数的定义域划分为若干区间。（5）根据每个区间内导数的符号判断函数在相应区间的单调性。
2、求函数的极值和最值
对于一个已知函数，利用导数还可以研究其极值和最值。极值是函数在定义域内的一个点的邻域内相对较大（较小）的值的统称。最值是在一个给定的闭区间内的最大（小）值。
计算函数的极值的方法是：若f（x）在x0连续，在x0某邻域内可导，且，
x< x0时，f′（x）>0或f′（x）
x>x0时，f′（x）0
即在x0两侧，f′（x）异号，则x0为极大值点（或极小值点），相应的函数值f（x0）为极大值（或极小值）。
如果利用函数的二阶导数，也可计算函数的极值。设f′（x0）=0，f（x0）存在。若f（x0）0，则x0为极小值点。
最值可以在计算极值和区间端点值基础上通过比较得出。
（三）导数在物理学上的应用
前面提到，在十七世纪，科学发展遇到一些急需解决的问题，如变速度运动物体的瞬时速度和加速度的计算就是当时物理学上的重要问题，对这个问题的解决，就成为导数在物理学上的经典应用。
对变速度运动的物体，假设其运动位移方程为s=s（t），如何求得它的瞬时速度呢？其实，瞬时速度可以视为物体在一段时间内的平均速度的极限问题，即：
vt=[s（t0+t）-s（t0）]/t=s′（t0）。至于加速度的计算，也就类似于瞬时速度的计算，即物体运动的加速度a=s（t0）。
也就是说，只要建立起了物体运动的位移方程s=s（t），瞬时速度和加速度的计算问题就可以通过求导数来解决。
（四）导数在经济分析中的应用
1、边际与边际分析
设总成本函数为C（q）=C0+C1（q），其中，C0为固定成本，C1（q）为变动成本，则总成本函数在q0处的边际成本MC=C′（q0），表示在产量为q0处，产量每增加一个单位所新增加的总成本。一般而言，在不同的点q0处，边际成本不同，通过比较可以帮助决策者作出生产决策。
同理，设总收入函数为R（q）=p（q）q，则边际收入MR=R′（q0），表示当销售量为q0时，每多销售一件产品所能增加的收入。
2、需求弹性分析
（1）需求价格弹性及其应用
需求价格弹性是指，商品的价格发生变动时，需求量的相对变化率与价格的相对变化率之比称作需求价格弹性。它表示商品价格变动1%会引起需求量多大百分比的变动，对需求价格弹性的分析可以指导产品价格策略的制定和调整。其公式为：
Edp=′（p）.
可见，需求价格弹性取决于需求函数及其导数Q′（p），由于需求量Q和价格p成反向变动关系，因此Q′（p）是负值（也有例外，如珍藏品等），从而决定了需求价格弹性通常为负值，其大小一般指绝对值，需求价格弹性取值范围分六种情况：
a缺乏弹性： 0
b富有弹性：>1，需求量变动的幅度>价格变动的幅度。这类产品弹性大，一般属于奢侈品、高消费品之类。对其应采取降价的方法来扩大销售，但必须以不减少利润为度。
c单一弹性：=1，需求量变动的±幅度=价格变动的干幅度，即提价或降价都不会影响销售总额的增减变动。这种产品多属化妆品、娱乐品等。对这类产品的价格政策，应视实际需要而定。如果降低价格，则可增加销售量，从而需要扩大生产，进而可以增加产值、增加职工收入等；若是提高价格，虽然销售量减少，但不会减少销售总额，且还可以减少产品销售成本，达到利润增加的效果。
d完全弹性：Edp-，商品价格波动很小，需求波动就会是无限大，因此，完全竞争企业的需求曲线是水平的，也就是固定价格。
e完全无弹性：Edp=0，谓之零弹性，即不论价格作如何变动，其需求量总是相对较为稳定。这类产品是人们的生活必需品，食盐等产品即属此类。对这类产品的价格制定，应当谨慎行事，可在国家政策允许的范围内，或按照国家规定适度提高价格，以增加效益。还有如丧葬费等。
f正弹性：Edp>0，需求量的变动方向相同于价格的变动方向。此类产品多为珍藏品、稀有物、紧俏货。这种产品，当价格愈是提高时，需求量愈是增加；或者相反，尽管价格有所降低，而需求量也随之减少。产生这种奇特情况的原因，一是当这类产品一经提价后，顾客生怕再涨价，于是随即抢购。
（2）需求收入弹性及应用
需求收入弹性是指，消费者的收入发生变动时，需求量的相对变化率与收入的相对变化率之比称作需求收入弹性。它表示消费者收入变动1%会引起需求量多大百分比的变动。其计算公式为：
Edi=′（I）.
