冲击减振器对能量耗散的分析范文

《机械工程学报》2014年第十二期

1基本特性分析

如图1所示，左侧是一个二自由度弹簧－质量线性主结构。假设该结构各质点的质量和弹簧刚度分别是：m1=m2=2kg，k1=k2=20N/m。根据线性振动基本理论，可得主结构的固有频率和相应的振型：ω1＝1.954rad/s，ω2＝5.117rad/s，式中，假设ωf=2.0rad/s，这可使激励能量主要集中在结构的第一阶共振频率附近。图2是外扰力时间历程曲线。经过大约30秒左右的时间，外激励已基本消失。为了控制主结构的最大变形以及动应力，抑制其响应，我们在主结构的右端，附加一个冲击减振器，见图1所示。通常将冲击减振器的动力学模型简化成一个质点m3，通过一个软弹簧k3与主振结构相连[7-9]。根据以往对冲击减振器的研究结果[9-11]，假设其设计参数为m3=0.05×m2=0.1kg，k3=0.01×k2=0.2N/m，碰撞恢复系数Rc=0.6，碰撞间隙e=0.3m。安装冲击减振器后，质点(自由度)2和3会发生非弹性碰撞，导致质点2、3的速度发生突然改变，由此可耗散主振动系统的一部分机械能。即碰撞伴随有系统振动能量(动能)的转移和损耗。除了碰撞发生时刻以外，整个系统仍是一个线性系统，可按线性振动基本理论分段描述其响应历程。此时系统的振动方程：比较附加冲击减振器前、后系统的频率和振型可知，此时的第一阶固有频率主要描述冲击减振器的局部运动。由于在冲击减振器中未引入阻尼，因此相应的阻尼率非常小，该振动分量衰减会很慢。而第二、三阶频率以及模态阻尼率与主结构的原有值基本相同。分析整个系统响应的关键是确定冲击减振器碰撞发生的准确时刻，以及各质点的速度变化情况。碰撞发生时，质点2和3的相对位移应满足以下条件：式中，上标()分别代表碰撞前、后，各质点的速度项。由于碰撞过程中的动量守恒，可得碰撞后的两个质点的速度值[8-10]：以往，人们曾试图采用线性振动理论的分析方法，分段给出系统位移响应的解析表达式[3,4]。然而，由于碰撞过程的复杂性，实际上难以获得碰撞的准确时刻，因此也无法获得系统响应的准确表达式。本文采用自适应步长4阶Runge-Kutta数值方法，计算系统的位移响应，确定碰撞发生的准确时刻，以及各质点振动速度的变化情况。进而从能量角度，阐述振动能量的转移、扩散和损耗规律，研究振动响应的衰减机理。文献[8,9]利用小波变换谱，只是定性地描述了能量的转移和扩散现象。图3是附加冲击减振器前后，质点x2的位移响应曲线。附加冲击减振器以前，经过100s的时间，振动响应仍然还很显著，响应持续时间远远超过外激励的有效作用时间。而附加冲击减振器以后，虽然结构未增加其他阻尼，但振动响应却能够快速衰减。这得益于减振器与结构连续地发生碰撞，从而不断消耗振动能量的结果。x2的最大位移得到抑制，从0.6665m降到0.5929m，降幅达11.0%。经过大约100s的时间，x2的位移响应已得到有效衰减。由图3可见，在响应后期，x2的运动周期拉长，响应逐渐向第一阶模态过渡，振动能量集中于m3的局部运动，因此响应衰减缓慢。同样，x1的最大位移也能得到控制，从0.4132m降到0.3789m。