与需求价格弹性相类似，需求收入弹性取决于需求收入函数及其导数Q′（I），需求收入弹性Edi有正有负，不同商品的需求收入弹性是不一样的。
如Edi>0，该商品为正常品，正常品中，如0
如Edi
对商品的需求收入弹性进行分析，可以帮助企业进行产品升级换代和产品组合决策。
同时，需求收入弹性的大小，还是判断市场的成长、饱和与衰退的一个重要指标。Edi>1，表明产品市场处于成长状态；Edi=0，说明产品市场处于饱和状态；Edi
综上所述，导数产生于科学研究的需要，又指导科学研究和生产实践。当然，导数的应用不仅限于上述几个方面，随着科学技术的发展，我们有理由相信，作为微积分基本概念之一的导数，还将在许多学科以及社会经济生活的许多领域有着更多更广的应用。
参考文献：
[1]李开慧，余英.应用高等数学基础（上册）.重庆：重庆大学出版社，2005.7
[2]全国工商管理硕士入学考试研究中心.2002年MBA联考考前辅导教材.数学分册.北京：机械工业出版社，2001
[3]〔美〕卡尔・B・波耶.微积分概念发展史.上海：复旦大学出版社，2007.6
弹性函数的经济学意义范文第11篇
一、综合要素生产率数学模型
采用实际中用得最广泛、分析中最具有代表意义的C―D生产函数法。假设生产函数： 式（l）
其中，Y是产出，K和L是资本投入和劳动投入，t是时间。在式(1)两端求全微分，并简化整理得：
上式中分别为资本产出弹性和劳动产出弹性；设则GY、GK、GL分别为产出增长率、资本增长率和劳动投入增长率，而GA为综合要素生产率。将式(2)改为： 式（3）
式（3）是衡量综合要素生产率的数学模型。它的意义是：产出增长是由生产要素（其中包括资金与劳动）投入量的增加以及综合要素生产率的提高所带来的。
需要指出的是，上述数学模型中测算的综合要素生产率是指扣除了资金投入和劳动投入的贡献以外其他所有能实现经济增长的因素贡献的总和，这个总和包括了制度创新、技术进步、产业结构调整、规模经济、教育进步、随机因素等。
二、基础数据的估计与修正
1.产出增长指标的选用。本文选用了国内生产总值作为衡量产出增长的基本指标，这些数据可以直接从相关统计资料中获得。但为了消除价格因素，增强分析结果的可靠性，根据国内生产总值指数，对以现价统计的国内生产总值按1990年不变价格进行了换算。
2.资本投入增长指标的选用。采用永续盘存法估算出阜新1985年～2003年的资本存量。
3.劳动投入增长指标的选用。选用全市1985年～2003年的从业人数作为劳动投入量的基础数据。
4.要素投入的产出弹性。采用最为普遍的柯布―道格拉斯生产函数（C―D）为估计方程：
其中分别是t时期的国内生产总值，资本投入量，劳动投入量，A0是初始的技术水平，t表示时间，t＝0，l，…，n，是非物化的外生的技术进步水平，是资本投入的产出弹性，是劳动投入的产出弹性，是误差项。对C―D函数取对数后得到：
如果假设规模报酬不变，于是，由此可得：
以下根据上述公式的推导和原理，来估算阜新的C―D函数。对1985年～2003年数据取对数，得表1数据。
(1)规模约束的生产函数估计式为（由于时间变量的t检验值很小，因此不考虑时间量）：
由此可知，
(2)无规模约束的生产函数估计式为：
表1 阜新1985年～2003年要素投入与产出对数表
从上述计量分析的结果看，当无规模约束的生产函数回归后方程并不理想，而有规模约束的生产函数估计式估计的拟合度优，总体显著、单个参数的T值检验都令入满意，估计结果是可靠的，从经济意义上看也是合理的。于是，在大样本统计检验可靠的基础上，采用C―D生产函数估计的结果，确定资本产出弹性＝0.7，劳动产出弹性＝0.3，以此来进行阜新经济增长因素分析和综合要素生产率的测算。
三、经济增长因素及其特征
通过前面的论述和基础数据的准备，现在就利用经济因素的总量分析模型进行测算，得到各生产要素投入的增长对产出增长的贡献，并算出综合要素生产率提高对产出增长的贡献，改革开放以来分年的时间序列分析结果见表2。
表2 阜新TFP及增长因素的计量结果表
从表2的结果我们可以看出，1985年～2003年，阜新经济增长的年平均速度为7.4%，其中资本投入的贡献为89%，劳动投入的贡献为5%，而综合要素生产率则为0.47%，对经济增长的贡献达到6%，可以认为改革开放以来，阜新还处于工业化前期，经济增长方式还是粗放化增长方式。
图 TFP与阜新经济增长因素的时序趋势
从综合要素生产率的时间序列数据(上图)可以看出，该因素波动很大，并且具有明显的阶段和时点特征。从1986年～1990年综合要素生产率比较低，开采的成本大幅上升。1991年～1993年是阜新转型前经济发展最快速的时期，经济增长速度超过了两位数。
1993年以后国家逐步放开煤价，煤炭市场遭遇寒冬。1994年至2000年，这一阶段综合要素生产率在比较低的-8%至3%之间，是比较符合阜新经济发展困难的实际。
2001年阜新被确定为资源枯竭城市经济转型试点城市以后，年平均速度为15.1%，其中资本投入的贡献为64%，而综合要素生产率则为5.44%，对经济增长的贡献为36%，阜新大力推进产业结构调整，机制创新，经济增长趋于合理。
四、结论
弹性函数的经济学意义范文第12篇
项目化教学 经济数学 整体教学设计考核方案《经济数学》系统项目化整体教学从《经济数学》课程能力训练项目设计、考核方案、第一次课设计梗概、其他需要说明的问题四个方面进行全面系统设计，课程内容进行了优化整合，其内容共分5个模块，每个模块设计1个能力训练项目，共设计5个能力训练项目。每一模块内容结束时，学生提交本模块能力训练项目的分析报告或解决方案。使学生在完成项目的过程中学习经济数学知识，获得解决简单经济应用问题的能力。
一、《经济数学》课程能力训练项目设计
1.能力训练项目名称
能力训练项目名称有：寻找经济学中常用的经济函数；连续复利问题；边际与弹性问题及最值经济问题；由边际函数求总函数，资本现值与投资问题；经济学中的线性规划问题。
2.拟实现的能力目标
第一，能识别需求函数、价格函数、供给函数、总成本函数、收入函数与利润函数，并掌握这些函数的性质及图像画法。
第二，理解函数的变化趋势、变化的连续性，会用单利、复利两种方式计算利息。
第三，能求解经济学中边际与弹性问题及最值经济问题。
第四，掌握由边际函数求总函数的方法；会讨论资本现值与投资问题。
第五，会求解经济学中较简单的线性规划问题。
3.相关支撑知识
第一，理解函数的概念，会正确求解函数的定义域；理解函数的性质，会判断函数的奇偶性等。
第二，理解极限的概念，掌握求极限的方法；理解无穷小量、无穷大量的概念，会正确判断无穷小量、无穷大量；理解函数在一点X0、区间（a，b）、闭区间[a，b]上连续的概念；理解函数间断点的概念，知道间断点的分类，能判断函数的连续性等。
第三，理解导数与微分的概念，了解导数的几何意义并能加以应用。
第四，理解原函数和不定积分的概念；熟练掌握不定积分的直接积分法、凑微分法、第二类换元积分法及分部积分法；掌握微积分基本定理和定积分的计算公式；掌握定积分的概念和性质；熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。
第五，理解行列式、矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换及矩阵秩的概念；熟练掌握行列式的两种计算方法；熟练掌握矩阵的线性运算及矩阵的乘法运算；熟练掌握求逆矩阵的两种方法及求矩阵秩的方法；掌握克莱姆法则求线性方程组的方法；理解n维向量、向量组线性相关、线性无关、向量组的秩、基础解系、齐次线性方程组的通解、非齐次线性方程组的通解这几个重要概念；熟练掌握线性方程组解的结构及其判别法则。
4.训练方式手段及步骤
第一，让学生自学第一章函数第三节经济中常用的函数；找出经济函数、观察函数的性质、图像；最后得出经济函数分析报告。
第二，通过对函数变化趋势的讨论，引入数列、函数极限概念，引导学生寻找极限的计算方法；通过函数图像的观察，分析函数变化过程中的两个不同特点，引导学生得到函数连续的概念、判断函数连续的方法；最后推导连续复利公式、并解释其经济意义。
第三，通过分析函数因变量随自变量变化的快慢程度，引导学生发现导数概念，为更好计算导数，寻找计算导数的方法；为寻找计算函数改变量的近似方法，引导学生探寻微分概念，进一步寻找计算微分的方法，最终找到用微分计算函数改变量的方法；为找到判断函数单调性、极值、最值、函数图像的做法，引导学生发现使用导数这一重要工具。
第四，通过已知某函数导数求某函数问题的讨论，引导学生发现原函数的概念，通过寻找求原函数的方法，发现不定积分的概念，最后找到求不定积分的四种方法。
第五，通过求解二元一次方程组、三元一次方程组，引导学生发现二阶行列式、三阶行列式概念，通过归纳法引导学生发现n阶行列式概念，在寻找计算行列式方法中得到行列式性质等。
5.结果
结果有：经济函数分析报告；连续复利公式的推导及经济意义解释；边际与弹性问题及最值经济问题解决方案；由边际函数求总函数，资本现值与投资问题解决方案；经济学中线性规划问题解决方案。
二、考核方案