2振动能量耗散分析

当两个质点发生碰撞时，由动量传递而引起这两个质点的速度发生突变，即碰撞前后系统的动能将在各质点间出现转移。每次碰撞会造成系统的动能有一定的损耗：式中，Ed是每次碰撞系统动能的损耗量。由上式可知，每次碰撞造成的振动能量损耗量，与发生碰撞的两个质点的相对速度有很大的关系，此外还与冲击减振器的质量及其恢复系数有关。但是，冲击减振器的质量和恢复系数受客观条件限制，一般只能在一定范围内合理取值。表1示出了在响应的不同时段，在碰撞发生时刻，系统动能的变化情况。在开始阶段，外激励不断输入能量，振动响应逐渐增大。于是碰撞很快发生(经过半个最大周期)，而且消耗的能量也较大，这对于抑制位移响应的快速增大非常有必要。在响应后期阶段(40秒以后)，外扰力几乎消失，不再给系统输入能量，因此系统的振动能量在逐渐减少。由碰撞引起的能量损耗量也在不断减小。比较表1中碰撞引起的能量消耗可以发现，振动能量的损耗并非是一个常值，而且与碰撞发生前系统的动能(或速度)关系不大。例如，第5次(开始阶段)或第28次(后期阶段)碰撞前的动能虽然都比较大，但碰撞引起的振动能量损耗却相对较小。此外，不论是在响应的开始阶段和还是后期阶段，发生碰撞的时间间隔也并是固定的。这无疑也增加了解析计算响应的难度。表2列出了在碰撞发生时刻，系统的模态动能变化情况。比较碰撞前后结果可以发现，响应开始阶段，碰撞引起系统的动能，在各阶模态间相互转移，使振动能量重新分布。这使得系统所有振动模态都能够被激起，避免了振动能量集中在结构的某一阶模态上，从而使响应能够在各阶模态上同时减，加快响应衰减速度。这有利于减小结构的最大变形，防止结构出现损伤。在响应后续阶段，系统基本处于自由振动状态，振动能量主要从第一、第二阶模态向第三阶模态扩散转移。由于高阶模态的阻尼率比较大，这同样也可以加快系统响应衰减的速度。可见，正是由于冲击减振器连续不断地碰撞，才使主结构的黏性阻尼充分发挥了作用。如果没有碰撞发生，线性振动系统模态能量几乎不发生转移和扩散，结构的响应主要以一种模态运动的方式缓慢衰减。图3所示原结构的响应历程正是如此。系统中，由黏性阻尼消耗的振动能量Ec可按下式计算：采用数值积分方法，可以计算主结构内由黏性阻尼消耗的能量。图4分别是由黏性阻尼和减振器消耗振动能量的历程。可见，最终由黏性阻尼消耗的振动能量是冲击减振器的2.67倍，冲击减振器消耗的部分较少。有必要调整冲击减振器的设计参数，增大其消耗振动能量的能力，以期更快地抑制结构的响应。另外，从图4可以看出，当响应超过约100s以后，碰撞不再发生。此时，结构振动响应水平已经很小，见图3所示。

3增加冲击减振器的耗能性能

由冲击减振器一次碰撞造成的能量损耗公式(10)可知：减小其恢复系数Rc，或增加冲击减振器的质量m3，都能增大碰撞造成的振动能量损耗，加快响应衰减速度。若减振器的质量保持不变，可减小其恢复系数，如令Rc=0.4。图5分别示出了系统的响应和振动能量消耗历程。此时，x2的最大位移下降到0.5766m，降幅达13.5%。经过大约70s，x2的响应基本得到抑制。而且由减振器碰撞消耗的能量部分有明显增大，冲击减振器的抑振能力有了显著提高。图6是附加冲击减振器前后，质点x2位移响应谱。可见，在共振频率ω1＝1.954rad/s附近，抑振效果最明显。当激励频率在ωf=1.5~2.5rad/s范围内发生改变时，冲击减振器仍然能够有效抑制响应的最大变形，具有较强的抑振稳健性。反之，若保持冲击减振器的恢复系数不变Rc=0.6，但增加其质量m3=0.1×m2=0.2kg。图7显示系统的位移响应和振动能量消耗历程。可见，由减振器碰撞消耗的能量显著增大，特别是在系统的初始阶段(t≤20s)。此时，x2的最大位移下降到0.5335m，降幅达20.0%。经过大约50s，结构的响应既得到有效抑制。冲击减振器的抑振能力也有了很大的提高。比较图5与图7可以看到，增加质量的减振效果更加显著。

4结论

本文采用数值方法，通过对一个典型的二自由度结构，附带一个冲击减(吸)振器后的瞬态振动响应衰减历程进行模拟计算，展示了冲击减振器的速抑振效果，得到了系统的振动能量变化情况。分析了在碰撞发生时刻，动能的转移、损耗和扩散规律。这对探索冲击减振器快速抑制结构瞬态响应的机理，指导冲击减振器的设计，都具有重要的实际意义。数值研究结果表明：(1)在碰撞发生时刻，非弹性碰撞不但可以消耗一部分振动能量，还可使振动能量从低阶模态向高阶模态扩散转移，这对充分发挥和利用结构本身的阻尼性能，加快结构响应的衰减速度非常有益。(2)由碰撞引起的振动能量损耗，与碰撞前物体的振动速度关系不大，而且碰撞发生的时间间隔也并不相等。冲击减振器质量越大，或恢复系数越小，其耗能速度越快，减振效果更好。(3)当激励频率在一定范围内发生改变时，冲击减振器仍具有较强的抑振稳健性。

作者：王栋单位：西北工业大学航空学院西安交通大学机械结构强度与振动国家重点实验室