对学生考核分三个方面：平时成绩（占30%）+能力考核（占25%）+期末考试成绩（占45%）。期末考试采取相同教学内容的班级统一命题、闭卷考试的方式。命题的范围和水准严格按照《概率论与数理统计》课程整体教学设计的要求执行。期末考试出同等难度和题量的A、B、C三套试卷及评分标准。
平时成绩及能力考核具体内容设计：
1.平时成绩
考核项目：出勤；课后作业；课堂表现。
考核内容：迟到、早退、旷课、事假、病假、上课睡觉；完成作业情况；上课态度、参与程度、处理问题准确度。
考核标准：迟到、早退、旷课、事假、病假、上课睡觉此项共计10分。学生上课迟到一次扣1分，请事假一次扣1分，病假一次扣0.5分，上课睡觉一次扣1分，旷课一次扣2分，扣完10分为止。完成作业情况此项共计10分。少交一次作业扣2分，作业不认真、质量差一次扣1分，扣完10分为止。上课态度、参与程度、处理问题准确度此项共计10分。上课积极参与，主动并能正确回答问题或板书做题正确一次得2分、两次得5分、三次得8分、四次得10分。上课不回答问题或板书解题此项得0分。
2.能力考核
（1）考核项目
提交经济问题解决方案或分析报告。
（2）考核内容
第一学期：第一章内容学完后提交经济函数分析报告；第二章内容学完后提交连续复利公式的推导及经济意义解释；第三章内容学完后提交边际与弹性问题及最值经济问题解决方案。
第二学期：第四章内容学完后提交由边际函数求总函数及总函数改变量，资本现值与投资问题解决方案；第五章内容学完后提交经济学中简单线性规划问题的解决方案。
（3）考核标准：
此项共计25分。提交方案或分析报告内容翔实、准确，第一学期提交一个得8分、提交两个得16分、提交三个得25分。第二学期提交一个得12分、提交两个得25分。一个学期内一次也不提交方案或分析报告此项得0分。
三、第一次课设计梗概
1.设计思想
4个关键词：沟通、介绍、渗透、要求。
2.教学过程
师生相互介绍用多媒体课件――财经、金融专业中的数学函数导入新课并介绍课程内容介绍课程教学方法介绍学习方法介绍考核方式与学生约法三章，提出纪律要求进入正题――研究函数、反函数概念及函数四个基本性质课堂小结、布置课外作业。
四、其他需要说明的问题
第一，以启发式教学为主。
第二，注重数学文化的学习。
弹性函数的经济学意义范文第13篇
关键词：需求价格函数；模糊数；回归模型
中图分类号：O174 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2013）11-0-02
一、引言
自1965年美国控制论专家L.A.Zadeh[1]提出模糊集理论以来，利用模糊集理论来解决经济类的问题已经越来越常见，1992Buckley[2]讨论了经济学和金融学的一些方程的求解问题，1990年Yao和Wu[3]考虑了模糊环境下的需求过剩和生产过剩问题，巩增泰[4]求解了模糊环境下需求价格函数的逼近算法等。
在社会经济领域，经济学家用弹性来衡量一个变量对另一个变量的变动的反映程度，所以需求弹性等于需求数量的变动百分比除以价格的变动百分[5]，即。市场需求与价格之间总存在一定的对应关系，本文讨论在需求弹性恒定的条件下，商品需求数量和价格之间的函数关系，此时，需求价格函数可以表示为y=axb （其中x表示商品的价格，y表示商品的需求数量，b表示弹性，a为正数，b为负数[6]，其图形一般如下图所示）
但是由于经济系统的复杂性和人的认识、思维及判断所固有的模糊性，对于许多的经济现象，有时很难用精确的数值来描述其数量特征，因此对于需求价格问题，把需求函数表示为价格的模糊形式更为客观合理，即，而对于参数的回归模型问题，前人已经做了不少研究同时取得一定的成果[7-10]。本文主要在模糊环境下建立需求价格函数的回归模型，同时进行一定的实证分析。
二、原理及背景知识
五、总结
本文主要讨论在模糊条件下，一类需求弹性恒定的商品的需求数量和价格之间的函数关系，并建立起相应的回归模型加以分析。在社会经济中，我们不但需要利用回归模型验证已有的一些实际数据，更重要的利用所求模型来预测未来的变化情况，经济市场中商品的价格是非常不稳定的，是不断波动变化的，与之对应的商品需求数量也在不断变化，但是具体价格，数量为多少，很难由精确数字给出，而模糊数却很好的解决了这类问题，因此考虑模糊环境下的需求价格函数，并尝试利用此模型来解决现实的问题，是非常具有讨论研究价值的。
参考文献：
[1]Zadeh.L.A，Fuzzy sets，Information and Control[J].1965，8（1）：338-353.
[2]Buckleyjj.Solving fuzzy equations in economics and finance[J]，Fuzzy Sets and Systems.1992，48：289-296.
[3]Yao.J.S，Wu.k.consumer surplus and producer surplus for fuzzy demand and supply[J].Fuzzy Sets and Systems.1990，103：405-419.
[4]巩增泰.模糊需求价格函数：背景、应用及逼近算法[J].西北师范大学学报，2006，42（1）：1-4.
[5]Michael Parkin.微观微观经济学[M].北京：人民邮电出版社，2009，3.
[6]B.Douglas，Bembeim.微观经济学[M].北京：北京大学出版社，2010，1.
[7]梁艳.模糊线性回归模型的参数估计[D].宁夏大学，2006，3.
[8]胡良剑，宗云南.模糊数据的线性回归模型[J].模糊系统与数学，2002，16（1）：87-95.
[9]许若宁.拟合模糊观测数据的线性回归模型[J].纯粹数学与应用数学，1997（13）：37-43.
[10]许若宁.带模糊回归参数的线性回归模型[J].模糊系统与数学，1998，12（2）：70-77.
弹性函数的经济学意义范文第14篇
关键词：高等数学；经济分析；应用
中图分类号：G623.5文献标识码： A 文章编号：
0引言
现代经济学的一个明显特点是越来越多地使用数学,现在几乎每一个经济学领域都要用到数学。从现代经济学作为一种分析框架来看,参照系的建立和分析工具的发展通常都要借助数学。将经济问题转化为具体的数学模型,可以使分析变得具体,知道利弊得失所在,而且还可以把貌似不同但实质相近的问题连接在一起,从而把研究从初步的想法推向深入的探索。可见,高等数学就是作为一门实证性科学,服务于经济管理的研究。下面将具体给出高等数学在经济分析中的的几点应用。
1数学在经济分析中的应用
1.1数量经济学在我国迅速发展
它在经济决策中的重要性越来越为人们所认识，在经济管理中正发挥着越来越大的作用。我们已经取得了一批具有国际水平的研究成果。数量经济学是运用数学方法研究经济学，归根结底它是一门经济学。我们既要十分重视数学，特别是现代数学在经济学中的应用，又要注意防止以数学代替经济学，以数学定理代替经济规律。要让数学分析为经济分析服务，而不是经济分析为数学分析服务。在我国经济体制改革深入发展，新旧两种体制交叉过渡的今天，尤其如此。我国现行的数量经济方法主要来自西方.有如引进技术一样，引进西方的数量经济方法也存在一个消化吸收、创新的问题。社会主义有计划商品经济条件下的经济运行机制，不同于资本主义市场经济，经济数学模型也不会完全相同。我们的国情和制度有自己的特点，我们的经济数量模型也应该有自己的特色。
1.2函数在经济分析中的运用
在经济活动中，消费者与生产者通过市场来交换商品，消费者与生产者从中各取所需，而这种供需关系正是一种函数关系，一般说来需求量是市场价格的单调减函数，与此相反的供给函数则是一种单调增函数。但是真正经济活动中的函数远没有这样简单，下面就其中几个主要函数进行论述。
1.2.1总成本函数
某种产品的总成本是指生产一定产品所需的全部经济资源成本（包括原料、劳动力、设备等等）总额。用函数表达即：C（x）=C0+C（1x）,其中C0表示固定成本，即必须要支付的费用（如厂房等），C（1x）表示可变成本，如原材料费用等。可以看出总成本函数是增函数，由于规模经济，它最初增长很快然后逐渐慢下来，然后随着资源的逐渐匮乏，函数再次增长起来。
1.2.2需求函数
一般说来，价格的上涨会导致购买量的下降。设p为商品价格，q为需求量，由于需求是由多种因素决定的，如果略去价格之外的其他因素，仅讨论价格和需求的关系的话，则需求函数可以表达为：q=（fp），它是单调减函数。
1.2.3供给函数
与需求相对，一般来说当价格上涨供给量也增加。设p为商品价格，q为供给量，由于需求是由多种因素决定的，如果略去价格之外的其他因素，仅讨论价格和供给的关系的话，则供给函数可以表达为：q=φ（p），它是单调增函数。
1.3概率与数理统计在经济分析中的运用
在现实的经济活动中，经常会有根据几种情况进行决策的状况发生，这就需要我们从各个方面去权衡来选择一个最佳方案，这种现象被称为风险型决策。对于风险型决策，我们通常采取期望值决策的方法。例如，某书商与某出版社准备联合出版一系列图书，书的零售价为每本80元，成本为50元，根据通常的销售情况来看，如若半年后书尚未售完，则该书不得不降价至每本20元，半年前的销售情况如表1所示，根据表1，问该书商出多少本书才能获得最大的利润？解：由已知可得，书商的出版方案有3种，出版150本、160本和170本，分别记为A1、A2、A3，记B1、B2、B3分别为半年内售出150本、160本和170本，那么在A1发生时B1同时发生这种情况的利润称作方案A1的条件利润，如表2所示。可得三种方案的期望利润分别是：
E1=4500×0.3+4500×0.3+4500×0.4=4500（元）
E2=4200×0.3+4800×0.3+4800×0.4=4620（元）
表1某书商半年销售表
表2某书商销售方案
综合上述结果可得出第2种出版方案即出版160本书可以获得最大的利润。
1.4利用微积分进行弹性分析
边际分析所研究的是经济函数的绝对改变量与绝对变化率。在现实生活中，我们还需要研究经济函数的相对改变量与相对变化率———弹性分析。在经济工作中，弹性分析所研究的是经济函数的相对改变量与相对变化率，它所分析的是一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几？它所反映的是一个经济变量对另一个相关经济变量变化的敏感程度。在经济分析中，弹性分析的应用也非常广泛，许多现实生活中的经济现象都要用弹性来解释和分析。通常有“弧弹性”和“点弹性”———弹性系数设。
随着金融市场和现代企业制度的建立，高等数学的知识越来越多地渗透到会计、审计、财务管理、市场营销、财政、税务、金融、工商管理等各个经济领域，应用数学作为分析工具的也越来越多，因此，这是经济学进步的一个标志，它使经济学走向定量化、精密化和准确化．在经济学中，对于经济现象、经济运行及其规律的描述与研究，正需要用数学方法、数学思想从而达到它的科学性．在高等数学教学中充分利用数学应用可以避免数学教学从理论到理论，不仅使抽象的数学概念具体化、生动化，更重要的是这种教学方法还有助于解决具体的实际问题，提高学生的学习兴趣、激发学生的学习热情，有利于促进教学效果的进一步提高，也是高等数学教学环节中理论联系实际的一种新的有效途径。
2小结
纵观当今的经济学发展，数学特别是高等数学的运用是其精确且深入化发展的必要条件和工具，且高数在经济学中的作用将会越来越大。高数模型不可能全面地反映出复杂多变的经济现象，而只能反映出其中一部分关系，但正因为这样才能从根本上推动经济学的发展。数学在经济学中的位置虽不能妄加评论，但它无疑已经渗透进经济研究的每一个部分，发挥着越来越重要的作用。
参考文献：
[1]吴赣昌.微积分[M].北京:中国人民大学出版社,2008.
弹性函数的经济学意义范文第15篇
消费是人类社会经济生活中的重要行为和过程，任何社会都离不开消费。在我国，随着社会主义市场经济体制的确立，消费在全民经济生活中的作用更显重要。因此对消费函数的研究具有十分重要的现实意义。消费函数是指居民的消费支出和决定消费的变量之间的关系。
消费倾向是凯恩斯在《就业、利息和货币通论》中研究有效需求原理时提出的重要概念。他在研究“当就业量处于既定水平时，什么因素决定消费的总量”时，将消费倾向定义为：存在于YW(即用工资单位衡量的既定的收入水平)和CW(即在该收入水平下的消费开支)之间的函数关系X，即CW=X(YW)。凯恩斯认为，当就业量增加时，实际收入总量也会增加。社会的心理状态是：当实际收入总量增加时，总消费量也会增加，但其增加的程度不如收入，即边际消费倾向0
我国学术界通常在研究消费和收入之间的关系时，用线性方程来描述消费函数：C=a+b×Y。其中，C代表实际消费支出，Y代表实际国民收入，a和b都是大于零的常数，a代表收入Y为零时的消费，叫做自发消费，b×Y是随着收入变化而变化的消费，叫引致消费。b称为边际消费倾向，其的经济含义是收入每增加一单位相应的消费增加量，即b=ΔC/ΔY，也就是凯恩斯的dCW/dYW。
现在一些学者已经开始对凯恩斯的边际消费倾向0
本文借鉴熊正贤，翟有龙提出的凯恩斯消费函数的拓展模型，对宁波市市区居民的消费函数作实证分析，论证MPC>1的情况的存在。
二、消费函数模型及解释
在西方消费理论中，最早提出消费需求函数理论的凯恩斯的分析中，收入指的是现期收入，凯恩斯的理论被称为“绝对收入假定”。随后，西方其他经济学者从对收入的不同理解出发，提出了不同的理论，主要有杜森贝的“相对收入假定”、莫迪利安尼等人的“生命周期假定”、摩根等人的“消费决策影响收入假定”等。其中，凯恩斯的“绝对收入假定”和杜森贝的“相对收入假定”应用最为广泛。凯恩斯认为，实际消费支出是实际收入的函数，消费支出主要取决于当期的收入，不考虑过去的和未来收入。杜森贝认为，消费并不取决于当期绝对收入水平，而是取决于相对收入水平，即相对于其他人的收入水平和相对于本人历史上最高的收入水平。本文主要以凯恩斯的绝对收入假定为基础，对消费者函数做探讨。
马斯洛在层次需求理论中把人们的需求分成生理需求、安全需要、归属与爱的需要、尊重需要和自我实现的需要五类，依次由较低到较高层次。生理需求和安全需求是基本需求，其他需求是非基本需求。人们只有满足了最基本的需求后，才会考虑非基本需求。因此可以把消费资料分为两部分，即满足基本需求的部分和满足非基本需求的部分。从弹性的角度来看，满足基本需求的消费资料接近于无收入弹性，与人们的收入水平关系较少，即人们收入水平的变化几乎不引起消费量的改变。而满足非基本需求的消费资料有收入弹性，与人们的收入水平关系密切，即人们收入水平的变化会引起消费量的改变，例如人们对高档服饰的消费，外出旅游等。因此也可以把满足基本需求的消费资料叫接近无收入弹性的消费资料，满足非基本需求的消费资料叫有收入弹性的消费资料。
由于消费资料分为接近无收入弹性的消费资料和有收入弹性的消费资料，令C1为对接近无收入弹性的消费资料的消费，C2为对有收入弹性的消费资料的消费，则人们的总消费需求C=C1+C2，其中C2=βYα。C2=βYα表示对有收入弹性的消费资料的需求，是收入水平Y的函数，β表示收入变动对消费变动的敏感系数，α是一个相对稳定的系数，可以看成是由科技进步、经济发展、消费条件与环境、消费习惯等决定的一个综合参数。其值稳定，一定时期内可看成常数。α的取值分为以下几种情况：0
(1)当0
(2)当α=1时，C2的收入弹性等于1，边际消费倾向为ΔCΔY=β保持不变。
(3)当α>1时，C2的收入弹性大于1，边际消费倾向为ΔCΔY=βαYα-1，由于α>1，βαYα-1随着Y的增大而递增，所以边际消费倾向递增。
下面是取不同值时所构成的数学模型及经济含义：
(1)当0
此时表示消费的增加量小于收入的增加量，即边际消费倾向递减。这说明当消费者在每次的收入增加以后，逐次减少消费的增加量，而把收入用于储蓄。在经济水平欠发达地区，如农村地区，这种情况比较常见。在那里，居民喜欢将收入储蓄起来，用于未来子女教育、自身养老等方面。
(2)当α=1时，C=C1+C2=C1+βY
此时表示消费的增加量与收入的增加量维持一个恒定不变的比例，即β。这说明消费者的消费倾向保持不变。
(3)当α>1时，C=C1+C2=C1+βYα
此时表示消费的增加量大于收入的增加量，即边际消费倾向递增。这说明消费者在每次收入增加以后，逐次增加消费的增加量，有超前消费和借贷消费的倾向。在经济发达地区，如沿海地区，这种情况比较常见。在那里，人们越来越倾向于提前消费，如通过借款、贷款等方式购买房子、汽车等。
三、实证分析
宁波市属于沿海发达城市，其市区居民消费水平应该符合边际消费倾向递增的情况。为了进行论证，基于前述模型，对宁波市区居民的消费函数进行实证分析。
(一)回归模型的建立
用1990年至2004年的宁波市区居民人均可支配收入数据和市区居民人均消费性支出数据，见表1(数据来源：2005年宁波市统计年鉴)，以市区居民人均消费性支出数据为C，以市区居民人均可支配收入数据为Y，根据模型C=C1+βYα建立宁波市区居民的消费函数。
在消费函数模型C=C1+βYα的基础上，采用线性回归方法进行拟合。由于α的具体数值难以测算，因此先假定α的一系列取值，指数函数中因变量对自变量数值变化敏感性很强，所以在在试探取α值时，先选择取α=1，然后再逐步加减0.01。然后令X=Yα，得到X的值，则C=C1+βYα模型变化为线性模型C=C1+βX，用SPSS软件的回归分析功能对X和C进行一元线性回归分析，得出消费函数。在回归参数能通过检验的基础上，不同的α的取值，会有相应的不同的消费函数，这时应该选取拟合效果好的消费函数。判定系数R2=SSRSST=1-SSESST，SST为总离差平方和，SSR为回归平方和，SSE为残差平方和，各样本观测点与样本回归直线靠得越紧，SSR/SST就越大，直线拟合得越好。判定系数R2测度了回归直线对观测数据的拟合程度，反映了回归效果的好坏。R2越接近1，表明回归直线的拟合程度越好。
当α选取不同的值时，把表1数据用SPSS软件作回归分析，得到了很多一元线性回归方程。回归结果显示回归方程的判定系数R2都很接近1，则拟合程度都很好；都通过了线性回归关系的显著性检验(F检验)；也通过了自变量X的回归系数的显著性检验(t检验)(p=0.000
从表2可知当时α∈(0.90，0.99)，常数项t统计量的p值均大于0.05，通不过检验。在实际的回归过程中，当α=0.91和α=0.90时，常数项的估计值为负值，而且01时，常数项t统计量的p值随着α的增大而减小。当α=1.02时，p值=0.0391.02时，p值都小于0.05，都通过了检验。因此α≥1.02，时，回归方程是有意义的。在通过了检验的回归方程中选取R2最大的回归方程作α=1.02为消费函数，则可以选时的回归方程为消费函数。
可见R2=0.986，拟合效果很好，且回归系数都通过了检验。
回归方程为：C=500.559+0.587X=500.559+0.587Y1.02
(二)弹性消费资料比重的计算
宁波市区居民有收入弹性的消费资料的需求占总消费比重趋势。由C=C1+C2=C1+βYα，可知有收入弹性的消费资料的需求占总消费比重趋势为βYαC×100%=C-C1C×100%。将历年C的数据和C1=500.559代入计算，得表3。
表3 收入弹性的消费资料的需求占总消费比重年份比重199069.25%199173.00%199277.29%199384.05%199488.73%199591.01%199692.35%199793.04%199893.67%199993.32%200093.74%200194.71%200294.67%200395.22%200495.56%用SPSS软件根据表3的数据作序列图如下：
弹性消费资料占总消费资料比重的序列图
(三)结果分析
由回归分析得出的消费函数C=500.559+0.587X=500.559+0.587Y1.02可知宁波市区居民的边际消费倾向递增，即MPC>1，这与前面建立的消费模型相符。由弹性消费资料占总消费资料比重的序列图可知，随着时间的推移，宁波市区居民对有收入弹性的消费资料的需求所占的比重越来越大。
由于改革开放，宁波的经济得到了飞速的发展，宁波市区居民的收入水平也随之有了大幅度的提高。居民的基本需求得到满足后，越来越重视非基本需求，如购车，旅游等。宁波居民对宁波未来经济的进一步发展充满信心，对未来的收入水平的进一步提高持乐观的态度，表现为边际消费倾向递增，因而越来越多的市区居民有超前消费和借贷消费的倾向，通过借贷增加对非基本资料的消费，因此非基本需求消费资料在居民的总消费中所占的比重越来越高。
四、结论
通过对宁波市区居民消费函数的实证分析，可知确实存在MPC>1的情况。说明凯恩斯理论只是一种从普遍现象中概括出来的一般理论，只是针对收入和消费的直接关系，却没有考虑到不同国家在不同发展阶段的特殊国情以及由此对居民收入和消费造成的不同影响。同时也说明凯恩斯消费函数的拓展模型是比较恰当和全面的。
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